广东深圳市光明区光明中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

**基本信息** 光明中学高二期末数学卷以真实情境与梯度设计为特色，覆盖数列、立体几何等核心知识，注重逻辑推理与数学建模能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、三角函数|基础概念辨析，如第3题等差数列与等比数列综合| |多选题|3/18|统计回归、函数性质|第9题结合智能手环直播数据考查回归分析，体现数据意识| |填空题|3/15|不等式、二项式定理、棱台体积|第14题正三棱台体积计算，融合空间想象与运算| |解答题|5/77|概率统计、数列求和、导数应用、立体几何、解析几何|第15题分层抽样与独立性检验，第19题轨迹方程与定点证明，考查逻辑推理与数学建模，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年度高二第二学期期末考试数学试题 参考答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则（D   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（ B  ） A． B． C．4 D．8 3．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ C  ） A． B． C．16 D．18 4．已知，则（C   ） A． B． C． D． 5.已知空间向量=(7,－1,1),平面α的一个法向量为=(3，0，4),则向量在平面α上的投影向量是（ ） A. (-4,1,3) B. C.(4,－1,－3) D. 答案C 6. 已知直线l在平面α外，则下列命题一定正确的是(　　) A．存在直线m⊂α,使l与m的夹角为 B．存在直线m⊂α,使l∥m C．存在直线m⊂α,使l与m相交 D．存在直线m⊂α,使l⊥m 答案：D 7．若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】 ， 令，得， 因为，所以， 所以有. 故选：A 8．已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设CF的中点(即以CF为直径的圆的圆心）为H，则的最大值为4，即|OH|+r =|OH|+|HF|的值为4. 设椭圆的左焦点为F`，则OH是△FF`C的中位线，故2a=F`C+FC的值为8，a的值为4，结合c=1知答案为B. 二、多选题 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（   ） A． B．回归直线过点 C． D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 ACD 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10．三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题 12.若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 13. 已知，则________；________． 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 14.在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 解法一：把正三棱台还原成正三棱锥，易知三棱台的体积是正三棱锥体积的.求正棱锥的体积运算量较小。 解法二（直接求三棱台的体积） ∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 四、解答题 15．（13分） 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人， 故至少有1人是女孩的概率为．（5分） （2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关， 则（10分） 故不能拒绝零假设，即根据的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．（13分） 16．（15分） 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，（2分） 解得， 所以．（5分） （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以．（8分） 从而， 所以 ．（15分） 17．(15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， （1分） 易得，得到切线斜率为， （4分） 故曲线在点处的切线方程为， 即. （6分） （2）由题意得的定义域为， （7分） 且， （9分） 而，令，，令，， （10分） 即的单调递减区间为，单调递增区间为， （11分） 则当时，有最小值， （12分） 得到，解得， （14分） ，，即的取值范围为. （15分） 18．(17分) 如图，在四棱锥中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，GN （1分） ∵ △ADC与△BAC为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， （5分） 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （7分） （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， （8分） 设，则， （9分） ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. （12分） 设AB与平面PCD所成角为， 则， （16分） 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. ………………………………（17分） 19．(17分） 已知点，P是直线AB外的一个动点，PQ⊥AB，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线. (1) 求的方程； (2) 已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为2. 求证：过定点； 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以，则， 整理可得曲线的方程为． ……………………（5分） （2）①设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． ………………………………（6分） 故可设，由得， ………………………………（7分） 依题意，且， ∴且． ① ………………………………（8分） 由得， （*） 由于和是方程（*）的两根，所以 令x=－1得， ………………………………（11分） 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 ………………………………（12分） 因为点M在双曲线C上，所以，即， ………………………………（13分） 所以， 即 ③ ………………………………（14分） 把① ②代入 ③得， 化简可得 ………………………………（15分） 解得 ，（舍去t=－1)． 此时 恒成立， ………………………………（16分） 所以 ，过定点． ………………………………（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光明中学2025-2026学年度高二第二学期期末考试 数 学 试 题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 (本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 3．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（    ） A． B． C．16 D．18 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5.已知空间向量=(7,－1,1),平面α的一个法向量为=(3，0，4),则向量在平面α上的投影向量是（ ） A. (-4,1,3) B. C.(4,－1,－3) D. 6. 已知直线l在平面α外，则下列命题一定正确的是(　　) A．存在直线m⊂α,使l与m的夹角为 B．存在直线m⊂α,使l∥m C．存在直线m⊂α,使l与m相交 D．存在直线m⊂α,使l⊥m 7．若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2、 多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（   ） A． B．回归直线过点 C． D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10．三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 三、填空题(本题共3小题，每题5分，共15分．其中第13题第1空2分，第2空3分） 12.若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 13. 已知，则______；____． 14.在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 17．(15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 18．(17) 如图，在四棱锥中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 19．(17分） 已知点，P是直线AB外的一个动点，PQ⊥AB，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线. (1) 求的方程； (2) 已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为2. 求证：过定点； 2025-2026学年度高二第二学期期末考试数学试题 参考答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知集合，则（D   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（ B  ） A． B． C．4 D．8 3．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ C  ） A． B． C．16 D．18 4．已知，则（C   ） A． B． C． D． 5.已知空间向量=(7,－1,1),平面α的一个法向量为=(3，0，4),则向量在平面α上的投影向量是（ ） A. (-4,1,3) B. C.(4,－1,－3) D. 答案C 7. 已知直线l在平面α外，则下列命题一定正确的是(　　) A．存在直线m⊂α,使l与m的夹角为 B．存在直线m⊂α,使l∥m C．存在直线m⊂α,使l与m相交 D．存在直线m⊂α,使l⊥m 答案：D 7．若函数 在 上恰有两个零点，则实数ω的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】 ， 令，得， 因为，所以， 所以有. 故选：A 8．已知椭圆的一个焦点为，中心为．是上的动点，是以为直径的圆上的动点，且的最大值为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设CF的中点(即以CF为直径的圆的圆心）为H，则的最大值为4，即|OH|+r =|OH|+|HF|的值为4. 设椭圆的左焦点为F`，则OH是△FF`C的中位线，故2a=F`C+FC的值为8，a的值为4，结合c=1知答案为B. 二、多选题 9. 为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长 1 2 3 4 5 即时下单量 12 18 25 30 34 若与的经验回归方程为，样本相关系数为，则（   ） A． B．回归直线过点 C． D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 ACD 【详解】对于A，由数据可知，即时下单量随着直播间展示时长的增大而增大， 因此直播间展示时长与即时下单量为正相关，即样本相关系数，故A正确； 对于B，由数据可知，，， 则回归直线过中心点，不过点，故B错误； 对于C，将点代入，可得，解得，故C正确； 对于D，由C知，与的经验回归方程为， 则时，，故D正确. 10．三次函数的性质，下列说法正确的是（　　） A．函数在处的切线方程为 B．的极小值点为 C．当时，方程有三个实根 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】对于A：求导，根据导数的几何意义求切线方程；对于B：利用导数判断函数的单调性和极值点；对于C：作出函数的图象，结合图象分析判断；对于D：根据对称中心的定义分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为， 且， 可得，即切点坐标为，切线斜率为0， 所以函数在处的切线方程为，故A正确； 对于选项B：令，解得或；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值点为，极大值点为，故B错误； 对于选项C：因为，，结合选项B可得函数的图象： 由图可知：当时，与有三个交点， 即方程有三个实根，故C正确； 对于选项D：因为 ， 所以的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．与的面积之比为 【答案】BCD 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题 12.若存在实数使得成立，则实数的取值范围是______ 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 14. 已知，则________；________． 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则， 又， 故， 令，则， 令，则，故 故答案为：. 14.在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 解法一：把正三棱台还原成正三棱锥，易知三棱台的体积是正三棱锥体积的.求正棱锥的体积运算量较小。 解法二（直接求三棱台的体积） ∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，， ∴ . 代入棱台体积公式， 得， ∴ . 四、解答题 15．（13分） 近年来，某公司以电影和动漫中的一些元素为主题，开发了一些豪车模型玩具，现抽取了部分孩童，调查他们是否喜爱豪车模型，所得数据统计如下表所示． 性别 男孩 女孩 喜欢豪车模型 340 160 不喜欢豪车模型 300 200 (1)现按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法在不喜欢豪车模型的样本孩童中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，求至少1人是女孩的概率； (2)根据的独立性检验，能否认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【解析】（1）抽取的10人中，男孩有6人，女孩有4人， 故至少有1人是女孩的概率为．（5分） （2）零假设：是否喜欢豪车模型与性别无关， 则（10分） 故不能拒绝零假设，即根据的独立性检验，不能认为是否喜欢豪车模型与性别具有相关性．（13分） 16．（15分） 在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，由题意得，（2分） 解得， 所以．（5分） （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以．（8分） 从而， 所以 ．（15分） 17．(15分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）当时，， 而，则切点坐标为， （1分） 易得，得到切线斜率为， （4分） 故曲线在点处的切线方程为， 即. （6分） （2）由题意得的定义域为， （7分） 且， （9分） 而，令，，令，， （10分） 即的单调递减区间为，单调递增区间为， （11分） 则当时，有最小值， （12分） 得到，解得， （14分） ，，即的取值范围为. （15分） 18．(17分) 如图，在四棱锥中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若F,G分别为PD,PE的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，GN （1分） ∵ △ADC与△BAC为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， （5分） 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （7分） （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， （8分） 设，则， （9分） ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. （12分） 设AB与平面PCD所成角为， 则， （16分） 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. ………………………………（17分） 19．(17分） 已知点，P是直线AB外的一个动点，PQ⊥AB，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线. (1) 求的方程； (2) 已知直线交于两点，关于轴的对称点为，若直线和的斜率之商为2. 求证：过定点； 【详解】（1）设，因为，且，垂足为，则点坐标为． 则， 已知，即． 因为在线段外，所以，则， 整理可得曲线的方程为． ……………………（5分） （2）①设，则． 显然的斜率不为零，否则有， 此时，而直线和的斜率之商为2，有矛盾． ………………………………（6分） 故可设，由得， ………………………………（7分） 依题意，且， ∴且． ① ………………………………（8分） 由得， （*） 由于和是方程（*）的两根，所以 令x=－1得， ………………………………（11分） 因为直线TB和NA的斜率之商为2，所以 ………………………………（12分） 因为点M在双曲线C上，所以，即， ………………………………（13分） 所以， 即 ③ ………………………………（14分） 把① ②代入 ③得， 化简可得 ………………………………（15分） 解得 ，（舍去t=－1)． 此时 恒成立， ………………………………（16分） 所以 ，过定点． ………………………………（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $