甘肃平凉市2026年数学中考试题

平凉市2026年初中学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 题号 1 2 3 5 6 7 8 0 10 答案 A A B D D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11.5ab(a+2b) 12.1(x≥一1且x≠0的任意一个实数均可) 13.6 14.1.5 15.20 16.不能 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.（解法合理、答案正确均可得分） 17.(6分) 解：原式=√⑧十√18 …2分 =2√2+3√2 …4分 =52.… …6分 18.(6分) 7x-4>5x,① 解： 3x-5<x.② 2 解不等式①，得x>2: …2分 解不等式②，得x<5. …4分 所以原不等式组的解集为2<x<5. 6分 19.(6分) 解：原式=4a2+4a+1-(4c2+3a-8a-6)… …2分 =4am2+4a+1-4a2-3a+8a+6 =9a十7.… 。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 …4分 当a=-1时，原式=9×(-1)+7=-2. …6分 20.(8分) 解：(1)中心对称： …3分 (平凉)数学答案第1页（共6页） (2) C 如图所作，点O为该图案的旋转中心.…8分 21.(10分) 解： …3分 (2)列表如下： 第一次 第二次 -3 -2 6 -3 -6 -5 -1 3 -2 -5 -4 0 4 2 -1 0 4 8 6 3 4 8 12 或画树状图如下： 开始 第一次 3 第二次 两实数之和 1 …7分 ,共有16种等可能的结果，两实数之和为负数的结果有6种， 一P(抽取的两张卡片上实数之和为负数)=6=3 …10分 168 22.(10分) 解：设AB=x米， :在Rt△CAB中，tan∠CAB=CB .CB=AB.tan16.73°≈0.30x.…4分 AB :在Rt△DAB中，tan∠DAB= DB ∴.DB=AB.tan14.01°≈0.25x.…7分 AB CB-DB=CD,.0.30x-0.25x=17,解得，x=340. 答：观测点A到塔CD的水平距离AB约是340米.…10分 (平凉)数学答案第2页（共6页） 四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤.（解法合理、答案正确均可得分）》 23.(8分) ◆频数（人数】 21 解：(1)18,0.3： 2分 18 18 (2)如图所示： 4分 15 12 (3)C: 6分 10 ④360×8=2入. 6 3 0 答：估计获得一等奖的学生有72人.…8分 60708090100成绩/分 24.(10分) 解：(1)·点A(2,3)在一次函数y=3x十b的图象上， .3×2+b=3,.b=-3, .一次函数的表达式为y=3x一3.… …3分 :点A2,3)在反比例函数y=的图象上，·k=2X3=6, 1 ·反比例函数的表达式为y= …5分 (2):点B(一3，m)在反比例函数y=6的图象上， 1 .m=-2,∴.点B(-3,-2). BD⊥x轴于点D,.DO=3,BD=2. ,一次函数y=3x一3与x轴交于点C, .点C(1,0),.OC=1,.DC=3+1=4, .CX4 2 过点A作AELx轴于点E,则EA=3, D=号DcaA=×4x3=6 2 ,S四边形BD4C=S△BCD十S△4cD=4十6=10. ……10分 25.(10分) (1)证明：如图，连接OC. ,OC=OB,.∠OBC=∠OCB :CB平分∠ECD,∴∠BCE=∠DCB ,CD⊥AB,∴.∠OBC+∠DCB=90°， ∴.∠OCB+∠BCE=90°，∴.OC⊥CE. .OC为⊙O的半径， ∴.CE是⊙O的切线. …5分 (平凉)数学答案第3页（共6页） (2)解：①tan∠BCB=1 …7分 ②如图，连接AC, ,AB为⊙O的直径， ∠ACB=90°，.∠OBC+∠CAB=90°. 由(I)可知，∠OBC+∠DCB=90°，∴.∠DCB=∠CAB. 由(I)可知，∠DCB=∠BCE,.∠DCB=∠CAB=∠BCE, :m∠DcB=m∠CA6=-tomBCB-号 在Rt△ACD中， (a CAB=CD=1,AD=8,CD=4. 在Rt△BCD中， :tan∠DcB=BD=1 ,CD=4,.BD=2, CD 2 .BC=VBD+CD=V2+4=25.…10分 (其他解法合理、答案正确均可得分) 26.(10分) (I)证明：，BQ∥AC,.∠PAC=∠QBA. ,'∠BPC=∠CAQ,.∠PAC+∠PCA=∠PAC+∠OAB,∴.∠PCA=∠QAB. '∠PAC=∠QBA,AC=BA,∠PCA=∠QAB, .△PAC≌△QBA(ASA),.AP=BQ. B0=2,∴AP=2. …3分 (2)解：如图1，连接AQ. 四边形AEBD为矩形，.BE∥AD, .∴.∠PAC=∠OBA. AC=BA,∠PAC=∠QBA,AP=BQ, B ∴.△PAC≌△QBA(SAS), .∠CPA=∠AQB,∴.∠BPC=∠AQE. ,∠BPC=∠BCD, .∠BCD=∠AQE. ,四边形AEBD为矩形， 图1 .BD=AE,∠BDC=∠BDA=∠AEQ=90°， ∴.△BDC≌△AEQ(AAS), ∴.CD=QE. ……7分 (平凉)数学答案第4页（共6页） (3)证明：如图2，延长AD至点F,使得AF=AB,连接BF,PF. .AF=AB, ·∠DFB=)180-∠DAn=90-3∠DAP. :∠40=∠DMP,N∠DPB=90-∠aA0=∠04， 由(2)同理可得，△DFB≌△EQA(AAS), ∴.FD=QE AB=AF, .AP十BP=AD十FD, .AP+BP=AD+OF. '四边形AEBD为矩形， ∴.AD=BE,,AP+BP=BE十OE, 图2 ∴.AP+BP=BQ+2QE. .AP=BO, BP=2QE.…10分 27.(12分) 解：)：抛物线=x+x十c过点B0,一6，=x+x-6. 3 3 2 :抛物线y=二x2+bx-6过点C(2,0), ·2×2+2b-6=0,解得6=3 :抛物线的表达式为y=x+x一6。 …3分 3 3 (2)①由点B(0,-6),C(2,0)可得，OB=6,OC=2. .BD=4,OD=OB-BD=6-4=2, .CD2=OC2+OD2=22+22=8,.SE方形cDwN=CD=8. …5分 ②如图1，过点M作MG⊥y轴，垂足为G, 则∠MGD=90°=∠DOC. 四边形CDMN为正方形， .∠CDM=90°，CD=DM, ∴.∠GDM+∠ODC=90°. :∠DOC=∠OCD+∠ODC=90°， .∠GDM=∠OCD. ,∠MGD=∠DOC,∠GDM=∠OCD,DM=CD, 图1 ∴.△MGD≌△DOC(AAS), ∴.GD=OC=2,GM=OD 设GM=OD=m(m>0),则OG=OD-GD=-2,∴.点M(-m,2-), 2 5 ,点M(-m,2-m)在抛物线y=二x2十二x一6上， (平凉)数学答案第5页（共6页） ·.2m-L-6=2-心，解得，=4，抛=-3（舍）， 3 3 .点M(-4,-2). …8分 (3)如图2，过点A,D分别作ED,AE的平行线交于点F,即AF∥ED,FD∥AE, .四边形AEDF为平行四边形， .AF=ED-13,FD=AE. 4 连接CF,,AE十CD=FD十CD≥CF, 当C,D,F三点共线时，FD十CD=CF,如图3， 即AE+CD的最小值等于CF的长. 令0时计-60， .5 9 解得，1=一20=2， 点A(9 B 图2 9 点C(2,0), 4C=9+2=13 2 AF∥ED, ∴.∠CAF=∠COD=90°， ∴.△CAF为直角三角形. 在Rt△CAF中，CF=VAC2+AF + =135, 4 :AB+CD的最小值为35， …11分 设直线CF的表达式为y=十n(k≠O), g直线y=+nk≠0过点C2,0,F(-号 [2k+=0 2, 2 4 =-1 :直线CF的表达式为=X-1, 0 .点D(0,-1), OD=1. .OE=DE-OD= 3-1=9 4 4 :点80，}， 图3 9 当AE十CD取最小值时，p= …12分 4 (平凉)数学答案第6页（共6页）平凉市2026年初中学业水平考试 数学试卷 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项 1.2026的绝对值是 1 1 A.2026 B.-2026 C.2026 D.一2026 2.某几何体的三视图如图所示，该几何体为 视图 左视图 俯 A B D 第2题图 3.截至2026年初，甘肃省光热发电装机容量已达620000千瓦，其规模居全国首位，为 推动我国新能源高质量的发展做出了贡献.数据620000用科学记数法表示为 A.0.62×106 B.6.2×10 C.6.2×104 D.62.0×104 4计算：么-a+26 a 2a B.46-a 2a c 5.如图，直线a,b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直 时，其旋转角的最小度数是 A.60° B.50 C.40 D.30° 100 0 B B x 650 第5题图 第6题图 6.如图，四边形ABCD与四边形A'B'CD'是以原点O为位似中心的位似图形.若B'(2,0), B(4,0),A'B'=√5，则AB= A.3 B.25 C.4 D.35 (平凉)数学试卷第1页（共8页） 7.随着人工智能的快速发展，越来越多的学生使用AI辅助学习.小凯记录了自己连续 八周每周使用AI辅助学习的时间（单位：分钟），并绘制了如图所示的折线统计图 根据统计图，下列关于小凯这八周使用A虹辅助学习时间的描述，错误的是 A.众数是127分钟 B.平均数是133分钟 C.中位数是132分钟 D.总时间是1064分钟 时间/分钟 160 150 140 39 132 130 127 127 132 120 D 110 0 4 5 67 8周次 第7题图 第8题图 8.如图，△ABC内接于⊙O,CD是⊙0的直径，AB与CD交于点P.若∠ABC=60°， ∠ACB=50°，则∠BPC= A.95 B.100° C.105° D.110° 9.甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向世界.兰州 海关数据显示，2026年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和 陇南黄芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2倍少0.4亿元.设苹果汁 和黄芪的出口额分别为x亿元、y亿元，则可列二元一次方程组为 「x+y=3.4 「x+y=3.4 「x+y=3.4 「x+y=3.4 x=2y+0.4 y=2x+0.4 y=2x-0.4 x=2y-0.4 10.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,动点M从点O出发，沿OC→CD 匀速运动至点D时停止.设点M的运动路程为x,AM的长度为y,y与x的函数图象 如图2所示，在点M的运动过程中，当AM⊥CD时，AM的长度是 A.35 B.6 C.42 D.35 Y D B 3 M C 0 9x 图1 图2 第10题图 (平凉)数学试卷第2页（共8页） 题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 代分解：5a2b+10ab2= 12.若代数式金+1在实数范围内有意义，则实数x的值可以是 (请写出，个 符合条件的值即可)》 13.已知m是一元二次方程x2+2x-3=0的一个根，则代数式2m2+4m的值是 14.如图，矩形纸片ABCD的边BC上有一点E,将纸片沿AE折叠，'点B落在点B' 若∠CEB'=60°，AB=3cm,则点B'到AD的距离等于 cm. B y ⊙ 0 D MN 第14题图 第15题图 15.求圆的面积是历史悠久的数学课题之一，在很多古代数学文献中都有记载，如 公元3世纪，中国数学家刘徽利用割圆术证明了圆的面积等于半周长与半径之积； 17世纪，德国数学家开普勒也利用无穷分割圆的方法，将圆转化为直角边长分别等于 圆周长和半径的直角三角形，如图所示，将⊙O的面积转化为Rt△ODC的面积，其中 S扇形AOB=S△OMw:在Rt△ODC中，CD等于⊙0周长，OD等于⊙0半径，若CD=4T, MN=子，则扇形AOB的圆心角等于 度 16.如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其 射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）.图2是一次捕食中一条 射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象， y/cm个 其中水流从点O射出，水流运动的高度 y(cm)与水平距离x（cm)近似满足 函数关系y=0+4:(x≥0).若这只 0 x/cm 昆虫在点P(20,50),则这次射出的水流 图1 图2 第16题图 击中昆虫.（填“能”或“不能”） (平凉)数学试卷第3页（共8页） 三、解答题：本大题共6小题，共46分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 4 17.(6分)计算：√4× +√18. 7x-4>5x, 18.(6分)解不等式组： 3x-5 2x 19.(6分)先化简，再求值：(2a+1)2-(a-2)(4a+3),其中a=-1. 20.(8分)在某学校举办的数学文化周活动中，同学们利用角、线段、三角形等图形， 借助图形的旋转或对称设计了一些美丽的图案.如图1是小彤设计的一件艺术作品的 平面图，它由6个全等三角形构成，外轮廓为正六边形 (1)请判断图1是 图形；（填“轴对称”或“中心对称”) (2)图2是从图1选取的部分图案，其中△A'B'C'看作由△ABC绕旋转中心O顺时针 方向旋转一定角度后得到的，请你用无刻度直尺和圆规确定该图案的旋转中心0. (保留作图痕迹，不写作法) 图1 图2 第20题图 (平凉)数学试卷第4页（共8页） 分)现有四张材质、大小、颜色都相同的不透明卡片，每张卡片正面写上一个 文，分别为-3，-2,2,6，将四张卡片正面向下洗匀. (1)随机抽取一张卡片，卡片上的实数是正数的概率是 (2)随机抽取一张卡片，记下卡片上的实数后，将卡片正面向下放回洗匀，再随机抽 取一张卡片，记下卡片上的实数.请你用画树状图或列表的方法，求抽取的两张 卡片上实数之和为负数的概率 22.（10分)如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法， 此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观 测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算.某数学兴趣小 组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔 的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助 “用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的 水平距离为AB(点B,C,D在同一条直线上)，CD⊥AB,在点A分别测得塔顶C的 仰角∠CAB=16.73°、塔底D的仰角∠DAB=14.01°，查阅资料可知塔的高度CD=17米 根据以上信息，请你求出观测点A到塔CD的水平距离AB.（结果精确到1米) 参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tanl4.01°≈0.25， sin16.73°≈0.29，cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30. D B 图1 图2 第22题图 (平凉)数学试卷第5页（共8页） 四、解答题：本大题共5小题，共50分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤， 23.(8分)为深入学习贯彻习近平总书记关于“讲好中国故事，传播好中国声音，展示真 实、立体、全面的中国”的重要指示精神，落实立德树人根本任务，某区教育系统举 办“讲好中国故事，弘扬传统文化”讲故事比赛，引导学生了解中华优秀传统文化， 增强民族自信心和自豪感.比赛分为初赛和复赛.经初赛后，共有360名学生参加复赛 为了解比赛情况，举办方从学生复赛成绩中随机抽取了50名学生的成绩作为样本数据】 进行了整理和分析，绘制成如下不完整的统计图表： 频数、频率分布表 频数分布直方图 组别 成绩x(分》 频数 频率 频数（人数） 21 A 60≤x<70 > 0.14 1 5 15 B 70≤x<80 15 之 12 10 9 7 C 80≤x<90 m 0.36 6 3 D 90≤x≤100 10 0.2 0 60708090100成绩/分 根据所给信息，解答下列问题： 第23图题 (1)m= -,n= (2)补全频数分布直方图； (3)这50名学生成绩的中位数会落在 组；（填组别） (4)若复赛成绩在D组的学生将获得一等奖，请你估计这360名复赛学生中获得 一等奖的人数. 24.(10分)如图，一次函数y=3x+7的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于 点A(2,3),与x轴交于点C.在反比例函数图象上有一点 B（-3,m),过点B作BD⊥x轴于点D,连接AD,BC. (1)求一次函数y=3x+b与反比例函数y=上(k≠0) 的表达式； (2)求四边形BDAC的面积 第24题图 (平凉)数学试卷第6页（共8页） 分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD⊥AB于点D,点E在AB的延 戋上，CB平分∠ECD (1)求证：CE是⊙0的切线； (2②）当0=8，n∠BdE=9时。 ①填空：tan∠BCE的值等于； E B A ②求BC的长， 第25题图 26.(10分)在一次数学兴趣小组活动中，同学们围绕等腰三角形进行探究，下面是部分探究 内容，请你思考并解答。 【初步尝试】 (1)如图1，在△ABC中，AB=AC,过点B作BQ∥AC,BQ=2,连接AQ.点P 在线段AB上，满足∠BPC=∠CAQ,求AP的长， 【类比探究】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,以AB为对角线的矩形AEBD的顶点D在AC 上，P,Q分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BQ.当∠BPC=∠BCD 时，用等式表示出CD和QE的数量关系，并说明理由 【拓展迁移】 (3)如图3，在矩形AEBD中，P,Q分别是线段AB,BE上的动点（不含端点），AP=BQ 当∠BAQ=?LDAP时，用等式表示出BP和QB的数量关系，并说明理由. B Q E B E D 图1 图2 图3 第26题图 (平凉)数学试卷第7页（共8页） 27.(12分)抛物线y=号2+6：+c与轴交于A,C(2,0)两点，与y轴交于点 B(0,-6).动点D在线段OB上（点D与点O不重合）. (①）求范物线)=子+饭+c的表达式： (2)连接CD,在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN. ①如图1，当BD=4时，求正方形CDMN的面积； ②如图2，当点M落在抛物线上时，求点M的坐标； (3)如图3，在动点D的正上方有另一动点B(0,P）,且ED-早当点D从点B 开始运动时，点E以相同的速度同时出发，两点都沿y轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E同时停止运动.连接AE,CD,求AE+CD的最小值和此时p的值. 0 0 E B 图1 图2 图3 第27题图 (平凉)数学试卷第8页（共8页)