专题05有理数的混合运算期末冲刺必备讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年北师大版七年级数学上册

该初中数学讲义以“知识点梳理-题型精讲-压轴通关”为主线构建有理数混合运算复习体系，通过表格归纳乘方定义、符号法则等核心知识点，用思维导图呈现混合运算顺序与易错点，清晰展现知识内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“情境化题型+分层训练”设计，如结合“结绳计数”考查乘方实际应用，通过“数字黑洞”问题培养运算能力与抽象思维，压轴题融入跨学科情境。每种题型配典例与跟踪练习，基础生可掌握运算规则，进阶生能提升解题技巧，助力教师实施精准复习与核心素养培养。

专题05有理数的混合运算期末冲刺必备讲义 1.理解有理数乘方的定义，能准确进行乘方运算，区分 -aⁿ 与 (-a)ⁿ 的区别。 2.掌握有理数混合运算的顺序，能熟练、准确地进行多步骤混合运算。 3.能运用乘方及混合运算解决简单的实际问题（如数字规律、科学记数法基础）。 期末必备 知识点梳理 1.有理数的乘方 2.乘方的符号法则 3.有理数的混合运算 4.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.有理数幂的概念辨析 2.有理数的乘方运算规则与实操 3.乘方的实际应用场景 4.用科学记数法表示绝对值大于1的数 5.含乘方的有理数混合运算技巧 6.程序流程图与有理数计算问题 7.求一个数的近似数的方法 8.近似数的精确度判断 9.由近似数推断原数的取值范围 10.算“24”点的有理数运算技巧 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数的乘方】 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 *表达式：若有n个相同因数a相乘，记作an。 *各部分名称： a叫做底数（相同的因数）； n叫做指数（相同因数的个数）； an读作 “a的n次方” 或 “a的n次幂”。 注意： 1.当指数为1时，通常省略不写，如a1=a； 2.乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。 【知识点02.乘方的符号法则】 乘方结果的符号由底数的正负和指数的奇偶性共同决定： 1.正数的任何次幂都是正数 例如：23=8，()4=161​ 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 例如：(−2)3=−8（指数3是奇数），(−2)4=16（指数4是偶数） 3.0 的任何正整数次幂都是 0 例如：05=0，0100=0 易错点辨析： *(−a)n和−an的区别 *(−a)n：底数是−a，表示n个−a相乘，结果符号由n的奇偶性决定； 例：(−3)2=(−3)×(−3)=9 *−an：底数是a，表示an的相反数，先算乘方再取反； 例：−32=−(3×3)=−9 4. 常见的特殊乘方 平方：指数为2的乘方，如52=25，(−1)2=1； 立方：指数为3的乘方，如23=8，(−1)3=−1； (−1)的幂：(−1)的奇数次幂是−1，(−1)的偶数次幂是1。 【知识点03.有理数的混合运算】 1. 运算顺序（核心规则） 有理数混合运算需遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的” 的顺序，具体分为以下几步： 第一级运算：加减运算（从左到右依次计算）； 第二级运算：乘除运算（从左到右依次计算）； 第三级运算：乘方运算（优先级最高）； 括号优先级：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 口诀总结：先乘方，后乘除，最后加减；同级运算，从左到右；括号优先，由内到外。 2.运算技巧与注意事项 (1)符号处理 每一步运算前先确定结果的符号，避免符号错误； 多个负数相乘除时，根据负因数的个数判断符号（奇负偶正）。 (2)分步计算 复杂运算不要跳步，分步书写可以减少错误，便于检查。 (3)巧用运算律 在同级运算中，可灵活运用加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 例如：计算 25×(−4)×(−8)，可利用乘法结合律，先算25×4=100，再算100×8=800 【知识点04.易错点汇总】 1.混淆(−a)n与−an的计算； 2.忽略运算顺序，先算加减再算乘除； 3.乘方运算中，底数的范围判断错误（如把−22的底数当成−2）； 4.括号前是负号时，去括号后未变号。 【题型1.有理数幂的概念辨析】 【典例】表示的意义是（   ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【跟踪专练1】若，则 ． 【跟踪专练2】下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2.有理数的乘方运算规则与实操】 【典例】在，，，，，中，负数共有 个． 【跟踪专练1】学完有理数的运算之后，小丁做了以下四道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【跟踪专练2】若有理数m、n满足，则 ． 【题型3.乘方的实际应用场景】 【典例】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【跟踪专练1】当 时，有最大值是 ． 【跟踪专练1】在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型4.用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例】某省的面积约为，数字102600用科学记数法可表示为 ． 【跟踪专练1】年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】防疫工作一刻都不能放松，截至2023年月日时，全球累计确诊感染新冠肺炎约为亿人，将数字亿用科学记数法表示为 ． 【题型5.含乘方的有理数混合运算技巧】 【典例】易经八卦中阴爻（yáo）用中断线“——”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．例如：八卦中的“离”对应的二进制数为：，写出八卦中“离”所表示的“十进制”数是（   ） A．5 B．101 C．9 D．11 【跟踪专练1】某些特定的整数，在设定的运算规则下，经过有限次重复计算后，最终会被锁定在一个固定的数值中，这个数值叫“数字黑洞”．对于数字7，先计算其各数位上数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各数位上数字的平方和，…，重复运算下去，将得到一个“数字黑洞” ． 【跟踪专练2】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．小明采用“满五进一”的方式，记录自己打卡背单词的天数．图1中表示打卡的天数为，那么图2表示打卡的天数为（    ） A．50 B．214 C．159 D．234 【题型6.程序流程图与有理数计算问题】 【典例】如图是一个数值转换机的示意图，若输入的数，则输出的数 ． 【跟踪专练1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是 【题型7.求一个近似数的方法】 【典例】用四舍五入法按要求对0.15038分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.2（精确到0.1） B．0.1504（精确到万分位） C．0.15（精确到千分位） D．0.150（精确到0.001） 【跟踪专练1】用四舍五入法对精确到得到的近似数为 ． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（  ） A．5.78万精确到百分位 B．近似数3千和3000的精确度是相同的 C．547500精确到万位可以表示为 D．若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为 【题型8.近似数的精确度判断】 【典例】近似数万精确到 位 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【跟踪专练2】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 【题型9.由近似数推断原数的取值范围】 【典例】下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【跟踪专练1】一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 【跟踪专练2】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【题型10.算“24”点的有理数运算技巧】 【典例】根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是 ． 【跟踪专练1】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【跟踪专练2】有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 1．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 2．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．下列说法：①整数和分数统称为有理数；②倒数等于它本身的数只有；③的底数为；④20200精确到千位为；⑤若，则或．其中一定正确的是 （只需填写序号）． 4．①任何有理数都可以用数轴上的点表示；②一定是负数；③近似数精确到百分位；④若，则．其中正确的有 （填序号）． 5．近似数的准确值a的取值范围是 ． 6．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是 ． 7．一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 8．生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 9．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 10．任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． 13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，． (1)_____，_____； (2)情境：有一个玩具火车如图所示放置在数轴上，车头在点C，车尾在点D．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点A时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点B时，车头正好与点D重合．由此可知： ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②图中C点表示的数是_______，D点表示的数是_______； (3)在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，妙妙去问从数学老师退休的爷爷：“爷爷，您今年多少岁了？” 爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要42年才出生，你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！” 请你借助“数轴”工具，算一算，爷爷和妙妙现在分别多少岁？ 14．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： （1）如果，那么 ； （2）有最小值 ； （3）有最大值 ； 【应用】： （4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 15．武汉江滩灯光秀是长江沿岸规模最大的夜景工程之一，核心看点可概括为“一条18公里光影走廊、三大主题篇章、四大最佳观赏带”．若灯光秀的“亮灯时刻”由灯光控制器来控制，控制器接收到的信号为“亮灯码”，“亮灯码”是八进制数，控制器通过解码将其转换为4位十进制数，例如“亮灯时刻”是，通过转换得到十进制数1945，则“亮灯时刻”是． (1)①若“亮灯码”是则“亮灯时刻”是_____； ②若“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是_____； (2)第二届长江文化艺术节于2025年9月12日在武汉开幕，开幕式于开始，并且在有无人机表演．若灯光秀与开幕式同步开启，并且在无人机表演时需要更换灯光秀内容，灯光秀需要重启．则灯光秀开启时的“亮灯码”是_____；无人机表演开始时的“亮灯码”是_____； (3)若灯光控制器系统发生故障，“亮灯码”的进制发生了变化，维修工程师进行以下操作；若输入“亮灯码”是．则“亮灯时刻”是；若输入“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是，请根据工程师的操作直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05有理数的混合运算期末冲刺必备讲义 1.理解有理数乘方的定义，能准确进行乘方运算，区分 -aⁿ 与 (-a)ⁿ 的区别。 2.掌握有理数混合运算的顺序，能熟练、准确地进行多步骤混合运算。 3.能运用乘方及混合运算解决简单的实际问题（如数字规律、科学记数法基础）。 期末必备 知识点梳理 1.有理数的乘方 2.乘方的符号法则 3.有理数的混合运算 4.易错点汇总 常考题型 精讲精炼 1.有理数幂的概念辨析 2.有理数的乘方运算规则与实操 3.乘方的实际应用场景 4.用科学记数法表示绝对值大于1的数 5.含乘方的有理数混合运算技巧 6.程序流程图与有理数计算问题 7.求一个数的近似数的方法 8.近似数的精确度判断 9.由近似数推断原数的取值范围 10.算“24”点的有理数运算技巧 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.有理数的乘方】 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。 *表达式：若有n个相同因数a相乘，记作an。 *各部分名称： a叫做底数（相同的因数）； n叫做指数（相同因数的个数）； an读作 “a的n次方” 或 “a的n次幂”。 注意： 1.当指数为1时，通常省略不写，如a1=a； 2.乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果。 【知识点02.乘方的符号法则】 乘方结果的符号由底数的正负和指数的奇偶性共同决定： 1.正数的任何次幂都是正数 例如：23=8，()4=161​ 2.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 例如：(−2)3=−8（指数3是奇数），(−2)4=16（指数4是偶数） 3.0 的任何正整数次幂都是 0 例如：05=0，0100=0 易错点辨析： *(−a)n和−an的区别 *(−a)n：底数是−a，表示n个−a相乘，结果符号由n的奇偶性决定； 例：(−3)2=(−3)×(−3)=9 *−an：底数是a，表示an的相反数，先算乘方再取反； 例：−32=−(3×3)=−9 4. 常见的特殊乘方 平方：指数为2的乘方，如52=25，(−1)2=1； 立方：指数为3的乘方，如23=8，(−1)3=−1； (−1)的幂：(−1)的奇数次幂是−1，(−1)的偶数次幂是1。 【知识点03.有理数的混合运算】 1. 运算顺序（核心规则） 有理数混合运算需遵循 “先乘方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里面的” 的顺序，具体分为以下几步： 第一级运算：加减运算（从左到右依次计算）； 第二级运算：乘除运算（从左到右依次计算）； 第三级运算：乘方运算（优先级最高）； 括号优先级：先算小括号，再算中括号，最后算大括号。 口诀总结：先乘方，后乘除，最后加减；同级运算，从左到右；括号优先，由内到外。 2.运算技巧与注意事项 (1)符号处理 每一步运算前先确定结果的符号，避免符号错误； 多个负数相乘除时，根据负因数的个数判断符号（奇负偶正）。 (2)分步计算 复杂运算不要跳步，分步书写可以减少错误，便于检查。 (3)巧用运算律 在同级运算中，可灵活运用加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律简化计算。 例如：计算 25×(−4)×(−8)，可利用乘法结合律，先算25×4=100，再算100×8=800 【知识点04.易错点汇总】 1.混淆(−a)n与−an的计算； 2.忽略运算顺序，先算加减再算乘除； 3.乘方运算中，底数的范围判断错误（如把−22的底数当成−2）； 4.括号前是负号时，去括号后未变号。 【题型1.有理数幂的概念辨析】 【典例】表示的意义是（   ） A．6个相乘的积 B．乘以6的积 C．5个相乘的积 D．6个相加的和 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义． 根据乘方的意义，表示n个a相乘的积． 【详解】解：∵表示n个a相乘的积， ∴表示6个相乘的积， 故选：A． 【跟踪专练1】若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质．直接利用非负数的性质得出a，b，c之间的关系，即可代入得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 则，， 解得：， 故 ． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列结论：①的底数是；②若有理数a，b互为相反数，那么；③绝对值等于本身的数是0；④倒数等于本身的数是1；⑤式子的最小值是6．其中正确的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查的是有理数的相关定义和性质，掌握幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性是解决此题的关键． 根据幂的底数的定义、相反数的性质、绝对值的性质、倒数的性质和绝对值的非负性逐一判断即可． 【详解】解：的底数是，故①正确； 若有理数，互为相反数，那么，故②正确； 绝对值等于本身的数是非负数，故③错误； 倒数等于本身的数是或，故④错误； ∵ ∴ ∴式子的最小值是，故⑤正确． 共有3个正确， 故选B． 【题型2.有理数的乘方运算规则与实操】 【典例】在，，，，，中，负数共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的分类、绝对值及乘方，化简各数后即可求解． 【详解】解：∵，，，，， ∴负数有共个， 故答案为：． 【跟踪专练1】学完有理数的运算之后，小丁做了以下四道计算题：①；②；③；④．请你帮他检查一下，他一共做对了（   ） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【答案】B 【分析】本题考查有理数的乘方、减法及除法运算，需逐一验证各计算题的正确性． 【详解】解：①∵（2025为奇数），而原式计算为，错误； ②∵，而原式计算为，错误； ③∵，恒成立，正确； ④∵，正确． ∴他一共做对了2题． 故选：B． 【跟踪专练2】若有理数m、n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，根据绝对值和平方的非负性得到．且，求出，即可求出． 【详解】解：∵， ∴且， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【题型3.乘方的实际应用场景】 【典例】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 【跟踪专练1】当 时，有最大值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查偶次方的非负性，根据的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴当时，有最大值是， 故答案为：，． 【跟踪专练1】在一次综合实践活动课上，同学们将一个边长为1的正方形纸片进行分割，如图所示，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，依次类推，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用乘方的意义解答． 根据图形的规律和乘方的意义，可以得到阴影部分的面积． 【详解】解：部分①的面积是原正方形纸片面积的一半，即为； 部分②的面积是部分①面积的一半，即为； 部分③的面积是部分②面积的一半，即为； …… 依次类推，阴影部分的面积为． 故选：B． 【题型4.用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【典例】某省的面积约为，数字102600用科学记数法可表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】年第十五届中国珠海航展圆满落幕，此次航展成交金额亿美元，折合人民币亿元，将数据“亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，其中的指数与小数点移动的位数有关．首先把展开可得，用科学记数法表示需要把小数点向左移动位，所以的指数为． 【详解】解：， ． 故选：A． 【跟踪专练2】防疫工作一刻都不能放松，截至2023年月日时，全球累计确诊感染新冠肺炎约为亿人，将数字亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，解题关键是正确确定的值以及的值． 根据科学记数法的定义即可求解． 【详解】解：亿， 故答案为：． 【题型5.含乘方的有理数混合运算技巧】 【典例】易经八卦中阴爻（yáo）用中断线“——”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示，这样八卦就可以用二进制来解释．例如：八卦中的“离”对应的二进制数为：，写出八卦中“离”所表示的“十进制”数是（   ） A．5 B．101 C．9 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的转换，利用按权展开法，将二进制数的每一数位上的数字乘以2的相应次幂（从右往左，次幂从开始递增），再把所得结果求和即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】某些特定的整数，在设定的运算规则下，经过有限次重复计算后，最终会被锁定在一个固定的数值中，这个数值叫“数字黑洞”．对于数字7，先计算其各数位上数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各数位上数字的平方和，…，重复运算下去，将得到一个“数字黑洞” ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘方运算． 通过重复计算数字各数位上数字的平方和，数字7经过有限次运算后最终收敛到固定数值1． 【详解】解：从数字7开始，依次计算各数位上数字的平方和： 数字7：， 数字49：， 数字97：， 数字130：， 数字10：， 数字1：， 此后运算结果始终为1，因此数字黑洞为1． 故答案为：1． 【跟踪专练2】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．小明采用“满五进一”的方式，记录自己打卡背单词的天数．图1中表示打卡的天数为，那么图2表示打卡的天数为（    ） A．50 B．214 C．159 D．234 【答案】B 【分析】本题考查乘方的应用,含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算． 根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2所表示打卡的天数为： （天）． 故选：B． 【题型6.程序流程图与有理数计算问题】 【典例】如图是一个数值转换机的示意图，若输入的数，则输出的数 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查有理数的运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据数值转换机进行代值求解即可． 【详解】解：由题意得：当时，则有，是偶数， ∴； 故答案为3． 【跟踪专练1】程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是时，根据程序，第一次计算输出的结果是，第二次计算输出的结果是，，这样下去第次计算输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化规律，通过计算探索出输出结果的循环规律是解题的关键． 通过计算发现，从第次开始，每次输出的结果以“，，，”为一个周期循环出现，则可知第次计算输出的结果与第次计算输出的结果相同，由此求解即可． 【详解】解：第一次计算输出的结果是， 第二次计算输出的结果是， 第三次计算输出的结果是， 第四次计算输出的结果是， 第五次计算输出的结果是， 第六次计算输出的结果是， ， ∴从第次开始，每次输出的结果以“，，，”为一个周期循环出现， ∵， ∴第次计算输出的结果是． 故选：D． 【跟踪专练2】远古时期，人们通过绳子打结的方式来记录数量，如图1为一队互相合作打猎的猎人在从右往左依次排列的绳子上打结，满五进一，记录了他们一天之内所打的猎物数量．若把这个量的十进制数输入如图2的程序计算，则最后输出的结果是 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算以及代数式求值，先根据图1，得出，再代入程序计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴当时， ， 程序执行“否”， 当时，， 程序继续执行“否”， 当时， ， 程序执行“是”， 输出 故答案为：． 【题型7.求一个近似数的方法】 【典例】用四舍五入法按要求对0.15038分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.2（精确到0.1） B．0.1504（精确到万分位） C．0.15（精确到千分位） D．0.150（精确到0.001） 【答案】C 【分析】本题考查近似数与有效数字，解题的关键是明确“精确到某一位”的含义，即对下一位数字进行四舍五入． 分别分析每个选项中“精确到某一位”的四舍五入规则，判断近似值是否正确． 【详解】解：已知原数为0.15038： A、精确到0.1（即十分位），需看百分位数字5，因为，所以向十分位进1，得0.2，正确； B、精确到万分位，需看十万分位数字8，因为，所以向万分位进1，得0.1504，正确； C、精确到千分位，需看万分位数字3，因为，所以舍去，结果应为0.150，而非0.15，错误； D．精确到0.001（即千分位），与选项C同理，结果为0.150，正确． 故选：C． 【跟踪专练1】用四舍五入法对精确到得到的近似数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 本题精确到，只需要对万分位上的数字进行四舍五入即可， 【详解】解：精确到得到的近似数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（  ） A．5.78万精确到百分位 B．近似数3千和3000的精确度是相同的 C．547500精确到万位可以表示为 D．若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确度和四舍五入法．根据相关知识点逐一进行判断即可． 【详解】解：A、5.78万，精确到百位，原说法错误，不符合题意； B、近似数3千精确到千位，3000精确到个位，两数的精确度不同，原说法错误，不符合题意； C、547500精确到万位可以表示为，原说法错误，不符合题意； D、若数x四舍五入后是5.20，则数x的取值为；正确，符合题意； 故选D． 【题型8.近似数的精确度判断】 【典例】近似数万精确到 位 【答案】 百 【分析】本题考查了近似数的精确度，注意将数据还原回原数据是解题的关键． 近似数万需先转化为整数形式，再根据原数中最后一位数字的位置确定精确度． 【详解】解：万， 的最后一位数字0位于百分位，对应整数71000的百位，故精确到百位． 故答案为：百． 【跟踪专练1】下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 【跟踪专练2】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 ；改写成用“万”作单位的数是 ；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 ． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 【题型9.由近似数推断原数的取值范围】 【典例】下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可． 【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数；要考虑是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，即可求解． 【详解】解：一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是，最小是． 故答案为：，． 【跟踪专练2】某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 【题型10.算“24”点的有理数运算技巧】 【典例】根据如图所示的4张扑克牌上的点数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为，可以列出综合算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】下面各组数中，不能通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24的是（　　） A．1，1，7，7 B．2，2，8，8 C．1，1，2，8 D．1，1，4，6 【答案】A 【分析】本题考查有理数的四则运算，通过尝试不同的四则运算组合，判断每组数字是否能得到24． 【详解】解：A、无法通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； B、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； C、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24； D、，即可以通过加、减、乘、除（含括号）运算得到24． 故选：A 【跟踪专练2】有一种游戏叫“24点游戏”，规则是：随机抽取4个整数，使用学过的运算符号把它们组成一个算式，使结果为24（每个数字只能用一次）．有一次小明在做“24点游戏”时抽到的4个数分别是，4，5，11，请你写出一个算式使其结果为24： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是灵活组合数字与运算符号，构造出结果为24的算式． 通过对数字、、、11进行减法、乘法运算的组合，得到结果为24的算式． 【详解】解：计算过程：先，得到， 再将与相乘，得到6， 最后将6与4相乘，得到24， 则． 故答案为： 1．若与互为相反数，则的值是（   ） A． B．36 C．18 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数和有理数的乘方运算，利用两个绝对值互为相反数，且绝对值非负，则两数均为0是解题的关键． 首先根据两个绝对值互为相反数，且绝对值非负的已知条件，得到两数均为0，进而解出a和b的值，最后计算的值即可． 【详解】∵与互为相反数，且，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．已知，则关于x的方程的解是（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值和平方式的非负性，解题的关键是根据绝对值和平方式的非负性得出和的值，然后计算即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ，， ， 即， ， ， 解得， 故选：C． 3．下列说法：①整数和分数统称为有理数；②倒数等于它本身的数只有；③的底数为；④20200精确到千位为；⑤若，则或．其中一定正确的是 （只需填写序号）． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查倒数数，绝对值的意义，科学记数法和有理数乘方，运用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 利用有理数的分类可对①进行判断；根据绝对值的意义对②进行判断；根据倒数的意义对③进行判断；根据乘方的定义对④进行判断；利用科学记数法可对⑤进行判断；根据绝对值的意义可得⑥进行判断． 【详解】解：①整数和分数统称为有理数是正确的； ∴原说法成立，①正确； ②倒数等于它本身的数只有， ∴②正确； ③的底数为2， ∴③错误； ④20200精确到千位为， ∴④错误； ⑤∵， ∴a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． 当a，b，c都是正数，即时， 则； 当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则， 综上所述，或， ∴⑤正确． 故答案为：①②⑤． 4．①任何有理数都可以用数轴上的点表示；②一定是负数；③近似数精确到百分位；④若，则．其中正确的有 （填序号）． 【答案】① 【分析】本题考查有理数的数轴表示、负数的定义、近似数的精确度以及绝对值的性质． 逐个分析判断其正确性，即可解答． 【详解】解：①任何有理数都可以用数轴上的点表示，正确． ②不一定是负数，当a为负数或零时，为非负数，错误． ③近似数表示16100，精确到百位，而不是百分位，错误． ④若，则a与b相等或互为相反数，不一定相等，错误． 故答案为：①． 5．近似数的准确值a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查近似数的概念，解题的关键是掌握近似数中四舍五入的方法． 根据近似数中四舍五入的方法解题即可． 【详解】解：由题可知时，近似数是． 故答案为：． 6．关于科学计算器的按键顺序： 所表示的算式是 ． 【答案】 【分析】本题考查计算器—有理数、有理数的混合运算，根据计算器的特点，可以写出相应的算式．熟练掌握计算器的输入特点是解答本题的关键． 【详解】解：由题意可得， 对应的算式是：． 故答案为：． 7．一条数轴上有从左至右5个点、、、、，其中点表示的数为4，点表示的数为，且，则数对应的点所在线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，由题意得，推出，进而得点表示的数为；即可求解； 【详解】解：∵点表示的数为4，点表示的数为， ∴； ∵， ∴； ∴点表示的数为； ∵， ∴数对应的点所在线段是； 故选：A 8．生物学指出，在生物链中大约只有的能量能够流动到下一个营养级，在这条生物链中（表示第个营养级，），要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为（用科学记数法表示）（    ）． A．千焦 B．千焦 C．千焦 D．千焦 【答案】B 【分析】根据的能量能够流动到下一个营养级可知：要使获得785千焦的能量，那么需要提供的能量约为千焦，以此类推．设需要提供的能量约为x千焦．根据题意列方程计算，即得． 本题主要考查了乘方的应用．熟练掌握乘方的意义及运算法则，是解决问题的关键． 【详解】设需要提供的能量约为x千焦． 根据题意得：， ∴， 解得，， ∴需要提供的能量约为千焦． 故选：B． 9．以下是小明同学数学笔记的一部分，请仔细阅读并完成相应任务． 我们在数学学习中所用的数都是十进制数，一共有十个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，其进位规则是“逢十进一”，比如数字 ，而二进制数是用0和1两个数码来表示的数，它的进位原则是“逢二进一”，二进制数可以转化为十进制数，转化如下：比如： ． 任务：已知是两个不相等的十进制数，且，若三位二进制数的三个数位均为，将其转化为十进制数为（   ） A．1 B．7 C．13 D．111 【答案】B 【分析】本题考查了二进制数转十进制数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键． 由已知推出，得到三位二进制数为111，再根据转化方法计算即可． 【详解】由题意得，，解得。 ∵三位二进制数的三个数位均为 ∴三位二进制数为111， ∴． 故选：B． 10．任意写下一个三位数，若它是3的倍数，则把它除以3的商作为下一个数；否则，把它各位上的数相加的和再平方后作为下一个数．重复这个过程，直到出现重复的数（与输入过的数字相同），根据要求，我们制作了如图所示的流程图，则最后输出的结果可能是 ；若一个三位数经过3次运算，便输出结果，则我们称这个三位数为幸运数，则最大的幸运数为 ． 【答案】 1（答案不唯一） 961 【分析】本题主要考查程序流程图与有理数的计算，解题的关键是围绕三位数按特定规则运算． 本题围绕三位数按特定规则运算展开，第一空需通过举例验证找出可能的重复输出结果；第二空要从最大三位数开始，依据运算规则，判断经过3次运算能输出结果的最大三位数． 【详解】解：第一空： 选取三位数100进行运算， ……1，不是3的倍数， 按照规则，计算其各位数之和：，再对和进行平方：， 后续若继续以1为下一个数运算，1不是3的倍数，各位数之和为1，平方后还是1，出现重复数， 最后输出的结果可能是（答案不唯一，还可能是169等）； 第二空：从最大的三位数999开始依次验证 999：①999是3的倍数，根据规则，下一个数为，②333是3的倍数，下一个数为，③111是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 998：①998不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②676不是3的倍数，下一个数为，③361不是3的倍数，下一个数为，继续运算，运算次数超过3次； 同理，运算次数都超过3次； 961：①961不是3的倍数，根据规则，下一个数为，②256不是3的倍数，下一个数为，③169不是3的倍数，下一个数为，与第一次运算结果相同，输出结果；经过3次运算便输出结果，符合幸运数定义． 所以，最大的幸运数为961， 故答案为：1（答案不唯一）；961． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) 1 (4) 【分析】本题考查了有理数混合运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键． （1）先统一成加法，再计算； （2）先算乘方、乘法、绝对值，最后加减； （3）先将除法变形为乘法，再计算乘法即可； （4）先算乘方、括号里面的减法，再算乘除法，最后算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 12．请根据图1中A，B两点的位置，回答问题： (1)分别写出它们所表示的有理数：A：______；B：______ (2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是______． (3)若将数轴折叠，使得点A与表示数的点重合，则点B与表示数______的点重合． (4)若数轴上M，N两点之间的距离为2024（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是______、______． (5)《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完．如图2，求的值． 【答案】(1)1， (2)5或 (3)1.5 (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据点在数轴位置写出即可； （2）有两种情况，在点A的左侧或在点A的右侧； （3）先找出折合点的对应的数，然后再利用数轴上两点间距离计算即可； （4）直接利用数轴上两点间距离计算即可； （5）根据图形找规律找规律，然后进行计算． 【详解】（1）解：点A表示的数是：1，点，B表示的数是：． 故答案为：1，； （2）∵， ∴点A的距离为4的点表示的数是：5或． 故答案为：5或； （3）∵点A点与表示的点重合， ∴， ∴折合点表示的数是：， 设与点B重合的点表示的数为x，由题意得， ， ∴， ∴点B点与数1.5表示的点重合． 故答案为：1.5； （4）∵， ， ， 又∵M在N的左侧 ∴M，N两点表示的数分别是，； （5）根据图形可知，． 13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，是“数形结合”的基础．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，． (1)_____，_____； (2)情境：有一个玩具火车如图所示放置在数轴上，车头在点C，车尾在点D．将火车沿数轴左右水平移动，当车头移动到点A时，车尾恰与点C重合；当车尾移动到点B时，车头正好与点D重合．由此可知： ①玩具火车的长为_______个单位长度； ②图中C点表示的数是_______，D点表示的数是_______； (3)在题（1）（2）的启发下，解决下列问题： 一天，妙妙去问从数学老师退休的爷爷：“爷爷，您今年多少岁了？” 爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要42年才出生，你若是我现在这么大，我已经120岁，是老寿星了，哈哈！” 请你借助“数轴”工具，算一算，爷爷和妙妙现在分别多少岁？ 【答案】(1)，； (2)①；②，； (3)爷爷现在的年龄是岁，妙妙现在的年龄是岁． 【分析】本题考查了数轴的应用，绝对值的非负性，有理数的乘方． （1）根据绝对值的非负性和平方的非负性作答即可； （2）①由题意可知，根据，求出，可得，即可求出玩具火车的长； ②根据，，，求出，即可； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把妙妙与爷爷的年龄差看做木棒，类似爷爷与妙妙大时看做当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为，妙妙与爷爷大时看做当B点移动到A点时，此时A点所对应的数为120，所以可知爷爷比妙妙大，可求爷爷和妙妙的年龄． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即，， 故答案为：，； （2）①解：由题意可知， ∵在数轴上点A表示数a，点B表示数b，，， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：∵，，， ∴，， 故答案为：，； （3）解：如图： 借助数轴，把妙妙与爷爷的年龄差看做木棒， 类似爷爷比妙妙大时看做当A点移动到B点时， 此时B点所对应的数为． 妙妙比爷爷大时看做当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为． 可知爷爷比妙妙大， 可知爷爷的年龄为（岁），妙妙的年龄为（岁） 故爷爷现在的年龄是岁，妙妙现在的年龄是岁． 14．【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： （1）如果，那么 ； （2）有最小值 ； （3）有最大值 ； 【应用】： （4）的最小值为 ； （5）的最大值为 ． 【答案】（1）0或；（2）1；（2）1；（4）；（5）1012． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的两点间的距离，绝对值，分类思想，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意，或，计算即可． （2）把问题转化为数轴上点与1，2的距离和问题，即可得出点x在1和2之间（包含1和2）时，有最小值， （3）把问题转化为数轴上点与1，2的距离差问题，当时，即点x在2上或右边时，有最大值， （4）把问题转化为数轴上点与1，2，……2024的距离和问题，当时，即点x在1和的中点时，有最大值， （5）根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到距离与x到距离的差的和，由（3）可知：在数轴上，当x在最大数右边（或最大数上）时，代数式有最大值． 【详解】（1）解：， ∴或， 解得或， 故答案为：0或． （2）的意义即数轴上点x与1，2的距离和， 当时，距离和为； 当时，距离和为； 当时，距离和为； 故对于任何有理数，有最小值， 当时，即点x在1和2之间（包含1和2）时，最小值为1． （3）的意义即数轴上点x与1，2的距离差； 当时，； 当时， ； 当时， ； 故对于任何有理数，有最大值， 当时，即点x在2上或右边时，最大值为1． （4）表示数轴上点与1，2，……2024的距离和， 由（2）可知：当时，有最小值； 此时： =； （5）表示x到1的距离与x到2的距离的差、x到3距离与x到4距离的差 …x到2023距离与x到2024距离的差的和， 由（3）可知：当x在最大数右边（或最大数上）时有最大值； 即：时， ． 15．武汉江滩灯光秀是长江沿岸规模最大的夜景工程之一，核心看点可概括为“一条18公里光影走廊、三大主题篇章、四大最佳观赏带”．若灯光秀的“亮灯时刻”由灯光控制器来控制，控制器接收到的信号为“亮灯码”，“亮灯码”是八进制数，控制器通过解码将其转换为4位十进制数，例如“亮灯时刻”是，通过转换得到十进制数1945，则“亮灯时刻”是． (1)①若“亮灯码”是则“亮灯时刻”是_____； ②若“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是_____； (2)第二届长江文化艺术节于2025年9月12日在武汉开幕，开幕式于开始，并且在有无人机表演．若灯光秀与开幕式同步开启，并且在无人机表演时需要更换灯光秀内容，灯光秀需要重启．则灯光秀开启时的“亮灯码”是_____；无人机表演开始时的“亮灯码”是_____； (3)若灯光控制器系统发生故障，“亮灯码”的进制发生了变化，维修工程师进行以下操作；若输入“亮灯码”是．则“亮灯时刻”是；若输入“亮灯码”是，则“亮灯时刻”是，请根据工程师的操作直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)；； (3)9 【分析】本题主要考查了进制转换（八进制转十进制、十进制转八进制、进制转十进制），熟练掌握各种进制转换的方法是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可；②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算后分别得出表示19：40的“亮灯码”，20：25的“亮灯码”即可； （3）先将化为十进制后与2672比较大小后确定可能的值，然后再列式计算并验证即可． 【详解】（1）解：① ， 所以“亮灯时刻”是． ② ， 所以“亮灯时刻”是． （2）解： ， 即灯光秀开启时的“亮灯码”是， ， 即无人机表演开始时的“亮灯码”是， 故答案为：；； （3）解： ， 则的值可能是9， 那么 ， ， 综上，的值是9． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $