2026年暑期预习讲义（第6讲）——实际问题与二次函数 2026--2027学年人教版九年级数学上册

暑期预习讲义（第6讲）——实际问题与二次函数（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次函数实际应用题通用解题步骤（通用模板） 1 【知识点二】最值问题核心原理（所有应用题通用） 2 【题型 1】实际问题与二次函数——最值问题（无条件限制） 2 【题型 2】实际问题与二次函数——最值问题（有条件限制） 3 【知识点三】销售利润最值问题（中考第一高频题型） 6 【题型 3】实际问题与二次函数——销售与利润问题 6 【知识点四】几何面积、周长最值问题（大题高频） 9 【题型 4】实际问题与二次函数——面积、周长最值问题 10 【知识点五】运动轨迹与抛物线模型（拔高必考） 16 【题型 5】实际问题与二次函数——物体运动轨迹问题 16 【知识点六】增长率、产量、成本优化问题 20 【题型 6】实际问题与二次函数——增长率、产量、成本问题 20 二.同步自测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二次函数实际应用题通用解题步骤（通用模板） 1. 审：通读题干，梳理已知条件、变化关系，找准自变量、因变量，明确题目所求问题。 2. 设：合理设自变量，一般设变化量为，所求总量为函数，标注清晰单位。 3. 列：根据题目等量关系、变化规律，列出二次函数解析式。 4. 定：结合实际场景，确定自变量取值范围（应用题核心得分点）。 5. 解：利用二次函数图象与性质，求最值、对应数值、变化区间。 6. 答：结合实际意义作答，舍去不符合题意的结果。 解题口诀：审设列定解答六步，自变量范围必抓牢 【知识点二】最值问题核心原理（所有应用题通用） 1. 无取值限制：二次函数顶点为唯一最值点 ① ，开口向上，顶点处取最小值，无最大值； ② ，开口向下，顶点处取最大值，无最小值。 2. 有自变量范围限制（高频必考） ① 顶点在取值区间内：最值取顶点纵坐标，另一最值取区间端点； ② 顶点不在取值区间内：函数单调变化，最值全部取自区间端点。 最值口诀：无拘最值在顶点，有界最值看端点 【题型 1】实际问题与二次函数——最值问题（无条件限制） 【例题1】（25-26九年级上·广东云浮·期中）二次函数的最小值为1，则__________. 【答案】10 【分析】本题考查的是二次函数的最值问题，利用二次函数的顶点公式求出最小值对应的x值，再代入函数表达式，根据最小值为1列出方程求解m． 解：二次函数的顶点横坐标为 ， 当时，函数取得最小值， 代入得 ， 由题意，最小值为1，即 ， 解得 ． 故答案为：10． 【变式1】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）若二次函数的图象开口向下、顶点坐标为，则此函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值1 D．最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．二次函数图象开口向下，故有最大值；顶点坐标直接给出最大值点及值． 解：∵ 二次函数开口向下， ∴ 函数有最大值． ∵ 顶点坐标为， ∴ 最大值为． 故选D． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的性质，根据抛物线解析式得出开口方向，即可求解． 解：∵，开口向上， ∴当时，y有最小值为， 故答案为：A． 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，则的最小值为______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由已知等式表示关于的表达式，代入得到二次函数，通过配方法求最小值． 解：∵， ∴， ∴， 配方得， ∴当时，取最小值， 故答案为：． 【题型 2】实际问题与二次函数——最值问题（有条件限制） 【例题2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． （1）当时，y的最大值为______，最小值为______； （2）当时，y的最大值为______，最小值为______； （3）当时，y的最大值为______，最小值为______． 【答案】 7 14 2 【分析】本题考查了利用二次函数的增减性求最值，自变量取值范围确定，求二次函数最值需要分情况讨论：①若对称轴在自变量取值范围内，则要从顶点和自变量取值范围的两个端点中确定二次函数的最值；②若对称轴不在自变量取值范围内，则要从自变量取值范围的两个端点中确定二次函数的最值． （1）（2）（3）先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后利用二次函数的增减性求解即可． 解：由二次函数可知，抛物线开口向上，对称轴为直线． （1）当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为7，当时，y取得最小值为． 故答案为：7，； （2）当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值为，当时，y取得最大值为14． 故答案为：14，； （3）当时， ∵， ∴当时，y取得最小值－2， 又∵1－0<3－1， ∴当时，函数取得最大值，． 故答案为：2， 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的最值，正确识别函数图象，理解最值的意义是解题的关键． 依据题意，由函数图象可看出其最大值和最小值，逐个判断可以得解． 解：由图象可知当时，有最小值 ，当时，有最大值 3 ， ∴函数有最小值，有最大值3， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的最值问题． 由于二次函数开口向上，当时，最小值在顶点处，最大值在离对称轴较远的端点处．通过计算顶点和端点处的函数值，并令其差为5，解方程可得的值． 解：的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，由于，抛物线开口向上，最小值在处，； 最大值在处（因为离对称轴更远），； 由函数y的最大值与最小值的差为5，得：， ， 解得：． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数在给定区间内的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是关键．首先将函数配方为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，由最大值4可得对称轴必须在区间内，从而确定m的上限，同时由最小值可得，即可得到答案． 解： 抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点为， 当时，y取最大值4， 需满足， 即， 当时，， 解得或， 直线与抛物线的交点为和， 为保证最小值恰为，需使区间内所有点的纵坐标都大于或等于， ， 结合， 可得． 故选：B． 【知识点三】销售利润最值问题（中考第一高频题型） 1. 核心基础公式 单件利润 = 实际售价 − 进价 销售总量 = 原销量 ± 价格变动对应销量变化量 总利润 = 单件利润 × 销售总量 2. 经典变化规律 涨价则销量减少，降价则销量增加，价格与销量呈反向一次函数关系。 3. 关键限制条件 售价、单件利润、销量均为正数；部分题目限定售价整数、售价区间、最低销量，需严格锁定自变量范围。 利润解题核心：先列利润解析式，再定范围，最后求最值 【题型 3】实际问题与二次函数——销售与利润问题 【例题3】（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每月产量的增长率为 ；（2）应降价元，最大利润为 元. 【分析】（1）设每月产量的增长率为，根据原产量和增长两次后的产量关系列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）设降价元，每天总利润为 元，根据总利润每件利润销售量列出二次函数解析式，配方后根据二次函数的性质即可求出最大利润和对应的降价金额． 解：（1）解：设每月产量的增长率为， 根据题意列方程得: ， 解得 , ，增长率不能为负，不符合实际，舍去， 答: 每月产量的增长率为； （2）解：设降价元，每天总利润为 元， 根据题意，每件盈利为 元，每天销售量为 件， ∴， ， 当时， 取得最大值，最大值为， 答: 该食品厂应降价元，才能使利润最大，最大利润为 元． 【变式1】（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 【变式2】（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 【变式3】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货；第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同． （1）求第二次每件车载智能充电器的进价； （2）第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售（m不小于第二次的进价）、可卖出件，应如何定价才能使利润最大． 【答案】（1）第二次每件车载智能充电器的进价为30元；（2）定价为65元时利润最大 【分析】（1）设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为元，结合数量关系列分式方程求解即可； （2）设利润为，每件的利润为元，由此列二次函数，根据二次函数图象的性质求解即可． 解：（1）解：设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义，且符合题意， ∴， ∴第一次购进车载智能充电器的进价为元，第二次购进车载智能充电器的进价为元； （2）解：设销售利润为，每件的利润为元， ∴， ∵， ∴当时，利润为的值最大，最大值为1225元， ∴定价为65元时利润最大． 【知识点四】几何面积、周长最值问题（大题高频） 1. 常见模型：矩形、正方形、栅栏围图、靠墙围栏、裁剪图形、动态几何面积变化。 2. 通用解题思路 用一个变量表示图形的长、宽、高等关键边长，代入对应面积公式，化简得到二次函数解析式。 3. 核心限制条件 所有边长必须为正数，由此推导出自变量取值范围；靠墙题型需注意单边长度限制。 面积口诀：变量代换表边长，面积公式化二次，区间锁定求最值 【题型 4】实际问题与二次函数——面积、周长最值问题 【例题4】（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）求的面积． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）4；（3）存在， 【分析】（1）根据已知条件设抛物线的解析式为，再将点代入求出的值，即可得抛物线的解析式，然后抛物线的解析式写成顶点式即可得对称轴； （2）先由已知得，进而可得、的值，再根据计算即可； （3）先求出点关于对称轴的对称点的坐标为，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小，由待定系数法求出直线的解析式，再根据点的横坐标为3，可求其纵坐标． 解：（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为， 把点代入上式，得， ， ∴抛物线的对称轴是直线； （2）解：∵抛物线的对称轴与x轴相交于点M， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：点的坐标为．理由如下： ∵点，抛物线的对称轴是直线， ∴点关于对称轴的对称点的坐标为， 如图，连接交对称轴于点，连接，此时的周长最小， 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ， ∵点的横坐标为3， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 【变式2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】（1）先根据抛物线经过点，，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标； （2）先利用待定系数法求得直线，再设过点C且与直线平行的直线解析式为，根据当直线与抛物线有唯一的公共点，求出，从而可得关于的方程求出，从而可得，进而可求得点D的坐标，再求出此时的面积即可． 解：（1）解：∵抛物线经过点，， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）设直线的解析式为， ∵，点， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 设过点C且与直线平行的直线解析式为， 当直线与抛物线有唯一的公共点， 则点C到的距离最大， ∴面积最大， ∴关于x的方程有两个相等的实数根， ∴有两个相等的实数根， ∴，解得：， ∴过点C且与直线平行的直线解析式为， ∴，解得：， ∴． 作轴交于点D， 则点的横坐标为， 又点在直线上， ∴， ∴点D的坐标为， ∴此时的面积． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式． 【变式3】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为 【分析】（1）由题意易得，，然后根据待定系数法进行求解即可； （2）连接，由题意易得，，设点，且，然后可得，进而根据二次函数的性质进行求解即可． 解：（1）解：把代入直线得：，解得：， ∴， 把代入直线得：， ∴， ∵抛物线经过，两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： ∴， ∵，， ∴，， 设点，由题意知， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 【知识点五】运动轨迹与抛物线模型（拔高必考） 1. 常见场景：投篮、抛球、喷水、桥梁拱门、飞行抛物运动。 2. 解题核心思路 建立平面直角坐标系，结合已知点坐标，求出抛物线解析式，再利用解析式求高度、距离、落点、最高点等数据。 3. 常用求解析式方法 已知顶点、最高点优先设顶点式；已知两个交点优先设交点式；普通条件设一般式。 4. 核心考点：求运动最高点、水平距离、落地时间、指定高度对应水平位置。 【题型 5】实际问题与二次函数——物体运动轨迹问题 【例题5】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 解：（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 【变式1】（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为（个）， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据竖直上抛运动的高度公式，代入已知值得到二次函数顶点式，利用二次函数的性质作答即可． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即该小球达到的离地面的最大高度为． 故答案为：7． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． （1）根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． （2）若实心球落地点为，求的长． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图：； 抛物线解析式为：；（2） 【分析】（1）以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式； （2）当时，求得的值，即的长． 解：（1）解：建立平面直角坐标系如图， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． ∴设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，， 解得：（舍去），， 即的长为． 【知识点六】增长率、产量、成本优化问题 1. 适用场景：产量随投入变化、成本随产量变化、连续增长优化、资源分配最值。 2. 核心规律：投入、产量、成本、收益呈二次函数变化，存在最优临界点。 3. 解题关键：找准变量之间的二次对应关系，通过顶点求解最优投入、最大收益、最小成本。 【题型 6】实际问题与二次函数——增长率、产量、成本问题 【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 【变式3】（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 【答案】（1）80；（2）20． 【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计算即可； （2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与2月的增长率，列式计算即可得到答案． 解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知： 把①×200得 用②-③得：，解得 把代入①中，解得 故入住A房间的有80间． （2）由题意得： 下调后A房间的房价=，B房间的房价= 由题目已知条件和（1）中计算的结果知： 下调后A房间的入住间数=，B房间的入住间数= 故三月份的总收入= 又∵三月份比二月份总营业收入增加了 ∴ 即 解得：，（舍去） 故答案为：20． 【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值3 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于二次项系数为正，函数开口向上，有最小值，最小值在顶点处取得． 解：∵在中，， ∴函数图像开口向上， ∴二次函数有最小值，最小值为顶点纵坐标4． 故选A． 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据每斤盈利的变化量、销量的变化量，结合“总盈利=每斤盈利×销量”的基本关系推导函数关系式． 解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每斤降1元多售5斤，降x元， ∴每天销量为斤， ∵总盈利=每斤盈利×每天销量， ∴， 故选：B． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的图象与性质可得当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，即可求解． 解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，二次函数图象中，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，即一周可获得最大利润，最大利润是1558， 故选：A． 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用三角形的面积求参数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 连接，假设，根据二次函数图象和性质表示出相关点的坐标，利用等面积法，列出方程求解即可． 解：如图所示，连接， 由点坐标，得， 当时，，即， 假设， ∴， ， ， ∴ 即， 整理得， 将代入得， ， 解得或， ∵点位于正半轴， ∴， 解得， ∴符合题意， 故选：A． 6．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 7．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 解：根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 8．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 9．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 10．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图1，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示．下列选项不正确的是（    ） A．正方形的边长为 B．当时，重叠面积 C．函数图象的最高点的坐标为 D．当时，重叠面积 【答案】D 【分析】由正方形的性质，结合函数图象，分析正方形平移过程中，两个正方形重叠部分的变化，用对角线表示正方形的面积，对各选项进行分析判断即可． 解： 由图可知，当及时，， ∴两个正方形对角线长之和， ∵两个正方形边长相同， ∴， 设正方形边长为，则， 解得， ∴正方形的边长为， ∴选项A正确，不符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，， ∴选项B正确，不符合题意； 当时，取得最大值，此时两正方形重合， ∴， ∴函数图象的最高点坐标为， ∴选项C正确，不符合题意； 当时，重叠部分是对角线长为的正方形， ∴， 当时，， ∴选项D不正确，符合题意． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·西藏拉萨·阶段检测）二次函数，当_____时，y有最小值，最小值是______． 【答案】 / / 【分析】本题考查了二次函数的最值问题．根据二次函数的顶点坐标进行解答即可． 解：二次函数，，开口向上， 当时，有最小值，最小值为：， 故答案为：，． 12．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 【答案】或6 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．由题意可知的对称轴为直线，顶点坐标为，分两种情况讨论：当时，；当时，在，，即可求解答案． 解：的对称轴为直线， 顶点坐标为， 当时，在，函数有最小值， ∵的最小值为， ∴， ∴； 当时，离对称轴越远，函数值越小， 在，，， ∴当时，函数有最小值， ∴， 解得； 综上所述：的值为6或． 故答案为：6或． 13．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出（250-5x）盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 【答案】1575 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 解：设涨价x元，每周获得的利润为W元，则每周的销售量为个， 由题意得， ， ∵单个利润不能超过成本价的， ∴， ∴， ∵， ∴当时，W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴每周获得的最大利润为元， 故答案为：． 15．（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可. 解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组： 解得 抛物线的解析式为 作轴交AC于E点，如图， 设的解析式为，则 解得 ∴的解析式为， 设，， ， 当时，的面积的最大值是； 故答案为： 16．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 17．（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 【答案】/米 【分析】由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点的坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵，故函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 答：水流喷出的最大高度为． 18．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·甘肃定西·期中）用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的应用，设矩形一边长为，则另一边长为，利用面积公式建立二次函数，进而求解即可． 解：设矩形一边长为，则另一边长为． ∴面积， ∵， ∴当时，S有最大值25， ∴ 矩形花圃面积的最大值为． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 【答案】当时，取得最小值为，当时，取得最大值为4． 【分析】求二次函数的最值（最大或最小）时，一定要注意自变量的取值范围；当自变量的取值范围有限制时，二次函数的最值通常是在顶点处或者是取值范围的两端取得的． 根据二次函数的性质解答即可． 解：∵，， ∴函数图象开口向下，当时，函数取得最大值，为4， ∵， ∴当时，取得最小值为； 综上所述，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为4． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润；（2）当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题的关键是正确列出方程或解析式． （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可． 解：（1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润． （2）解：记利润为元， 则． ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元． 22．（本小题满分10分）（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 【答案】（1）；；（2）；（3）的最小值为 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标； （2）根据，点在抛物线上，求出点的坐标，求出二次函数的解析式，点在抛物线上且在轴上，即，求出点的坐标；则，根据三角形的面积公式，即可； （3）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 解：（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点， ∴点，； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴， ∴． （3）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：，在取值范围内； ∴当时，有最小值，最小值为：． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； （1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 24．（本小题满分12分）（2026·黑龙江大庆·二模）党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： （1）设商品售价 元，则一天可以卖出 件 （2）当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】（1）根据“单价每降低元，每天可多售出件”可知数量是原来的数量加上新增的数量，直接套用“新增数量降低的价格”即可； （2）根据“单件利润售价进价”，“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的顶点式求出当售价为多少时，日利润最大； （3）利用“总利润单件利润数量”列出这批商品得日利润关于售价的二次函数，因为为正整数，且当时取得最大值，所以二次函数的对称轴在和之间，将对称轴代入求出的取值范围． 解：（1）解：由题意知，降低了元， 卖出件； （2）解：设这批商品的日利润为元， 由题意得； ∴当时，取得最大值元， 即当售价为元时，这批商品的日利润最大为元； （3）解：由题意知， ∵二次函数开口向下，离对称轴越近，函数值越大， 又∵在售价为元时可获得最大日利润， ∴， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——实际问题与二次函数（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次函数实际应用题通用解题步骤（通用模板） 1 【知识点二】最值问题核心原理（所有应用题通用） 2 【题型 1】实际问题与二次函数——最值问题（无条件限制） 2 【题型 2】实际问题与二次函数——最值问题（有条件限制） 2 【知识点三】销售利润最值问题（中考第一高频题型） 3 【题型 3】实际问题与二次函数——销售与利润问题 3 【知识点四】几何面积、周长最值问题（大题高频） 4 【题型 4】实际问题与二次函数——面积、周长最值问题 5 【知识点五】运动轨迹与抛物线模型（拔高必考） 6 【题型 5】实际问题与二次函数——物体运动轨迹问题 6 【知识点六】增长率、产量、成本优化问题 7 【题型 6】实际问题与二次函数——增长率、产量、成本问题 8 二.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】二次函数实际应用题通用解题步骤（通用模板） 1. 审：通读题干，梳理已知条件、变化关系，找准自变量、因变量，明确题目所求问题。 2. 设：合理设自变量，一般设变化量为，所求总量为函数，标注清晰单位。 3. 列：根据题目等量关系、变化规律，列出二次函数解析式。 4. 定：结合实际场景，确定自变量取值范围（应用题核心得分点）。 5. 解：利用二次函数图象与性质，求最值、对应数值、变化区间。 6. 答：结合实际意义作答，舍去不符合题意的结果。 解题口诀：审设列定解答六步，自变量范围必抓牢 【知识点二】最值问题核心原理（所有应用题通用） 1. 无取值限制：二次函数顶点为唯一最值点 ① ，开口向上，顶点处取最小值，无最大值； ② ，开口向下，顶点处取最大值，无最小值。 2. 有自变量范围限制（高频必考） ① 顶点在取值区间内：最值取顶点纵坐标，另一最值取区间端点； ② 顶点不在取值区间内：函数单调变化，最值全部取自区间端点。 最值口诀：无拘最值在顶点，有界最值看端点 【题型 1】实际问题与二次函数——最值问题（无条件限制） 【例题1】（25-26九年级上·广东云浮·期中）二次函数的最小值为1，则__________. 【变式1】（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）若二次函数的图象开口向下、顶点坐标为，则此函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值1 D．最大值2 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C． D．7 【变式3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）已知，则的最小值为______ ． 【题型 2】实际问题与二次函数——最值问题（有条件限制） 【例题2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知二次函数． （1）当时，y的最大值为______，最小值为______； （2）当时，y的最大值为______，最小值为______； （3）当时，y的最大值为______，最小值为______． 【变式1】（24-25九年级上·广西南宁·期中）已知二次函数的图象如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（   ） A．有最小值0，有最大值2 B．有最小值0，有最大值3 C．有最小值，有最大值2 D．有最小值，有最大值3 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）已知二次函数，当时，函数y的最大值与最小值的差为5，则a的值为_______． 【变式3】（25-26九年级上·贵州黔东南·期末）若二次函数，当时，y有最大值4，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【知识点三】销售利润最值问题（中考第一高频题型） 1. 核心基础公式 单件利润 = 实际售价 − 进价 销售总量 = 原销量 ± 价格变动对应销量变化量 总利润 = 单件利润 × 销售总量 2. 经典变化规律 涨价则销量减少，降价则销量增加，价格与销量呈反向一次函数关系。 3. 关键限制条件 售价、单件利润、销量均为正数；部分题目限定售价整数、售价区间、最低销量，需严格锁定自变量范围。 利润解题核心：先列利润解析式，再定范围，最后求最值 【题型 3】实际问题与二次函数——销售与利润问题 【例题3】（2026·四川眉山·中考真题）2025年，在四川省城市足球联赛（简称“川超”）比赛期间，为促进体育经济发展，眉山市文旅局联合餐饮住宿企业、土特产生产企业推出各种优惠活动． （1）某食品厂原计划每月生产芝麻糕2000件，为响应文旅局号召，连续两月提高产量后，月产量达到2880件，若每月产量的增长率相同，求每月产量的增长率； （2）该食品厂原来每天可销售60件芝麻糕，每件盈利30元．参与优惠活动后，该食品厂每降价1元，就可多售出5件．问该食品厂应降价多少元，才能使利润最大？最大利润为多少？ 【变式1】（25-26九年级下·北京·开学考试）某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【变式2】（2026·山东德州·中考真题）某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【变式3】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货；第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同． （1）求第二次每件车载智能充电器的进价； （2）第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售（m不小于第二次的进价）、可卖出件，应如何定价才能使利润最大． 【知识点四】几何面积、周长最值问题（大题高频） 1. 常见模型：矩形、正方形、栅栏围图、靠墙围栏、裁剪图形、动态几何面积变化。 2. 通用解题思路 用一个变量表示图形的长、宽、高等关键边长，代入对应面积公式，化简得到二次函数解析式。 3. 核心限制条件 所有边长必须为正数，由此推导出自变量取值范围；靠墙题型需注意单边长度限制。 面积口诀：变量代换表边长，面积公式化二次，区间锁定求最值 【题型 4】实际问题与二次函数——面积、周长最值问题 【例题4】（24-25九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）求的面积． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【变式2】（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线过点，点． （1）该抛物线的顶点坐标为___________． （2）点C是上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接，，则面积的最大值为___________． 【变式3】（2026·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，抛物线经过，两点，交轴负半轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当四边形面积最大时，请直接写出点的坐标． 【知识点五】运动轨迹与抛物线模型（拔高必考） 1. 常见场景：投篮、抛球、喷水、桥梁拱门、飞行抛物运动。 2. 解题核心思路 建立平面直角坐标系，结合已知点坐标，求出抛物线解析式，再利用解析式求高度、距离、落点、最高点等数据。 3. 常用求解析式方法 已知顶点、最高点优先设顶点式；已知两个交点优先设交点式；普通条件设一般式。 4. 核心考点：求运动最高点、水平距离、落地时间、指定高度对应水平位置。 【题型 5】实际问题与二次函数——物体运动轨迹问题 【例题5】（2026·广东清远·三模）某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． （1）求水柱所在抛物线的函数表达式； （2）求水柱落地点与雕塑的水平距离． 【变式1】（2026·天津和平·二模）赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·期末）如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． （1）根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． （2）若实心球落地点为，求的长． 【知识点六】增长率、产量、成本优化问题 1. 适用场景：产量随投入变化、成本随产量变化、连续增长优化、资源分配最值。 2. 核心规律：投入、产量、成本、收益呈二次函数变化，存在最优临界点。 3. 解题关键：找准变量之间的二次对应关系，通过顶点求解最优投入、最大收益、最小成本。 【题型 6】实际问题与二次函数——增长率、产量、成本问题 【例题6】（2024九年级上·全国·专题练习）某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·阶段检测）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【变式3】（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元． （1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？ （2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量都比2月增加了a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．最小值4 B．最大值4 C．最小值2 D．最小值3 2．（2026·四川广元·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·期末）金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）某超市销售一种商品，发现一周利润y（元）与销售单价x（元）之间的关系满足，由于某种原因，销售单价只能为，那么一周可获得最大利润是（　　） A．1 558元 B．1 550元 C．1 508元 D．20元 5．（2024·广东·模拟预测）如图所示，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点坐标，过点且垂直轴的直线交抛物线于点．若，则（　　） A． B． C． D． 6．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（     ） A． B． C． D． 7．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 10．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图1，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示．下列选项不正确的是（    ） A．正方形的边长为 B．当时，重叠面积 C．函数图象的最高点的坐标为 D．当时，重叠面积 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·西藏拉萨·阶段检测）二次函数，当_____时，y有最小值，最小值是______． 12．（24-25九年级下·湖北黄石·期中）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为_____． 13．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出（250-5x）盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 14．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）某商店购进一批单价为50元的日用商品，如果以单价每个60元销售时，每周能卖出120个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少3个，但物价部门规定，单个利润不能超过成本价的，则每周获得的最大利润为_________元． 15．（24-25九年级下·四川遂宁·阶段检测）如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 _________． 16．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 17．（2026·甘肃天水·模拟预测）某广场上有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，的长为，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到点的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间近似满足函数关系式（），则水流喷出的最大高度为_____________． 18．（2026·山西长治·一模）某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·甘肃定西·期中）用长为的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形的一边长为，面积为，求矩形花圃面积的最大值． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级上·安徽合肥·期中）当时，请求出函数的最大值和最小值，并求出对应的的值． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·福建泉州·期末）某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 22．（本小题满分10分）（2026·江苏徐州·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点．过点作轴于点． （1）当时，求点和点的坐标； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点的纵坐标的最小值． 23．（本小题满分10分）（2026·陕西西安·模拟预测）如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 24．（本小题满分12分）（2026·黑龙江大庆·二模）党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件．根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价 元（售价不低于进价， 为正整数），这批商品的日利润为元（单件利润售价成本），请解决以下问题： （1）设商品售价 元，则一天可以卖出 件 （2）当商品的售价 为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ （3）若商店每卖一件就捐 元（）给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出 的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $