2027届 高三数学一轮复习第十二讲 指数和对数的运算

该高中数学高考复习学案系统梳理了指数与对数运算专题，将根式定义、指数幂性质、对数运算法则等核心考点按“定义-性质-运算”逻辑构建知识网络，通过问题链和任务驱动引导学生自主梳理概念联系，形成层次分明的知识体系。 亮点在于诊断性题型训练和分层能力提升设计，如设置根式与指数互化、对数运算求值等八大必考题型，学生通过题型分类训练自主诊断薄弱环节，培养数学思维与运算能力。每个题型配有方法总结和易错点提示，帮助学生建立个性化解题策略，教师可依据学生题型掌握情况精准辅导，提升备考实效。

2027届高三数学一轮复习 第十二讲 指数和对数的运算 【学习目标】能够进行指对相关的运算和化简. 【学习重点】指对相关的运算和化简. 【学习难点】指对相关的运算和化简. 【学习过程】 必掌握知识点 一、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，；④，，． 二、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；（其中且）； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 必考题型全归纳 题型一 分数指数幂与根式互化、指数运算 1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．－＝（x＞0） B．＝（y＜0） C．＝ （x＞0，y＞0） D．＝－ （x≠0） 【答案】C 【分析】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项. 【详解】对于A，－＝－x，故A错误；对于B，当y＜0时，＞0，y＜0，故B错误；对于C，xy＝ （x＞0，y＞0），故C正确；对于D，x＝ （x≠0），故D错误. 故选：C 2．已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得，所以，故选：C 3.（多选）．下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A．－＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】ACD 【分析】结合分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可. 【详解】A中，（），故A错误； B中，，故B正确； C中，（），故C错误； D中，，故D错误.故选：ACD. 4．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数的运算性质计算逐项计算. 【详解】，A成立； ，B不成立； ，C成立； ，D不成立.故选：AC 题型二 指数运算的性质、定义域范围 5．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算法则，化简得，得到，即可求解. 【详解】由，因为，即，所以，可得，所以.故选：D. 【点睛】本题主要考查了指数幂的运算法则及其应用，其中解答中熟记指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查运算能力，属于基础题. 6．，求______． 【答案】 【分析】通过根式的化简与运算即可得出结论. 法一：因为，，所以. 法二：.故答案为： 题型三 对数式化简、对数求值计算 7．已知实数，若，则______ . 【答案】 【分析】利用换元法以及换底公式得出，求解方程，即可得出. 【详解】令，， ，即，解得（舍），，则 故答案为： 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，属于中档题. 8．计算下列各式的值： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（3）利用指数的运算性质化简可得所求代数式的值； （2）（4）利用对数的运算性质化简可得所求代数式的值. 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式． （4）原式. 题型四 利用函数奇偶性 、单调性解抽象不等式 9．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】是R上的偶函数，且在上是增函数 在是减函数，， ， ；故选：C． 10．已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定时的对称轴，分别在和两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】当时，是开口方向向下，对称轴为的二次函数， ①当，即时，由二次函数对称性知：必存在，使得； ②当，即时，若存在，使得，则函数图象需满足下图所示：    即，解得：，；综上所述：.故选：A. 【点睛】根据可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果. 题型五 分段函数 、复合函数单调性求参 11．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性与导函数的关系得到含参不等式，通过参变分离转化成不等式恒成立，求解函数的最值即得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 在上恒成立，令，. (当且仅当时等号成立).所以.故选：D. 题型六 函数双解型参数范围（存在两点函数值相等） 12．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数对数函数的定义，可得，此时当x≤1时，函数为减函数，当x=1时，函数取最小值1﹣2a； 当x＞1时，函数为减函数，当x=1时，函数取上边界值；若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则1﹣2a＜，解得答案． 【详解】∵ 故a＞0且a≠1，且1﹣2a＞0，1﹣2a≠1，即， 此时当x≤1时，函数为减函数，当x=1时，函数取最小值1﹣2a； 当x＞1时，函数为减函数，当x=1时，函数取上边界值； 若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立， 1﹣2a＜，解得：a>，综上可得：a∈故选B． 【点睛】本题考查的知识点是分类函数的应用，指数函数和对数函数的图象和性质，难度中档．解决分段函数的问题，多数是可以采用图像法的，将问题具体化，分段函数的单调区间是将每一段的单调区间均写出来，分段函数的值域是每一段的值域并到一起，定义域也是将每一段的定义域并起来. 题型七 函数零点个数求参数 13．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数研究其图象性质，再将问题转化交点有3个，列式即可得解. 【详解】令，得，即， 记，求导得， 因为当时，，函数在单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 且当时，且，当时，且， 则函数的大致图象如图， 交点有3个，所以，所以的取值范围为.故选：A. 题型八 导数公切线问题（指数函数图像公切线） 14．已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线与分别相切于点,对，，根据题意可得，即，化简得，再利用导数法求解. 【详解】设公切线与分别相切于点, ，，， 即，解得， 代入化简得， 令函数，则， 当或时，，当时，， 所以在区间递增，在区间递减，在区间递增， 且，，可知a无上界，即时， 方程有三解，即和图象有三条公切线.故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第十二讲 指数和对数的运算 【学习目标】能够进行指对相关的运算和化简. 【学习重点】指对相关的运算和化简. 【学习难点】指对相关的运算和化简. 【学习过程】 必掌握知识点 一、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，；④，，． 二、对数式的运算 (1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． (2)常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； (3) 对数的性质和运算法则： ①；；（其中且）； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧； 必考题型全归纳 题型一 分数指数幂与根式互化、指数运算 1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．－＝（x＞0） B．＝（y＜0） C．＝ （x＞0，y＞0） D．＝－ （x≠0） 2．已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 3.（多选）．下列根式、分数指数幂的互化中，不正确的是（　　） A．－＝ B．＝ C．＝ D．＝ 4．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 题型二 指数运算的性质、定义域范围 5．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．，求______． 题型三 对数式化简、对数求值计算 7．已知实数，若，则______ . 8．计算下列各式的值： (1)； (2) (3)； (4)． 题型四 利用函数奇偶性 、单调性解抽象不等式 9．函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．已知函数若存在，且，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 分段函数 、复合函数单调性求参 11．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型六 函数双解型参数范围（存在两点函数值相等） 12．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 题型七 函数零点个数求参数 13．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八 导数公切线问题（指数函数图像公切线） 14．已知函数，若和图象有三条公切线，则的取值范围是 A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $