第五单元 用字母表示数和数量关系（预习讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版（新教材）

本讲义聚焦“用字母表示数和数量关系”核心知识点，系统梳理用字母表示数的意义（可表任意数、未知数等）、书写规范（数字与字母相乘规则等）、a²与2a的区别、常见数量关系（加减、倍数、复合）、求值方法及高频易错点，构建从意义理解到规范应用的学习支架。 该资料以“知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习”为设计特色，通过对比a²与2a培养抽象能力，用字母表示数量关系发展模型意识。课中辅助教师清晰授课，课后学生可通过分层练习巩固提升，有效弥补符号意识薄弱点，助力数学思维养成。

第五单元 用字母表示数和数量关系 【知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 【学习目标】 1.理解用字母表示数的意义和作用，知道字母可以表示任意数、未知数、固定公式。 2.掌握含有字母的式子的书写规范，能正确简写乘法算式。 3.学会用字母表示常见的数量关系、计算公式，能根据字母取值求出式子的值。 4.体会代数思想，为后续学习方程打下基础。 【重难点】 重点：掌握含字母式子的书写规则，能用字母准确表示数量和数量关系。 难点：理解字母表示数的抽象含义，能根据题意正确列出含字母的式子并求值。 知识梳理 知识点1 用字母表示数的意义 1.数学中可以用任意字母（a、b、c、x、y等）表示数。 2.字母可以表示：任意数、未知数、变化的数、固定常数。 3.优势：用字母表示数更加简洁、通用，可以概括所有情况，不用逐一列举。 示例：字母a可以表示0、整数、小数、分数等任意数。 知识点2 含字母式子的书写规范（必考、高频易错） 1.数字与字母相乘 乘号省略，数字写在字母前面。 示例：，（1和字母相乘，1直接省略） 2.字母与字母相乘 乘号直接省略，按顺序书写。 示例：， 3.相同字母相乘（平方简写） 两个相同字母相乘，写成平方形式。 示例：（读作：a的平方，表示2个a相乘） 4.特殊规定 ① 加号、减号、除号不能省略； ② 数字必须在前、字母在后，不能写成a8； ③ 带分数与字母相乘，必须化成假分数。 知识点3 与的区别（超级易混） 1.（a的平方）：表示2个a相乘， 2.：表示2个a相加， 3.特殊取值：当时，；其余情况两者不相等。 知识点4 用字母表示常见数量关系（核心考点） 1.加减关系：多就加、少就减 示例：甲数是x，乙数比甲数多5 → 乙数： 示例：甲数是x，乙数比甲数少3 → 乙数： 2.倍数关系：几倍就乘几 示例：小明有a元，小红的钱是小明的4倍 → 小红： 3.复合关系：先倍数、再多减少 示例：甲数为x，乙数比甲数的3倍多2 → 乙数： 示例：甲数为x，乙数比甲数的5倍少4 → 乙数： 知识点5 含字母式子的求值方法 1.把题目给出的字母数值代入式子； 2.恢复乘号，按照四则运算顺序计算； 3.结果不带单位（单位写在答句中）。 示例：当时，求的值。 解：原式 知识点6 高频易错点汇总 1.书写错误：把8a写成a8、漏写数字1； 2.概念混淆：分不清和； 3.乱省略符号：加减除号不能省略，只有乘号可省略； 4.求值不还原：代入数字后忘记补回乘号导致计算错误； 5.列式逻辑反：分不清“谁比谁多、谁比谁少”，式子列反。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 小舟买5支单价是a元的钢笔（），付了100元，应找回( )元。 【答案】100－5a 【分析】先用钢笔的数量乘单价求出买钢笔花的钱数，再用付出的钱数减去花的钱数，即可求出应找回的钱数。 【详解】100－5×a＝（100－5a）元 【跟踪训练】 赵爷爷去渔具店买鱼竿，每根鱼竿元，他买了4根一共花了( )元，付给店员150元，应找回( )元。 【答案】 4m 150－4m 【分析】已知每根鱼竿单价为m元，购买数量是4根。根据“总价＝单价×数量”，可得总花费为：m×4＝4m（元）。赵爷爷付给店员150元，总花费是4m元。根据“找回的钱＝付的总钱数－商品总花费”，可得应找回：150－4m（元）。 【详解】m×4＝4m（元） （150－4m）元 一共花了4m元，付给店员150元，应找回（150－4m）元。 【例题讲解】 有一本书，可乐每天看a页，将这本书看完需要b天。 （1）用式子表示这本书的总页数。 （2）如果可乐每天看12页，将这本书看完需要11天，用上面的式子求出这本书的总页数。 【答案】（1）ab页 （2）132页 【分析】（1）根据总页数＝每天看的页数×看的天数列式计算即可； （2）分析题目可知a＝12，b＝11，据此把a和b的值代入（1）的式子中求值即可。 【详解】（1）a×b＝ab（页） 答：用式子表示这本书的总页数为ab页。 （2）当a＝12，b＝11时， ab＝12×11＝132（页） 答：这本书的总页数是132页。 【跟踪训练】 某大剧院一楼有a排座位，二楼比一楼多6排，每排有24个座位。 (1)用含有字母的式子表示二楼有多少个座位。 (2)当时，二楼有多少个座位？ 【答案】(1)（24a＋144）个 (2)624个 【分析】（1）先根据“二楼比一楼多6排”得出二楼的排数是a＋6，再结合“每排有24个座位”，用排数乘每排座位数就能得到二楼的座位总数； （2）把a＝20代入式子，就能算出具体的座位数。 【详解】（1）（a＋6）×24 ＝24a＋6×24 ＝（24a＋144）个 答：二楼有（24a＋144）个座位。 （2）当a＝20时 24a＋144 ＝24×20＋144 ＝480＋144 ＝624（个） 答：二楼有624个座位。 【点睛】这道题的关键点是先用字母表示数量关系，再代入具体数值计算，考查用字母表示数及代入求值的能力。 培优练习 一、选择题 1．一个数的个位、十位、百位数字分别为0，a，b，这个数可表示为（    ）。 A．10a＋b B．10b＋a C．100b＋10a D．100a＋10b 【答案】C 【分析】个位上的数表示几个一，十位上的数表示几个十，百位上的数表示几个百。一个数的个位、十位、百位数字分别为0，a，b，这个数可表示为100b＋10a。 【详解】一个数的个位、十位、百位数字分别为0，a，b，这个数可表示为100b＋10a。 2．下面能够解释“a×c＋b×c＝（a＋b）×c”的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题中的算式是乘法分配律：两个数的和与第三个数相乘，可以把这两个数与第三个数分别相乘，再相加，这叫做乘法分配律。分析每一项的图示，分别列出算式，选出可以表示“a×c＋b×c＝（a＋b）×c”的图示即可。 【详解】 A．，表示线段的总长度，用算式表示是：a＋b＋c； B．，两个小长方形的面积和等于大长方形的面积，即a×c＋b×c＝（a＋b）×c； C．，表示两段线段的总长，用算式表示是a＋b＋a＋c。 D．，表示的是加法关系，表示为：a＋b＝c。 3．401班有女生a人，男生人数是女生的1.2倍，401班一共（    ）人。 A．1.2a＋a B．a C．1.2a D．1.2a－a 【答案】A 【分析】已知女生人数是a人，男生人数是女生的1.2倍，因此男生人数为1.2a人。全班总人数＝男生人数＋女生人数，也就是1.2a＋a人。 【详解】401班有女生a人，男生人数是女生的1.2倍，401班一共1.2a＋a人。 4．欢欢昨天做英语作业用了分钟，做数学作业用的时间是做英语作业的1.3倍，0.3表示（    ）。 A．做数学作业用的时间 B．做英语作业和数学作业一共用的时间 C．做数学作业比英语作业多用时间 D．做英语作业比数学作业多用时间 【答案】C 【分析】根据题意可知，做英语作业用的时间为分钟，做数学作业用的时间是做英语作业的倍，即分钟。做数学作业用的时间减去做英语作业用的时间，即为做数学作业比做英语作业多用的时间，据此解答。 【详解】做英语作业用了分钟。 做数学作业用的时间是做英语作业的倍，则做数学作业用了分钟。 做数学作业比做英语作业多用的时间为：（分钟） 所以表示做数学作业比英语作业多用的时间。 A．做数学作业用的时间应为； B．做英语作业和数学作业一共用的时间应为； C．做数学作业比英语作业多用时间为，此选项正确； D．因为，做数学作业用的时间比做英语作业多，不存在做英语作业比数学作业多用时间的情况。 5．如果把错写成，那么结果比原来（    ）。 A．多3 B．少3 C．多4 D．少4 【答案】C 【分析】根据乘法分配律将错写的式子展开，再与原式进行对比，计算两者的差值即可得出结论。 【详解】3（＋2） ＝3×＋3×2 ＝3×＋6 ＝＋6 ＋6－（＋2） ＝＋6－－2 ＝－＋6－2 ＝0＋6－2 ＝6－2 ＝4 二、填空题 6．工地上有a吨水泥，如果每天用去4吨，用了b天，用含有字母的式子表示用去水泥的吨数，那么用去( )吨水泥。如果，，那么剩余( )吨水泥。 【答案】 【分析】每天用去的水泥吨数乘使用的天数就是用去的水泥总吨数，所以直接根据这个数量关系列出含字母的式子即可； 剩余水泥吨数等于原有水泥总吨数减去已经用去的水泥吨数，代入、算出用去的水泥量，再用总吨数减去该数值就能得到剩余量。 【详解】用去水泥总吨数每天用去的吨数用的天数，每天用4吨，用了天，所以用去（吨）。 剩余吨数总水泥吨数用去的吨数，把、代入计算： （吨） 所以剩余48吨水泥。 7．小小今年a岁，比妈妈小24岁，妈妈今年( )岁；当小小19岁时，妈妈( )岁。 【答案】 a＋24 43 【分析】年龄差不变，妈妈和小小的年龄差始终是24岁。用小小的年龄a加上两人的年龄差24，即可求出妈妈今年的年龄表达式。因为年龄差不变，直接用小小当时的年龄19加上24，即可求出妈妈的年龄。 【详解】妈妈今年的年龄：（a＋24）岁 当小小19岁时，妈妈的年龄：19＋24＝43（岁） 8．学校买来9个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元。学校买篮球一共花了( )元，表示( )；当时，( )。 【答案】 学校买9个足球和b个篮球一共花的钱数 【分析】根据题意可知，根据，可求出买篮球的总价； 9a表示买足球花的总价，58b表示买篮球花的总价，表示学校买足球和篮球一共花的钱数； 求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】根据分析可知，学校买篮球一共花了58b元； 表示学校买足球和篮球一共花的钱数； ＝ ＝ ＝ 当时，＝。 9．李阿姨买了4千克苹果，每千克b元，付了a元，用含有字母的式子表示找回的钱数是( )元，如果，，那么找回的钱数是( )元。 【答案】 a－4b 30 【分析】根据总价＝单价×数量，据此求出买了4千克需要的钱数，再用付的钱数－买苹果需要的钱数，据此用含有字母的式子表示找回的钱数。当a＝50，b＝5时，代入求出的含有字母的式子，即可解答. 【详解】a－b×4＝（a－4b）元 当a＝50，b＝5时 50－4×5 ＝50－20 ＝30（元） 10．小娟正在看一本210页的数学读物——《有趣的数学》。她已经看了5天，平均每天看x页，还剩( )页没有看。当时，还剩下( )页没有看。 【答案】 50 【分析】用字母可以表示未知的数量； 每天看的数量×天数＝看的总页数，数字与字母相乘时，数字写在前面，省略乘号，写作5x； 剩余数量＝全部数量－已用数量； 已知字母代表的数值时，把数字代入式子计算，得到具体结果。 【详解】每天看x页，看了5天，一共看了5x页，还剩下（210－5x）页没看； 当x＝32时代入求值 把x＝32代入式子 210－5x； 210－5×32 ＝210－160 ＝50 三、判断题 11．当a是大于2的自然数时，。( ) 【答案】√ 【分析】a2表示2个a相乘，2a表示2个a相加或2乘a。根据题干条件，a是大于2的自然数，可以通过代入具体的数值进行验证。 【详解】由题意可知，a是大于2的自然数，即a可以是3，4，5…… a2表示a×a，2a表示2×a。 当a＝3时，a2＝3×3＝9，2a＝2×3＝6，因为9＞6，所以a2＞2a； 当a＝4时， a2＝4×4＝16，2a＝2×4＝8，因为16＞8，所以a2＞2a。 当a是大于2的自然数时，。 故答案为：√ 12．今年妈妈比笑笑大岁，年后，妈妈比笑笑大 岁。( ) 【答案】× 【分析】在年龄问题中，无论经过多少年，两个人的年龄差是始终不变的。 【详解】今年妈妈比笑笑大岁，说明妈妈和笑笑的年龄差是岁。 经过年后，妈妈增长了岁，笑笑也增长了岁。 两人的年龄差仍然是岁，不会变成岁。 故答案为：× 13．李老师骑自行车，m时骑了n千米，李老师每时骑m÷n千米。( ) 【答案】× 【分析】根据速度＝路程÷时间，已知时间是m时，路程是n千米，求速度应该用路程除以时间。 【详解】求李老师每时骑多少千米，即求速度，正确列式应为n÷m，即李老师每时骑n÷m千米。 故答案为：× 14．如果a2＝2a，那么a一定等于2。( ) 【答案】× 【分析】a2表示2个a相乘，即a×a，所以题干等式可转化为a×a＝2a，代入不同数值验证即可。 【详解】当a＝0时，a2＝0×0＝0，2a＝2×0＝0，所以a2＝2a，那么a可以等于0，本题说法错误。 故答案为：× 15．齐思有a元钱，妙想比齐思多b元钱，他们一共有（2a＋b）元钱。( ) 【答案】√ 【分析】先根据“妙想比齐思多b元”，用齐思的钱数a表示出妙想的钱数，再把两人的钱数相加，化简后和题目给出的总钱数对比。 【详解】妙想有的钱数：（a＋b）元 两人一共有的钱数： a＋（a＋b） ＝a＋a＋b ＝（2a＋b）元 计算结果与题干表述一致，所以说法正确。 故答案为：√ 四、解答题 16．水果超市运来12箱油桃，每箱a千克，又运来7箱樱桃，每箱b千克。 (1)用含有字母，的式子表示一共运来油桃和樱桃多少千克。 (2)当，时，一共运来油桃和樱桃多少千克？ 【答案】(1)（12a＋7b）千克 (2)282千克 【分析】（1）先分别计算两种水果的总重量，再求和：油桃总重量＝箱数×每箱重量，即12×a＝12a千克；樱桃总重量为7×b＝7b千克，总重量就是两种水果重量相加。 （2）把a＝20、b＝6，代入第一问的式子计算即可。 【详解】（1）12×a＋7×b＝（12a＋7b）千克 答：用含有字母a，  b的式子表示一共运来油桃和樱桃（12a＋7b）千克。 （2）a＝20 b＝6 12a＋7b ＝12×20＋7×6 ＝240＋42 ＝282（千克） 答：一共运来油桃和樱桃282千克。 17．某工厂需要30吨煤，已经运来了x车，每辆车运2吨。 (1)用含x式子表示还需要运( )吨煤； (2)当x＝6时，还需要运多少吨煤？ (3)如果还需要运8吨煤，求已经运来了几车煤？ 【答案】(1) (2)18吨 (3)11车 【分析】（1）还需要运煤的吨数＝总吨数－已经运煤的吨数，据此解答即可； （2）将的取值代入（1）题数量表达式计算即可； （3）用总吨数减去还需要运来的吨数，再除以每辆车运的吨数即可。 【详解】（1）＝（）吨 （2）当＝6时， ＝30－2×6 ＝30－12 ＝18（吨） 答：还需要运18吨煤。 （3）当还需运8吨时，已运煤量为：30－8＝22吨， 因此车数为：22÷2＝11（车） 答：已经运来了11车煤。 18．果园里有苹果树x棵，桃树的棵数是苹果树的3倍。 (1)用含有字母的式子表示苹果树和桃树一共有多少棵？ (2)当x＝120时，苹果树和桃树一共有多少棵？ 【答案】(1)4x棵 (2)480棵 【分析】（1）根据题意，苹果树有棵，桃树的棵数是苹果树的倍，则桃树有棵。要求苹果树和桃树一共有多少棵，即将苹果树的棵数与桃树的棵数相加，列出式子后利用乘法分配律进行化简。 （2）将代入第（1）题化简后的式子中，计算出具体数值即可。 【详解】（1）桃树的棵数：（棵） 苹果树和桃树的总棵数： 答：苹果树和桃树一共有棵。 （2）当时， （棵） 答：苹果树和桃树一共有480棵。 19．在数学中，定义了一种新的运算符号“★”。对于两个整数x和y，规定x★y＝x×y－2x＋y。 例如：4★3＝4×3－2×4＋3＝12－8＋3＝7，6★2＝6×2－2×6＋2＝12－12＋2＝2。 请根据“★”运算的规则，计算下面式子的值。 5★4 【答案】14 【分析】对于两个整数x和y，规定x★y＝x×y－2x＋y，结合题干的2个例子计算即可。 【详解】5★4 ＝5×4－2×5＋4 ＝20－10＋4 ＝14 答：5★4的值是14。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 用字母表示数和数量关系 【知识梳理+例题讲解+跟踪训练+培优练习】 【学习目标】 1.理解用字母表示数的意义和作用，知道字母可以表示任意数、未知数、固定公式。 2.掌握含有字母的式子的书写规范，能正确简写乘法算式。 3.学会用字母表示常见的数量关系、计算公式，能根据字母取值求出式子的值。 4.体会代数思想，为后续学习方程打下基础。 【重难点】 重点：掌握含字母式子的书写规则，能用字母准确表示数量和数量关系。 难点：理解字母表示数的抽象含义，能根据题意正确列出含字母的式子并求值。 知识梳理 知识点1 用字母表示数的意义 1.数学中可以用任意字母（a、b、c、x、y等）表示数。 2.字母可以表示：任意数、未知数、变化的数、固定常数。 3.优势：用字母表示数更加简洁、通用，可以概括所有情况，不用逐一列举。 示例：字母a可以表示0、整数、小数、分数等任意数。 知识点2 含字母式子的书写规范（必考、高频易错） 1.数字与字母相乘 乘号省略，数字写在字母前面。 示例：，（1和字母相乘，1直接省略） 2.字母与字母相乘 乘号直接省略，按顺序书写。 示例：， 3.相同字母相乘（平方简写） 两个相同字母相乘，写成平方形式。 示例：（读作：a的平方，表示2个a相乘） 4.特殊规定 ① 加号、减号、除号不能省略； ② 数字必须在前、字母在后，不能写成a8； ③ 带分数与字母相乘，必须化成假分数。 知识点3 与的区别（超级易混） 1.（a的平方）：表示2个a相乘， 2.：表示2个a相加， 3.特殊取值：当时，；其余情况两者不相等。 知识点4 用字母表示常见数量关系（核心考点） 1.加减关系：多就加、少就减 示例：甲数是x，乙数比甲数多5 → 乙数： 示例：甲数是x，乙数比甲数少3 → 乙数： 2.倍数关系：几倍就乘几 示例：小明有a元，小红的钱是小明的4倍 → 小红： 3.复合关系：先倍数、再多减少 示例：甲数为x，乙数比甲数的3倍多2 → 乙数： 示例：甲数为x，乙数比甲数的5倍少4 → 乙数： 知识点5 含字母式子的求值方法 1.把题目给出的字母数值代入式子； 2.恢复乘号，按照四则运算顺序计算； 3.结果不带单位（单位写在答句中）。 示例：当时，求的值。 解：原式 知识点6 高频易错点汇总 1.书写错误：把8a写成a8、漏写数字1； 2.概念混淆：分不清和； 3.乱省略符号：加减除号不能省略，只有乘号可省略； 4.求值不还原：代入数字后忘记补回乘号导致计算错误； 5.列式逻辑反：分不清“谁比谁多、谁比谁少”，式子列反。 例题讲解+跟踪训练 【例题讲解】 小舟买5支单价是a元的钢笔（），付了100元，应找回( )元。 【跟踪训练】 赵爷爷去渔具店买鱼竿，每根鱼竿元，他买了4根一共花了( )元，付给店员150元，应找回( )元。 【例题讲解】 有一本书，可乐每天看a页，将这本书看完需要b天。 （1）用式子表示这本书的总页数。 （2）如果可乐每天看12页，将这本书看完需要11天，用上面的式子求出这本书的总页数。 【跟踪训练】 某大剧院一楼有a排座位，二楼比一楼多6排，每排有24个座位。 (1)用含有字母的式子表示二楼有多少个座位。 (2)当时，二楼有多少个座位？ 培优练习 一、选择题 1．一个数的个位、十位、百位数字分别为0，a，b，这个数可表示为（    ）。 A．10a＋b B．10b＋a C．100b＋10a D．100a＋10b 2．下面能够解释“a×c＋b×c＝（a＋b）×c”的是（    ）。 A． B． C． D． A．，表示线段的总长度，用算式表示是：a＋b＋c； B．，两个小长方形的面积和等于大长方形的面积，即a×c＋b×c＝（a＋b）×c； C．，表示两段线段的总长，用算式表示是a＋b＋a＋c。 D．，表示的是加法关系，表示为：a＋b＝c。 3．401班有女生a人，男生人数是女生的1.2倍，401班一共（    ）人。 A．1.2a＋a B．a C．1.2a D．1.2a－a 4．欢欢昨天做英语作业用了分钟，做数学作业用的时间是做英语作业的1.3倍，0.3表示（    ）。 A．做数学作业用的时间 B．做英语作业和数学作业一共用的时间 C．做数学作业比英语作业多用时间 D．做英语作业比数学作业多用时间 5．如果把错写成，那么结果比原来（    ）。 A．多3 B．少3 C．多4 D．少4 二、填空题 6．工地上有a吨水泥，如果每天用去4吨，用了b天，用含有字母的式子表示用去水泥的吨数，那么用去( )吨水泥。如果，，那么剩余( )吨水泥。 7．小小今年a岁，比妈妈小24岁，妈妈今年( )岁；当小小19岁时，妈妈( )岁。 8．学校买来9个足球，每个a元；又买来b个篮球，每个58元。学校买篮球一共花了( )元，表示( )；当时，( )。 9．李阿姨买了4千克苹果，每千克b元，付了a元，用含有字母的式子表示找回的钱数是( )元，如果，，那么找回的钱数是( )元。 10．小娟正在看一本210页的数学读物——《有趣的数学》。她已经看了5天，平均每天看x页，还剩( )页没有看。当时，还剩下( )页没有看。 三、判断题 11．当a是大于2的自然数时，。( ) 12．今年妈妈比笑笑大岁，年后，妈妈比笑笑大 岁。( ) 13．李老师骑自行车，m时骑了n千米，李老师每时骑m÷n千米。( ) 14．如果a2＝2a，那么a一定等于2。( ) 15．齐思有a元钱，妙想比齐思多b元钱，他们一共有（2a＋b）元钱。( ) 四、解答题 16．水果超市运来12箱油桃，每箱a千克，又运来7箱樱桃，每箱b千克。 (1)用含有字母，的式子表示一共运来油桃和樱桃多少千克。 (2)当，时，一共运来油桃和樱桃多少千克？ 17．某工厂需要30吨煤，已经运来了x车，每辆车运2吨。 (1)用含x式子表示还需要运( )吨煤； (2)当x＝6时，还需要运多少吨煤？ (3)如果还需要运8吨煤，求已经运来了几车煤？ 18．果园里有苹果树x棵，桃树的棵数是苹果树的3倍。 (1)用含有字母的式子表示苹果树和桃树一共有多少棵？ (2)当x＝120时，苹果树和桃树一共有多少棵？ 19．在数学中，定义了一种新的运算符号“★”。对于两个整数x和y，规定x★y＝x×y－2x＋y。 例如：4★3＝4×3－2×4＋3＝12－8＋3＝7，6★2＝6×2－2×6＋2＝12－12＋2＝2。 请根据“★”运算的规则，计算下面式子的值。 5★4 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $