1.3.1 并集与交集（教学课件）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的并集与交集运算，通过生活实例（喜欢篮球和羽毛球的同学）及数学集合实例（A={1,2,3,4}等）导入，结合韦恩图拼图游戏、生活情境辨析等互动探究，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解定义及符号表达。 其亮点在于以互动活动（如韦恩图拼图）培养数学眼光，通过分类型典例分析（如不等式运算用数轴）发展数学思维，知识小结用口诀和表格等数学语言梳理要点，既助力学生掌握运算方法，又为教师提供清晰教学思路。

【新教材】人教A版·高一必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第1课时 并集与交集 1.3 集合的基本运算 学 习 目 标 1 2 3 理解并集、交集的定义，熟记并集、交集的数学符号及表达方式，明确符号的书写规范与含义区别。 掌握用列举法、描述法、Venn图三种方式求解两个集合的并集与交集，能熟练完成基础运算。 初步掌握并集、交集的基本性质，能运用性质解决简单的集合运算问题。 新课引入 1.生活实例导入 班里有集合A={喜欢篮球的同学}， 集合B={喜欢羽毛球的同学}。 既喜欢篮球又喜欢羽毛球的同学是如何组成的？ 是两个群体重叠的人 喜欢篮球或者喜欢羽毛球的同学是如何组成的？ 是两类人合在一起的所有人 新课引入 2.数学集合实例 设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6} 同时在A、B里的元素? 观察 3,4 只要在A或者在B里的元素? 1,2,3,4,5,6 思考 如何用集合语言表示“同时属于两个集合”、“属于其中任意一个集合”？ 今天学习集合两种基础运算：并集、交集。 互动探究 活动一：韦恩图拼图游戏 并集与交集 准备材料 每组发一张印有韦恩图的纸，以及写有元素名称(数字0~9）的卡片。 任务 M N 将以下元素放入正确的区域： 集合 M = {1, 2, 3, 4}，集合 N = {3, 4, 5, 6} 操作要求 序号 操作规则 1 只属于 M 的元素放在左月牙 2 只属于 N 的元素放在右月牙 3 同时属于 M 和 N 的元素放在中间重叠区 4 都不属于的元素放在两圆之外 回答 中间重叠区的元素有什么共同特征？ 整个图形覆盖的所有元素又代表什么？” 互动探究 活动二：生活实例辨析 并集与交集 快速判断属于”并集”还是”交集” 生活情境 你的判断 ① 会唱歌的同学 或 会跳舞的同学 并集 ② 既会唱歌 又会 跳舞的同学 交集 ③ 语文及格 且 数学及格的同学 交集 ④ 语文不及格 或 数学不及格的同学 并集 关键 抓住关键词——“或” 通常对应 并集，“且/既…又…” 通常对应 交集。 互动探究 活动三：定义我来写 并集与交集 类比实数的加减运算，尝试用符号语言自己写出并集和交集的定义。 提供支架 并集：所有属于 A 或 属于 B 的元素组成的集合 ; 交集：所有属于 A 且 属于 B 的元素组成的集合 参考格式 A∪B={x∣x∈A" 或 " x∈B} A∩B={x∣x∈A" 且 " x∈B} 记忆口诀 “并” 取 “或” → 合起来，越并越大 “交” 取 “且” → 重叠处，越交越小 知识讲解 并集 并集与交集 项目 内容 定义 由所有属于集合A，或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集。记作：，读作：A并B。 符号语言 备注 “或”包含三种情况：只在A、只在B、同时在A、B；集合元素去重，重复元素只写一次。 Venn图 基础性质 ① （交换律）② ③ 若，则 知识讲解 交集 并集与交集 项目 内容 定义 由所有同时属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集。记作：，读作：A交B。 符号语言 Venn图 基础性质 ① （交换律）② ③ 若，则 举例 ， 知识讲解 交集、并集综合辨析 并集与交集 1.关键词区分 •交集：且（同时满足），取公共部分； •并集：或（满足其一即可），取全部合并。 2.数集例题 A={x∣1<x≤4}，B={x∣2≤x<6} A∩B={x∣2≤x≤4} A∪B={x∣1<x<6} 3.易错提醒 ① A∩B可能为空集：A={1,2},B={3,4}，A∩B=⌀； ② 并集自动去重，不可重复书写元素； ③ 区分“且”“或”，做题审题第一步圈出关键词。 4.性质 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 典例分析 类型一、基本运算 第一题 例1 第二题 小结 (1)设A={4,5,6,8}，B={3,5,7,8}，求A∪B (2)已知集合A={1,2,3,4,8}，B={x|∈A}，则A∩B=( ) A.{1}　　　B.{1,2}　　　C.{1,4}　　　D.{1,2,4} A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}。 特别注意：在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。如元素5，8。 C 解析：由∈A可知B={1,4,9,16,64}，所以A∩B={1,4}。 对于有限集，逐个挑出两个集合的公共元素即可。对于有限集，可直接根据集合的并集定义求解，但由于集合中元素的互异性，公共元素在并集中只能出现一次 典例分析 类型一、基本运算 第一步 例2 第二步 第三步 已知集合S={s∣s=2n+1, n∈Z}，T={t∣t=4n+1, n∈Z}，则S∩T等 于 A.⌀ B.S C.T D.Z 利用n∈Z分别对集合S,T进行化简，然后，利用交集的性质，求两个集合的交集。 分析集合含义 S：2n+1，代表全体奇数； T：4n+1，代表除以4余1的奇数。 显然T中所有元素都属于S，即T⊆S。 交集性质：若T⊆S，则S∩T=T。 答案：C 典例分析 类型二、与方程有关的运算 第一步 例3 第二步 第三步 设集合 M={-1,0,1}, N={x∣=x}，则 M∩N=（ ） A. {-1,0,1} B. {0,1} C. {1} D. {0} 利用解一元二次方程的方法对集合N进行化简，然后，利用交集的定义，求两个集合的交集。 分析集合 M： 题目直接给出了集合 M 的元素，即 M={-1,0,1}。 分析集合 N： 集合 N 是用描述法给出的，定义为 N={x∣=x}。 我们需要解方程 =x 来确定集合 N 的具体元素。 将方程移项得到：-x=0 提取公因式 x：x(x-1)=0 解得：x=0 或 x=1。 因此，集合 N 的元素为 0 和 1，即 N={0,1}。 所以，M∩N={0,1}。因此，正确答案是 B。 典例分析 类型三、与不等式有关的运算 第一步 例4 第二步 第三步 已知集合 A={x∣x>1}，B={x∣-1≤x≤3且 x∈Z}，则 A∩B=( ) A. {1,2,3} B. {-1,0} C. {1,2} D. {2,3} 两个集合中的不等式都是最简形式，不需要解，注意到B中x∈Z，集合是有限集，把B中满足x>1的元素留下，组成两集合的交集。 确定集合 B 的元素。 已知集合 B={x∣-1≤x≤3 且 x∈Z}，其中 Z 代表整数集。 满足条件 -1≤x≤3 的整数有 -1,0,1,2,3。 因此，集合 B 可以表示为：B={-1,0,1,2,3}。 计算交集 A∩B。 我们需要找出既属于集合 B，又属于集合 A 的元素。因此，满足条件的元素是 2 和 3。 所以，A∩B={2,3}。 选择D. 典例分析 类型三、与不等式有关的运算 第一步 例5 第二步 第三步 设集合A={x∣-1<x<2}，集合B={x∣1<x<3}，求A∪B。 对于无限集，进行并集运算时，可借助数轴求解，注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围。 A∪B={x∣-1<x<2}∪{x∣1<x<3}={x∣-1<x<3}。 如图，还可以利用数轴直观表示此题中求并集A∪B的过程。 典例分析 类型三、与不等式有关的运算 第一步 例6 第二步 第三步 设集合A={x∣x≥1}，B={x∣-1<x<2}，则A∩B=( ) A.{x∣x>-1} B.{x∣x≥1} C.{x∣-1<x<1} D.{x∣1≤x<2} 对于无限集，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍。 解析：A={x∣x≥1}，B={x∣-1<x<2}，则A∩B={x∣1≤x<2}。 如图，还可以利用数轴直观表示h此题中求并集A∩B的过程。 典例分析 类型四、由有限集合运算求参 第一步 例7 第二步 第三步 已知集合 A={-3,,a+1}，B={a-3,2a-1,+1}，若 A∩B={-3}，求实数 a 的值。 ∵A∩B={-3}，∴-3∈B，分三种讨论。求出a的值后，要代入集合，验证是否具有互异性。 1. 若 a-3=-3，得 a=0, A={-3,0,1}，B={-3,-1,1}，A∩B={-3,1}，矛盾，舍去； 2. 若 2a-1=-3，得 a=-1 A={-3,1,0}，B={-4,-3,2}，A∩B={-3}，符合； 3. 若 +1=-3，无实数解。 再验证集合互异性：a=-1 时，A,B 元素均互不重复。 答案：a=-1 典例分析 类型五、由不等式集合运算求参 第一步 例8 第二步 第三步 已知集合 A={x∣1<x<3}，集合 B={x∣2m<x<1-m}。若 A∩B=∅，求实数 m 的取值范围。 分两类：B=∅、B≠∅ 且无交集，容易丢掉第一类。为了便于直观分析，可以结合数轴。 ① B=∅ 2m≥1-m⟹3m≥1⟹m≥，恒满足 A∩B=∅。 ② B≠∅，即 2m<1-m⟹m< 无交集两种情况： - 1-m≤1⟹m≥0； - 2m≥3⟹m≥，与 m< 无交集，舍去。此时 0≤m<。 综合①②：m≥0 典例分析 类型五、由不等式集合运算求参 第一步 例9 第二步 第三步 已知集合 A={-3,-1,2}，B={x∣1-mx>0}，若 A∪B=B，则 m 的取值范围是________。 若 A∪B=B,说明A是B的子集。好在A是非空，解题的重点放到B中解一元型不等式，需要分三类讨论。 解析 A∪B=B⇔A⊆B，即 -3,-1,2 都满足 1-mx>0。 x=-3：1+3m>0⟹m>- 2. x=-1：1+m>0⟹m>-1 3. x=2：1-2m>0⟹ 取三个不等式交集：-<m< 举一反三 1.已知集合A={, x-1}，B={x-5, 1-x, 9}。 (1) 若x=-3，求A∩B； (2) 若9∈A，求A∪B。 (1) 解：x=-3时,A={9, -4},B={-8, 4, 9},公共元素只有9，故A∩B={9}。 (2) 解：9∈A,集合A={,x-1}，分两种情况： 情况① =9 x=3 或 x=-3 - x=3：A={9, 2}，B={-2, -2, 9}，B出现重复元素-2，违反集合互异性，舍去； - x=-3：A={9, -4}，B={-8, 4, 9}，无重复，符合条件。 此时A={9,-4}, B={-8,4,9}, A∪B={-8, -4, 4, 9},情况② x-1=9, A∪B={-9, 5, 9, 100},最终结论:当x=-3时，A∪B={-8,-4,4,9}； 当x=10时，A∪B={-9,5,9,100}。 举一反三 2.已知集合 B={x∣-5x+6=0}， C={x∣-4x+3=0} (1)求B∪C； 解析：求解集合B 解方程 -5x+6=0 因式分解：(x-2)(x-3)=0 得根：x=2 或 x=3 ∴B={2,3} 求解集合C 解方程 -4x+3=0 因式分解：(x-1)(x-3)=0 得根：x=1 或 x=3 ∴C={1,3} 求并集B∪C 并集包含两个集合所有元素，重复元素只写一次： B∪C={1,2,3} 举一反三 3.若集合 A={x∣-2≤x≤3}，B={x∣x<-1 或 x>4}，则集合 A∩B A. {x∣x≤3 或 x>4} B. {x∣-1<x≤3} C. {x∣3≤x<4} D. {x∣-2≤x<-1} 解析：A：[-2,3] B：(-∞,-1)∪(4,+∞) 交集需要 x 既在 A 中又在 B 中： x∈A 且 x<-1：即 -2≤x<-1 ,合适； x∈A 且 x>4：即 x>4 且 x≤3，无解； 所以 A∩B={x∣-2≤x<-1} 答案：D 举一反三 4.设 A={x∣-1<x<2}，B={x∣1<x<3}，求 A∪B 解析：求 A∪B，即找满足任一集合条件的所有 x。 A：(-1,2) B：(1,3) 画数轴可知，两个区间有重叠部分 (1,2)，合并后覆盖从 -1 到 3 的所有数。 答案：A∪B={x∣-1<x<3} 举一反三 5.集合 A={0,2,a}，B={1,}。若 A∪B={0,1,2,4,16}，则 a 的值为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 解答 A∪B 元素为 0,1,2,4,16，说明 {a,}={4,16} ∴ 若 a=0,1,2 都会出现重复元素，不符合并集。 答案：D 举一反三 6.设集合 A={x∣-x-2=0}，B={x∣+x+a=0}，若 A∪B=A，求实数 a 的取值范围。 解答 1. 解方程 -x-2=0⇒A={-1,2} 2. A∪B=A⇔B⊆A，分三类： ① B=∅，方程无实根 Δ=1-4a<0⇒a> ② B 单元素：B={-1} 或 B={2} - B={-1}：⇒，无解； B={2}：⇒，无解； ③ B=A={-1,2} 由韦达定理：两根和 -1+2=1=-1，矛盾，不存在。综上：a> 举一反三 7.已知集合 A={x∣1<x<2}，集合 B={x∣2a<x<1-a}。 若 A∩B=A，求实数 a 的取值范围； 解答 1. 解方程 -x-2=0⇒A={-1,2} 2. A∪B=A⇔B⊆A，分三类： ① B=∅，方程无实根 Δ=1-4a<0⇒a> ② B 单元素：B={-1} 或 B={2} - B={-1}：⇒，无解； B={2}：⇒，无解； ③ B=A={-1,2} 由韦达定理：两根和 -1+2=1=-1，矛盾，不存在。综上：a> 学海拾贝 知识小结 1. 交集找公共元素，符号∩，关键词“且”； 2. 并集找全部元素，符号∪，关键词“或”； 3. 解题工具：Venn图（有限集）、数轴（无限数集）。 注意事项 一、分清概念符号（最基础易错点） 交集 A∩B：取公共部分，读作“A交B”，记忆口诀：取同 文字定义：既属于A又属于B的全部元素；数轴上是两段重叠区域。 并集 A∪B：取全部元素，读作“A并B”，记忆口诀：取全 文字定义：属于A 或者 属于B的全部元素；数轴上两段覆盖的所有范围。 学海拾贝 二、集合元素互异性（必考点） 不管求交集还是并集，同一个元素只能写一次 例：A={4,5,6,8},B={3,5,7,8} A∪B={3,4,5,6,7,8}，不能写成{4,5,6,8,3,5,7,8}，重复元素5、8只保留一个。 三、有限集（列举法集合）运算技巧 交集：逐个对比，只挑两个集合都有的元素； 并集：把两个集合所有元素放一起，删除重复元素； 易错：解方程得到的集合，先写出全部根，再算交/并。 例：B={2,3},C={1,3}，B∩C={3}，B∪C={1,2,3}。 学海拾贝 四、无限集（不等式集合）：数轴是万能工具 1. 并集数轴要点 并集 = 两个区间覆盖的全部范围，左右取到最外侧端点 例：A={x∣-1<x<2},B={x∣1<x<3}，合并后两端拓展为 -1<x<3。 2. 交集数轴要点 交集 = 两个区间重叠的公共一小段，左右取内侧端点 例：A={x∣x≥1},B={x∣-1<x<2}，重叠部分 1≤x<2。 3. 端点取舍重中之重（极易丢分） >、<：空心圈，区间不含这个数； ≥、≤：实心点，区间包含这个数； 交集、并集的端点，两边都包含才写等号，一边不含就去掉等号。 【新教材】人教A版·高一必修第一册 感谢聆听! $