专题02 复数不等式平面向量（7年真题汇编+1年模拟）（北京专用）2020-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 整合2020-2026年北京高考真题及模拟题，聚焦复数、不等式、平面向量三大考点，精准反映命题演变趋势，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|32题|复数（模长、运算等）、不等式（代数判断、情境推理）、平面向量（数量积、几何轨迹等）|复数题型稳定，不等式融入生活情境（如2026年参观博物馆题），向量结合几何与充要条件（如2024年充要条件题）| |填空题|6题|向量模长范围、函数最值、复数运算|注重综合应用，如2026年向量最值题、正方体动态点问题|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02复数、不等式、平面向量 7年真题1年模拟 高考品题透析园 考点分类 北京考情(2020-2026) 命题规律 2020复平面坐标、2021模长、2022 模 基础送分题，七年全覆盖；运算、模 复数 长、2023共轭、2024运算、2025模 长、共轭、复平面轮换考查，题型稳 长、2026运算，每年1道选择 定无波动，难度常年偏低 2020函数不等式、2021-2023代数判 命题变化显著：早年纯代数辨析， 不等式 断、2024函数单调性、2025基本不等 2024后融入函数、生活情境，逻辑推 式、2026情境推理，每年1道 理、反例判断占比持续提高 核心变化：2022年前以数量积、模长 2020基础运算、2021数量积、2022几 平面向量 何轨迹、2023模长、2024充要条件、 基础计算为主；后五年频繁结合几何 轨迹、充要条件、最值范围，综合性 2025数量积范围、2026最值，共7题 大幅增强 小结：复数题型高度固化：不等式走向情境化：向量跨几何融合是七年最突出变化。 七年真题分类园 ©考点01 复数 1 (2026·北京·高考真题)己知2=3-2i,2=-1+4i,则3+2=() A2√2 B.i C.2 D.8 2. (2025·北京·高考真题)己知复数z满足i·z+2=2i,则z卡( A.2 B.2√2 C.4 D.8 3. (2024·北京·高考真题)已知-1-i,则2=（ A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 4.(2023·北京·高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是-1,3)，则z的共轭复数z= 1/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.1+3i B.1-3i c.-1+V3i D.-1-3i 5.(2022·北京·高考真题)若复数z满足i·z=3-4i,则=( A.1 B.5 C.7 D.25 6.(2021·北京·高考真题)在复平面内，复数z满足-)z=2,则z=( ) A.-1-i B.-1+i c.1-i D.1+i 7.(2020·北京·高考真题)在复平面内，复数z对应的点的坐标是山，2)，则i·z=(). A.1+2i B.-2+i c.1-2i D.-2-i 考点02等式与不等式 1.(2026·北京·高考真题)学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一 处前往.已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总 数，则() A去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 2.(2025·北京·高考真题)已知a>0,b>0,则( ) 1+11 A.a2+b2>2ab B.ab ab C.a+bzab 3.(2024·北京·高考真题)己知(x,),（:,)是函数y=2的图象上两个不同的点，则 ) A.1g,当+5<+ 2 2 B.log,当+h>x+x 2 2 c1,”当<+ 。.照>+ 2/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4. (2020·北京·高考真题)已知函数f(x)=2-x-1,则不等式f(x)>0的解集是（). A.(-1,1) B.(-o0,-1)U(L,+o) C.(0,1) D.(-o,0)U(1,+0) 考点03 平面向量 1.(2026·北京·高考真题)已知向量a,6满足a-列=2，a=(2,0),则的最大值为() A1 B.2 C.3 D.4 2.(2025·北京·高考真题)在平面直角坐标系x0中，10AH0B=V2,1AB2.设C3,4),则 |2CA+AB|的取值范围是( A.[6,14 B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 3.(2024·北京·高考真题)设a,石是向量，则“(a+b)a-b)=0”是“a=-6或a=6”的 ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(2023·北京·高考真题)已知向量d,6满足a+b=(2,3),-万=(-2,1)，则ā-16P= ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.(2022·北京·高考真题)在△ABC中，4C=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 PC=1,则PAPB的取值范围是( A.[-5,3] B.[-3,5] c.[-6,4] D.[-4,6] 6.(2021·北京·高考真题)已知向量ā，b,c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边 长为1，则 (a+b).c= a.b= 3/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 。(2a0,北家，商号真)已加正方形/BCD的边长为2，点P满足亚-+A0,则P历仁- -；PB.PD= 4/8 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测园 一、单选题 1.(北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷)若复数z=1+2i,则z+z在复平面上 对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷)若复数z满足(1+21)z=3+1,则z 在复平面内的对应点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷)复数1-i的实部与虚部的和是 ( ) A.1-i B.1+i C.0 D.2 4.（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题)若复数z满足i·z=1+i,则z=( ) A.1 B.2 C.2 5.（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题)已知复数2=(2i-1)(a-i)为 纯虚数，则实数a=( ) A.2 B.1 C.0 D.-1 5i 6.（北京市通州区2025届高三下学期4月模拟考试数学试卷)已知复数a+1=2升：(abeR),则 a+b=( A.-1 B.1 C.3 D.5 7.(北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学)设，b为非零向量，则“对于任意1∈R,b≠” 是“-<a+列”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷)已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如 5/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则ab+bc=( A.-1 B.0 C.2 D.4 9.(北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷)己知集合 A={xx2-2x≤0，B={xr>1,则AUB=( A.{xx≥0 B.{x0≤x< c.>1 D.{1<x≤2 10.(北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷)若a,beR,则“a>b>0”是“ b2a”的（ ) a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.(北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题)已知集合M={x|-5<x<3},N={xx2<16}, 则集合M∩N=( A.{x-4<x<3} B.{x-5<x<3} C.{x-4<x<4} D.{xl-5<x<4} 12.(北京市海淀区2025一2026学年第二学期期中练习高三数学)己知全集U={xx-1<3, A={xx2<4},则CA=（) A.{-2<x<2 B.{2≤x<4 c.{-1<x≤4 D.{-2<x<4} 13.(北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题)实数a,b满足a+b≥0， ab<0,则( A.a+b>2ab B.la-b≥2√-ab C.a2+b2>-2ab D.a2-b2-2ab 14.(北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学)己知复数z满足(1+)z+2=1,则在复平面内， 复数z对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题)在复平面内，复数z满足z=1+i,则 z·z=( ) A.0 B.1 C.2 D.2 6.(北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷)如果复数，(a∈R)的实部与虚部相等 那么a=( ) A.-2 B.1 C.2 D.4 17.(北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题)已知平面直角坐标系Oy中，OA·OB=0, |AB=2,C(3,4),则CA.CB的取值范围是( A.15,35] B.[-15,35] c.[16,36 D.[-16,36 18.(北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学)在平面直角坐标系O少中，点M在圆心为C的圆 x2+y2-2x-2=0上.若动点P满足MP1,CM.CP-3,则对于a∈R,点P到直线x+ay+2a=0的距离 的最大值为( A.V5+2 B.2+V2 c.5+5 D.2+V5 19.(北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷)等边△ABC的边长为6，若AD=2DC, AE=EB,则DEDC=( ) A.5 B.3 C.-3 D.-5 20.(北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷)己知4，b,C∈R,则下列结论中不正确 的是( A.若a>b,c<0,则a+c<b+c B.若a3>b3,则a>b C.若ac2>bc2,则a>b D.若Va<b,则a<b 21.(北京市海淀区2025一2026学年第二学期期中练习高三数学)已知平面上的点4,4，A,A4,A 满足64=44=∠A4=否，且 A4·AA=AA·AA=A,A4·A4,则下列等式中一定不成立的是( A.44=44 8话4 C.A4=24A D.44=44 2 二、填空题 7/8 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x2+1 22. (北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷)当x>0时，函数y=x的最小值为 8.(4北京市海淀区2025一2026学年第二学期期中练习高三数学)若复数2满足+1=2，则2一， = 24.(北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题)设单位向量ā，b满足ā⊥b 若：=a+26,则=一一一：若a+6与a+6的夹角为3，且1>1？则实数，= 25.(北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学)设平面向量d=(-1,2),6=(3,),其中t∈R, |b-a|的最小值为_ 26.（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题)在平面直角坐标系x0中，0n=1, 直线y=-x+V2与x轴和r轴分别交于点A,B,则PA+PB的最大值为 一一一；PA.PB的取值范围是 27.(北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷)在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中， 点P满足CP=CD+C℃，其中元∈[0，]，∈[O,,给出下列四个结论： ①当1=1时，μ∈[0，，△BCP的面积为定值； ②当4=1时，元∈[0，，三棱锥P-ACD的体积为定值： ③当2=2时，存在唯一的μ∈[O,],使得BA=BP: ④当u=2时，存在唯一的元∈[O,小，使得BC⊥平面BCP. 其中所有正确结论的序号是 8/8可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02复数、不等式、平面向量 7年真题1年模拟 七年真题分类园 @ 考点01 复数 1.A 2.B 3.c 4.D 5.B. 6.D. 7.B. @ 考点02 等式与不等式 1.B 2.c. 3.B 4.D @ 考点03 平面向量 1.D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.0:3. 7.5:-1 1/3 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 一年模拟练测园 一、单选题 1.C 2.D 3.C 4.C 5.A 6.C 7.A 8.B 9.A 10.A 11.A 12.B 13.B 14.B 15.D 16.A 17.A 18.A 19.D 20.A 21.B 二、填空题 22.2 23.1+2i1 5 24.V5 2+V5 25.4 26.4 [-1,3] 2/3 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 27.②③ 3/3 专题02 复数、不等式、平面向量 7年真题1年模拟 考点分类 北京考情（2020-2026） 命题规律 复数 2020 复平面坐标、2021 模长、2022 模长、2023 共轭、2024 运算、2025 模长、2026 运算，每年 1 道选择 基础送分题，七年全覆盖；运算、模长、共轭、复平面轮换考查，题型稳定无波动，难度常年偏低 不等式 2020 函数不等式、2021–2023 代数判断、2024 函数单调性、2025 基本不等式、2026 情境推理，每年 1 道 命题变化显著：早年纯代数辨析，2024 后融入函数、生活情境，逻辑推理、反例判断占比持续提高 平面向量 2020 基础运算、2021 数量积、2022 几何轨迹、2023 模长、2024 充要条件、2025 数量积范围、2026 最值，共 7 题 核心变化：2022 年前以数量积、模长基础计算为主；后五年频繁结合几何轨迹、充要条件、最值范围，综合性大幅增强 小结：复数题型高度固化；不等式走向情境化；向量跨几何融合是七年最突出变化。 考点01 复数 1．（2026·北京·高考真题）已知，，则（ ） A. B. C. 2 D. 8 【答案】A 【解析】由题意， 则. 2．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【解析】由可得，，所以， 故选：B. 3．（2024·北京·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得. 故选：C. 4．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，， 由共轭复数的定义可知，. 故选：D 5．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】B 【解析】由题意有，故． 故选：B． 6．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得：. 故选：D. 7．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意得，. 故选：B. 考点02 等式与不等式 1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（ ） A. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C. 去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D. 去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解析】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， 高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：， ∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数， ∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得， ∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以等价于， 在同一直角坐标系中作出和的图象如图： 两函数图象的交点坐标为， 不等式的解为或. 所以不等式的解集为：. 故选：D. 考点03 平面向量 1.（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】因为，且 ，则， 所以， 所以当反向时，取最大值为4. 2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 3．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，可得，即， 可知等价于， 若或，可得，即，可知必要性成立； 若，即，无法得出或， 例如，满足，但且，可知充分性不成立； 综上所述，“”是“或”的必要不充分条件. 故选：B. 4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】向量满足， 所以. 故选：B 5．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 6．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； . 【答案】 0 3 【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示： 则， ，， . 故答案为：0；3. 7．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、、、， ， 则点，，， 因此，，. 故答案为：；. 一、单选题 1．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）若复数，则在复平面上对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】复数，则， 所以在复平面上对应的点位于第三象限. 2．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可知：， 即， 所以z在复平面对应的点为在第四象限. 3．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）复数的实部与虚部的和是（   ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是. 4．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 5．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知复数为纯虚数，则实数（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】， 因为为纯虚数，所以，且，即. 6．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知复数（），则（   ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】由复数的运算可得，从而得，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 7．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设为非零向量，则“对于任意”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面向量的三角不等式取等条件判断充分性，举反例判断必要性. 【详解】因为为非零向量，若对任意都有，则不共线， 根据不等式的取等条件可知，，充分性成立； 若，不妨取，且同向， 则，满足， 此时存在，使得，必要性不成立. 综上，为非零向量，“对于任意”是“”的充分不必要条件. 8．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】引入向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，把用表示后计算. 【详解】记向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，则，，， 所以. 9．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式求解确定集合，再由并集运算即可求解. 【详解】由可得， 即，又， 所以. 10．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对移项通分：， 若，则，因此，即一定成立，充分性成立； 若，不一定能推出， 举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 11．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 因为集合，所以. 12．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知全集，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得，得，则， 因为，所以. 13．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）实数，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于B，通过平方法结合条件即可证明不等式恒成立，对于其它选项均可取反例证伪. 【详解】对于A，取，此时不成立，故A错误； 对于B，， 因为，所以该不等式对任意恒成立，故B正确； 对于C，取，此时不成立，故C错误； 对于D，取，此时不成立，故D错误； 14．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）已知复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】化简得， 复数z对应的点位于第二象限. 15．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）在复平面内，复数满足，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】由，得，故， 所以. 16．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）如果复数的实部与虚部相等，那么（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】因为， 因为，且复数的实部与虚部相等，所以. 17．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可. 【详解】如图所示， 由得，是直角三角形，斜边，取中点， 根据直角三角形斜边中线性质，可得， 即在以原点为圆心、半径的圆上. 根据向量极化恒等式，对任意，为中点， 有 ，代入，得： 因为，在为圆心、半径1的圆上， 所以的范围是：， 即， 故. 18．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径， 又，， 所以，即在方向上的投影为， 所以，又，所以， 则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆， 又直线恒过定点， 所以， 则P到直线的距离的最大值为. 19．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）等边的边长为6，若，，则（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】如图： 由题意，，，所以. 又，， 所以. 20．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 21．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知平面上的点，，，，满足，且 ，则下列等式中一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的定义分析可知，，利用坐标表示点，，，讨论点，的可能性情况，结合选项分析判断即可. 【详解】因为， 则， 又因为，则，， 设，，，，， 若，， 可得，，， 若，则，故A可能成立； 若，， 可得，，， 则，且， 若，则，故D可能成立； 若，， 可得，，， 则，故C可能成立； 若，， 可得，，，此时ABCD均不成立. 综上所述：不可能成立的是B. 二、填空题 22．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）当时，函数的最小值为_____． 【答案】 【分析】由基本不等式进行求解． 【详解】因为，所以，等号成立时，， 故函数的最小值为． 23．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）若复数z满足，则______，______ 【答案】 【详解】，，得. ， . 24．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________． 【答案】 【详解】， 因为，所以， 所以； 由于单位向量，满足，即， 因为与的夹角为，所以， 整理可得， 因为，所以. 25．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设平面向量，其中，的最小值为_________． 【答案】4 【详解】已知，，其中， 得：， 所以， 当时， 26．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________． 【答案】 4 【分析】先求出两点的坐标，再表示出和的坐标，先求出，再求出向量的模，再利用三角函数恒等变换公式化简求解其最大值，最后应用数量积公式计算结合正弦函数值域计算求解. 【详解】设， 由题意知，直线分别与轴､轴交于点，则， 所以，； 因为， 则 ， 当时，取得最大值，且最大值为 ， 因为，的取值范围是. 27．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，给出下列四个结论： ①当时，，的面积为定值； ②当时，，三棱锥的体积为定值； ③当时，存在唯一的，使得； ④当时，存在唯一的，使得平面． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【分析】①根据向量运算得出线段，再分别取点重合、点重合两种情况计算面积；②根据向量运算得出线段，判断三棱锥的体积为定值；③分别取线段的中点，根据向量运算得出点线段，利用勾股定理计算；④分别取线段的中点，根据向量运算得出点线段，利用反证法判断. 【详解】①当时，，则， 因为，所以线段， 若点重合，则， 则的面积为， 若点重合，则， 则，则的面积为， 故的面积不为定值，①错误； ②当时，，则， 因为，所以线段， 因为平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故②正确； ③当时，， 分别取线段的中点，则，则， 则点线段， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，得， 故存在唯一的，使得，故③正确； ④当时，， 分别取线段的中点，则，则， 则点线段， 若平面，平面，则， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以，显然不可能成立， 故不存在，使得平面，故④错误.   1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $