3.3.2相似三角形判定定理的证明（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的证明，通过回顾上节探索的相似条件，以平行线分线段成比例推论、构造思想等预备知识为支架，构建“探索-严谨证明”的知识脉络。 其亮点在于证明过程采用“构造平行线-证平行相似-证全等-传递相似”的逻辑链培养推理意识，结合基础与拔高练习题（如直角三角形相似判定）发展应用意识，规范答题模板帮助学生形成严谨思维，教师可直接用于教学提升效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.3.2相似三角形判定定理的证明 第三章 图形的相似 相似三角形判定定理的证明 专项讲义+习题 本节内容为九年级相似图形核心重难点，重点掌握两角分别相等（AA）、两边成比例且夹角相等（SAS）、三边成比例（SSS）三个相似判定定理的严谨证明过程，依托平行线分线段成比例定理、图形平移构造法完成证明，吃透证明逻辑、规范答题步骤，适配考试证明题型。 一、预备知识（证明核心依据） 1. 平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边，所得对应线段成比例。 2. 相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似。 3. 构造思想：在大三角形中截取小三角形，利用平行线性质证边成比例、角相等，推导相似。 二、三大判定定理标准证明过程 定理1：两角分别相等的两个三角形相似（AA） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： ∵ 三角形内角和为180°，∠A=∠A₁，∠B=∠B₁， ∴ ∠C=180°−∠A−∠B，∠C₁=180°−∠A₁−∠B₁， ∴ ∠C=∠C₁，即两个三角形三组对应角全部相等。 在△ABC的边AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于点E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC（平行截三角形相似）。 ∵ ∠B=∠ADE，且∠B=∠B₁，∴ ∠ADE=∠B₁。 又∵ ∠A=∠A₁，AD=A₁B₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（ASA）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 结论：两角分别相等的两个三角形相似。 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$，∠A=∠A₁。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，过点D作DE∥BC，交AC于E。 ∵ DE∥BC，∴ △ADE∽△ABC，$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$。 由$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁，可得：$$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$$，即$$AE=A_1C_1$$。 在△ADE和△A₁B₁C₁中： AD=A₁B₁，∠A=∠A₁，AE=A₁C₁， ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SAS）。 又∵ △ADE∽△ABC， ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 易错提醒：必须是夹角相等，一边对角相等无法证明相似。 定理3：三边成比例的两个三角形相似（SSS） 已知：在△ABC和△A₁B₁C₁中，$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$$。 求证：△ABC∽△A₁B₁C₁ 证明： 在AB上截取AD=A₁B₁，作DE∥BC交AC于E，可得△ADE∽△ABC。 ∴ $$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$$。 ∵ $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{AC}{A_1C_1}$$，AD=A₁B₁， ∴ DE=B₁C₁，AE=A₁C₁。 ∴ △ADE≌△A₁B₁C₁（SSS）。 ∴ △A₁B₁C₁∽△ABC。 三、专项巩固练习题（含解析） 基础证明题 1. 求证：任意两个等边三角形相似。 证明：等边三角形三个内角均为60°，任意两个等边三角形都有三组对应角相等，满足AA相似判定，故两三角形相似。 2. 已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，求证：△ACD∽△ABC。 证明：∵ ∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A（公共角），两角分别相等，∴ △ACD∽△ABC（AA）。 拔高题型 3. 已知$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$$，∠B=∠E，求证：△ABC∽△DEF。 证明：满足两边对应成比例且夹角相等，符合SAS相似判定定理，故△ABC∽△DEF。 四、证明题通用答题步骤（满分模板） 1. 构造辅助线：在长边截取等线段，作平行线构造相似小三角形； 2. 证比例/等角：利用平行线性质、内角和、已知条件推导等量关系； 3. 证全等：证明构造的三角形与已知三角形全等； 4. 递推相似：由全等传递相似，得出最终结论。 五、核心总结 1. 三个判定定理证明核心方法一致：构造平行线→证平行相似→证三角形全等→传递相似； 2. AA判定最简便，SAS需紧盯“夹角”，SSS无需角度、只看三边比例； 3. 所有相似判定的本质：将未知相似转化为平行相似+全等证明。 1.会证明相似三角形的判定定理；（重点） 2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点） 学习目标 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似. 3 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A =∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 探究点1：证明相似三角形的判定定理 4 证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠1=∠B，∠2 =∠C， (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ 探究点1：证明相似三角形的判定定理 5 ∴ △ADE∽△ABC. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ DE = CF . ∴ ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ 而 ∠1 = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠2 =∠C， ∵ ∠A = ∠A'，∠ADE = ∠B =∠B'， AD = A'B'， ∴ △ADE≌△A'B'C' ． ∴ △ABC∽△A'B'C'. 探究点1：证明相似三角形的判定定理 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在△ABC 的边 AB (或它的延长线)上截取 AD = A′B′，过点 D 作BC 的平行线，交 AC 于点 E， 则∠B =∠ADE，∠C =∠AED， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' C' D E B A C 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ △ABC∽△ADE (两角分别相等的两个三角形相似). 探究点1：证明相似三角形的判定定理 7 ∴ AE = A′C′ . ∵ AD = A′B′， ∴ ∴ B' A' C' D E B A C ∴ 而 ∠A = ∠A′， ∴ △ADE ≌△A′B′C′. ∴ △ABC∽△A′B′C′. 探究点1：证明相似三角形的判定定理 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， . 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 探究点1：证明相似三角形的判定定理 ∴ C′ B′ A′ 证明：在 △ABC 的边 AB，AC (或它们的延长线)，上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C'，连接 DE. ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'. B C A D E 而 ∠BAC = ∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ . 探究点1：证明相似三角形的判定定理 ∴ C′ B′ A′ ∴ DE = B′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ . B C A D E 又 ，AD = A'B'， ∴ 探究点1：证明相似三角形的判定定理 解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C， ∴ △ABD∽△ACB. ∴ AB : AC = AD : AB. ∴ AB² = AD · AC. ∵ AD = 2， AC = 8， ∴ AB = 4. 例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB. C D A B 探究点2：相似三角形判定定理的运用 例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ∴ 探究点2：相似三角形判定定理的运用 ② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : = AB : ，解得 AB = ． ① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3； C A B D 2 ∴ 当 AB 的长为 3 或 时， 这两个直角三角形相似． 探究点2：相似三角形判定定理的运用 1.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = ∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ； (2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ； (3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： . 相似 相似 相似 【练一练】 知识点1 相似三角形判定定理的证明 （第1题） 1. 如图， ,下列添加的条件不能 使 的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 （第2题） 2. 如图，点是等腰三角形的腰 上的 一点，过点作直线（不与直线 重合）截 ,使截得的三角形与原三角形相似，满 足这样条件的直线最多有( ) B A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 【点拨】,.如图，①作 ,可得 .②作,可得 .③作 ,可得 ,故选 B. 返回 考试考法 17 3.如图，在中，，点 在边 上移动（点不与点， 重合），满足 ，且点，分别在边， 上. （1）求证： ； 考试考法 18 【证明】， . ， ， . . 考试考法 19 （2）当点移动到的中点时，求证： 平分 . ， . 点是的中点, . . 易知, . ,即平分 . 返回 考试考法 20 知识点2 相似三角形判定定理的应用 4. 夹文件的一种燕 尾夹如图①所示，图②是在闭 合状态下的平面示意图，经测 量知 ， 48 ， ，则在闭合状态下，点 ，之间的距离是____ . 返回 考试考法 21 5.[2025常州] 如图，在中，是 上一点， ，，的延长线相交于点，若 ，则 ___. 1 返回 考试考法 22 6. 如图，四边形、四边形、四边形 都是正 方形，图中与 相似的三角形为( ) A （第6题） A. B. C. D. 考试考法 23 判断网格中三角形是否相似的方法：对于网格中的 三角形相似问题，一般先求出网格中三角形的三边长，按大 小顺序排列，然后利用三边成比例或两边成比例且夹角相等 来判断三角形是否相似. . . . . 返回 考试考法 24 （第7题） 7. 如图，在正方形中，是 的中 点，是上一点，且 .现有结 论： ; ; ; .其中正确的结 论为( ) B A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 考试考法 25 （第7题） 【点拨】 四边形是正方形，是 的中点， , ,假设 ,则 ,显然 ,故①错误； , .易知 考试考法 26 , .又 , ,故②正 确； , , . ,即 ,故③正确； , （第7题） 考试考法 .易知 ，.. 与 不相似，故④错误.故选B. （第7题） 返回 考试考法 （第8题） 8. 如图，是边长为 的等边三角形，，， 为 上的动点，以的速度从点向点 运动，假设点运动的时间为，当 _____ _______时，与 相似. 12或 16或21 考试考法 29 相似三角形判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理证明 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 课堂小结 $