贵州省织金县第二中学2025-2026学年高二下学期期末复习数学试题

**基本信息** 高二下学期期末数学复习卷，以北斗七星文化情境、概率面试实际问题为载体，覆盖复数、数列、立体几何等核心知识，注重数学眼光观察、思维推理与语言表达的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、充分条件、组合（北斗七星）|文化情境与基础概念结合| |多选题|3/18|概率分布、空间线面关系|辨析式考查逻辑推理| |填空题|3/15|正态分布、等比数列、抛物线切线|知识综合应用| |解答题|5/77|解三角形、概率分布列、立体几何面面垂直与夹角、函数极值、椭圆垂心|实际问题（面试概率）与综合探究（椭圆垂心）|

高二下学期数学复习试卷 一、单选题：共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确的选项正确. 1．已知复数满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在我国古代，北斗七星分别被命名为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光.汉代典籍《春秋运斗枢》中早有相关记载，因其排布形状酷似古时舀酒的斗，故而得名北斗七星.如下图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中点B，D，E，F看作共线，其他任意三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（   ）    A．30 B．31 C．34 D．35 4．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．18 B．54 C．81 D．162 5．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 6．已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（   ） A． B．8 C． D． 7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且，，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2、 多选题：共3个小题，每小题6分，共18分，每个小题至少有两个正确的选项，全部选对得6分，选对部分得部分分，选错得0分. 9．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10．已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 11．已知圆，直线，则（   ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．存在实数，使得直线与圆相交于两点，且 D．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为 3、 4、 填空题：共3个小题，每小题分，共15分. 12．已知随机变量，且，则___________. 13．若数列是各项均为正数的等比数列，数列满足，且，，则数列的前项和为______. 14．已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为5，过点作圆的切线，切点为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设的内角所对边的长分别为，且有． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，求的长． 16．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响， (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列与期望. 17．在正三棱柱中，已知分别是棱的中点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．已知函数． (1)若函数在处有极小值，求实数a的值； (2)若，求函数在区间上的最值． 19．已知椭圆上顶点为，右焦点为，坐标原点为，且，，为椭圆上两个不同的点（均不与重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若为的垂心，求直线的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D D D B B BCD AB 题号 11 答案 AC 1．A 【详解】已知 ，展开整理得：， 由求根公式： 则 2．B 【详解】已知，若，则可得或. 当时，；当时，. 因此由无法推出， 所以“”是“”的不充分条件； 已知，若，则，此时， 因此由可以推出， 所以“”是“”的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．B【详解】在这7个点中任取3个点有种， 因为点B，D，E，F共线，在这四个点中任取3个点不构成三角形，有种， 所以不同三角形的个数为种. 4．D【详解】由可得当时，， 两式相减得，整理得. 又由及可得，满足. 故是以2为首项，3为公比的等比数列，通项公式为， 代入得. 5．D【详解】因为，，， 所以，则，所以. 6．D【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立.则的最小值为. 7．B【详解】由数量积定义：， 在中， 根据双曲线的定义，故， 设双曲线的焦距为，焦点为和， 点在双曲线上，记，， 根据双曲线定义有，即， 由，得到， 所以， 在中，，由余弦定理得：， 即，即，得到，因此离心率为. 8．B【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 9．BCD【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10．AB 【详解】A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确； B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项：若，，，则或异面，故D错误. 11．AC 【详解】对于A选项，由得， 则当时，直线方程不含且，故过定点，A选项正确； 对于B选项，当，则直线方程为，联立圆的方程得， 解得，有两个解，故与圆相交，B选项错误； 对于C选项，圆心坐标为，圆心到直线的距离为， 因为，故，解得， 因此存在实数，使得直线与圆相交于两点，且，故C选项正确； 对于D选项，由C选项可得， 则，，则， 令，则，令，为开口向下的二次函数， 对称轴为，因此在上，单调递增， 所以，因此没有最大值，故D选项错误. 12．1 【分析】由正态密度曲线的对称性即可求解. 【详解】依题意可得相应的正态曲线关于对称， 又 ，则，解得. 13． 【详解】解：设正项等比数列的首项为，公比为， ，且， ， 即， ，， ，故答案为： 14．【详解】在抛物线中，，则，所以焦点，准线方程为． 设点，根据抛物线的定义，可得，    解得．把代入，得， 因为，所以，即． 圆，圆心为，半径， 故． 15．（1）在中，， 而，则，又，所以. （2）由为的中点，得，又， 所以. 16．（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， （或） （或） 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率 . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，， 随机变量的分布列为 2 3 4 所以随机变量的期望为. 17．（1）在矩形中，分别为的中点，连接，则， 在与中，易得，，因为，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理，，因为平面，平面，所以平面， 又因平面，故平面平面. （2）以中点为坐标原点，所在直线为x轴正方向，所在直线为y轴正方向， 过点 和平面垂直的直线为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因，， 则，即令，则， 设平面的法向量为， 则，即令，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．（1）由，得． 因为为的极小值点，所以，解得或． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以为的极小值点． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以为的极大值点． 所以当时，在处取极大值，不符合题意， 综上：实数a的值为4． （2）当时，， 令得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以为在区间上的极大值，也是最大值． 因为，，，所以最小值为． 综上，函数在区间上的最小值为，最大值为32． 19．（1）由题意，椭圆上顶点为，故， 又，故，从而 因此椭圆方程为：； （2）由（1）可知，故，， 因为为的垂心，所以且， 则必有，设直线方程为： 联立直线与椭圆：得： 令，解得：， 由韦达定理：， 则，故， 即： 整理得：， 将代入化简得：，解得或 当时，直线过点，不符合题意，舍去 当时，满足，符合题意. 故直线方程为：，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $