3.1.2比例的性质（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦比例的基本性质、合比性质、分比性质及等比性质四大核心知识点，通过矩形相似等实际问题导入，衔接图形的相似章节内容，以定义阐释、性质推导、例题解析为学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是精准设计由浅入深的题型，结合矩形广场小路等情境，运用设k法等教学方法，培养学生抽象能力、推理意识和模型意识。学生能熟练掌握运算技巧，教师可用于同步训练，提升教学效率。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.1.2比例的性质 第三章 图形的相似 3.1.2 比例的性质 同步练习题（含解析） 本次练习题适配九年级3.1.2比例的性质课时内容，精准围绕比例基本性质、合比性质、分比性质、等比性质四大核心考点设计题型，侧重比例式变形、代数式求值、等比性质分类讨论等基础必考题型，难度由浅入深，贴合课堂同步训练，帮助学生熟练掌握各类比例性质的运算与应用技巧，夯实相似图形章节基础。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 若$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$（$$b≠0,d≠0$$），则比例的基本性质正确的是（） A. $$ab=cd$$ B. $$ad=bc$$ C. $$a+c=b+d$$ D. $$a-d=b-c$$ 2. 已知$$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$$，则$$\frac{x}{y}$$的值为（） A. $$\frac{3}{4}$$ B. $$\frac{4}{3}$$ C. $$\frac{1}{4}$$ D. $$\frac{1}{3}$$ 3. 若$$\frac{a}{b}=\frac{2}{5}$$，根据合比性质，下列式子正确的是（） A. $$\frac{a+b}{b}=\frac{7}{5}$$ B. $$\frac{a+b}{a}=\frac{7}{5}$$ C. $$\frac{a-b}{b}=\frac{7}{5}$$ D. $$\frac{a-b}{a}=\frac{7}{5}$$ 4. 已知$$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$$，则$$\frac{a+b+c}{b}$$的值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 若$$3a=5b$$（$$b≠0$$），则$$a:b$$为（） A. 3:5 B. 5:3 C. 2:3 D. 3:2 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 合比性质：若$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，则________。 7. 已知$$\frac{m}{n}=\frac{3}{7}$$，则$$\frac{m-n}{n}=$$________。 8. 若$$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$$，则$$\frac{x+y}{x-y}=$$________。 9. 已知$$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}$$，则$$\frac{a+b}{c}=$$________。 10. 若$$2x-3y=0$$（$$y≠0$$），则$$\frac{x}{y}=$$________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）利用比例性质完成计算：（1）已知$$\frac{a}{6}=\frac{b}{5}$$，求$$a:b$$；（2）由$$4x=7y$$写出比例式$$\frac{x}{y}$$；（3）已知$$\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$$，求$$\frac{a+b}{b}$$的值。 12.（20分）已知$$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}$$，且$$a+b+c=36$$。（1）设比例系数为$$k$$，用$$k$$表示$$a、b、c$$；（2）求$$a、b、c$$的具体值；（3）利用等比性质求$$\frac{a+b+c}{2+4+6}$$的值。 13.（22分）已知$$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}$$。（1）求$$\frac{x+y}{z}$$的值；（2）求$$\frac{x+z}{y-x}$$的值；（3）若$$x+y+z=30$$，求$$x、y、z$$的值。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. B 解析：比例基本性质为两外项之积等于两内项之积，即$$ad=bc$$。 2. B 解析：由$$\frac{x}{4}=\frac{y}{3}$$得$$3x=4y$$，变形得$$\frac{x}{y}=\frac{4}{3}$$。 3. A 解析：合比性质$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$，代入得$$\frac{a+b}{b}=\frac{2+5}{5}=\frac{7}{5}$$。 4. A 解析：设$$\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}=k$$，则$$a=2k,b=3k,c=4k$$，$$\frac{a+b+c}{b}=\frac{9k}{3k}=3$$。 5. B 解析：由$$3a=5b$$，变形得$$\frac{a}{b}=\frac{5}{3}$$，即$$a:b=5:3$$。 填空题 6. $$\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$$ 7. $$-\frac{4}{7}$$ 8. $$-5$$ 9. $$\frac{7}{5}$$ 10. $$\frac{3}{2}$$ 解答题 11. （1）由比例基本性质得$$a:b=6:5$$；（2）$$\frac{x}{y}=\frac{7}{4}$$；（3）根据合比性质，$$\frac{a+b}{b}=\frac{3+4}{4}=\frac{7}{4}$$。 12. （1）设$$\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{6}=k$$，则$$a=2k，b=4k，c=6k$$；（2）代入$$a+b+c=36$$，得$$12k=36$$，$$k=3$$，故$$a=6，b=12，c=18$$；（3）由等比性质得$$\frac{a+b+c}{2+4+6}=k=3$$。 13. （1）设$$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z}{7}=k$$，$$x=3k,y=5k,z=7k$$，$$\frac{x+y}{z}=\frac{8k}{7k}=\frac{8}{7}$$；（2）$$\frac{x+z}{y-x}=\frac{10k}{2k}=5$$；（3）$$3k+5k+7k=30$$，解得$$k=2$$，即$$x=6，y=10，z=14$$。 本节核心知识点总结 1. 基本性质：$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \Leftrightarrow ad=bc(b≠0,d≠0)$$，是比例变形的核心依据。 2. 合、分比性质：$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a\pm b}{b}=\frac{c\pm d}{d}$$，用于比例式的加减变形求值。 3. 等比性质：若$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=...=\frac{m}{n}(b+d+...+n≠0)$$，则$$\frac{a+c+...+m}{b+d+...+n}=\frac{a}{b}$$，常用设$$k$$法求解多比例式问题。 1. 理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点） 2. 能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点） 学习目标 比例的基本性质： 四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即 ，那么这四条线段 a，b，c，d 叫做 ，简称 . 成比例线段 比例线段 如果 ，那么 ad = bc. 如果 ad = bc(a，b，c，d 都不等于 0)，那么 . 3 如图，一个矩形广场的长为 60 m，宽为 40 m，广场内两条纵向小路的宽均为 1.5 m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当 x 为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似? 60 40 1.5 x 60 40 解：由题意得，内边缘矩形的长和宽分别为(60－1.5×2)，(40－2x). 1.5 x 如图，两个矩形相似，对应边成比例 解得 x＝1. 当 x＝1 时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似. 问题：如图，在矩形ABCD与矩形EFGH 中，已知 (2) 你能求出 的值吗？由此你能得出什么结论？ A B C D E F G H 相似 探究点：等比性质 (1) 这两个图形相似吗？ 已知 a，b，c，d，e，f 六个数，如果 (b + d + f ≠ 0)，那么 成立吗？为什么？ 设 ，则 a = kb，c = kd，e = kf . 所以 【尝试·思考】 探究点：等比性质 7 由此可得到比例的又一性质： 等比性质 探究点：等比性质 8 ∴4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD). 即 DE + EF + FD = (AB + BC + CA) . 又∵△ABC 的周长为 18 cm，即 AB + BC + CA = 18 cm. 例1 在 △ABC 与 △DEF 中，已知 ，且 △ABC 的周长为 18 cm，求 △DEF 的周长. 解：∵ ∴ 探究点：等比性质 即△DEF 的周长为 24 cm. ∴DE + EF + FD = (AB + BC + CA) = ×18 = 24 (cm). 例2 若 a，b，c 都是不等于零的数，且 求 k 的值. 得 ，则 k = 2. 当 a + b + c＝0 时，则有 a + b = －c. 此时 . 综上所述，k 的值是 2 或－1. 解：当 a + b + c ≠ 0 时，由 ， 探究点：等比性质 1. 已知 ，则 的值为 . 解：设 ， 则 a = 2k，b = 3k，c = 5k . 1 …… 设元 …… 表示 …… 消元 【练一练】 探究点：等比性质 知识点1 合比性质 1. 如果，则 等于( ) D A. B. C. D. 2.已知，则__， __. 【点拨】, , ., . 返回 考试考法 12 知识点2 等比性质 3. 已知 ，下列等式成立的是 ( ) C A. B. C. D. 4. 若，则 的值是( ) D A. 20 B. 100 C. 120 D. 返回 考试考法 13 5. [2025南充] 已知，则 的 值是( ) D A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 考试考法 14 【点拨】解法一：,, , ，,， , . 解法二：, , ,即, . 返回 考试考法 15 6. 若， ，则 ___. 2 7. 已知，且 ，试求 的值. 返回 考试考法 16 【解】方法一： ， 设,则, . ， ，解得 ， . 方法二： ， 考试考法 17 . , , 解得 . , , . 返回 考试考法 8. 已知，则 的值为( ) D A. 1 B. 或 C. D. 1或 【点拨】当时， , ;当 时, . 考试考法 19 9.已知，则 __. 【点拨】 ， ， ， 则 . . 返回 考试考法 20 10. 已知和中，有 ， 且和的周长之差为，则 的周长为 ____ . 30 考试考法 21 比例的 性质 如果 那么 ad = bc. 基本 性质 等比 性质 如果 ad = bc (a，b，c，d 都不等于 0)， 那么 课堂小结 $