广东省广州市2025-2026学年高一下学期期末冲刺数学模拟卷

**基本信息** 覆盖高一数学核心知识，融合校史竞赛（文化传承）、塔高测量（现实应用）、数据传输（科技情境）等素材，通过分层设问发展数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数、百分位数、圆锥侧面积、线面关系|单选夯实基础，多选综合辨析（如统计图表分析）| |填空题|3/15|分层抽样、解三角形、正弦型函数模型|结合地理知识（太阳直射点）考查模型意识| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、统计、概率|校史竞赛统计（数据意识），数据传输概率（逻辑推理），立体几何探究（空间观念）|

2025-2026学年广东省广州市高一下学期期末冲刺数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】． 故选：A． 2．某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第 百分位数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将数据从小到大排序，再按照百分位数的计算规则求解即可. 【详解】首先将个数据从小到大排序为：。 则位置索引，为整数， 排序后第个数据为，第个数据为， 因此第百分位数为. 3．已知圆锥底面半径为2，其母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出母线长，再利用圆锥的侧面积转化为扇形面积即可得到答案． 【详解】易得圆锥的母线长为，底面周长是，所以该圆锥的侧面积为扇形面积， 弧长为，半径为，则侧面积为. 故选：B. 4．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先根据已知求得，再利用运算. 【详解】，故，解得， 则. 故选：A 5．如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】连接， 因为是线段的中点，所以， 则． 因为是线段的中点， 所以． 6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则至少与，中一个平行 D．若，，，则 【答案】C 【分析】利用线面垂直的性质可判断A；举反例可判断BD；利用反证法可判断C. 【详解】对于A：若，，，根据线面垂直的性质可得，而非，故A错误； 对于B： 若，满足条件，，此时在平面内，不满足，故B错误； 对于C：若和、都不平行，即与有公共点，且与有公共点， 若在其中一个平面内，比如，由，，可得，矛盾； 若不在任何一个平面内，由，，可得，同理，也矛盾. 因此至少与、中一个平行，故C正确； 对于D： 当与相交时，也可以在两个平面内分别找到平行于交线的直线， 满足，但此时与不平行，故D错误. 7．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移后所得三角函数为，又因为关于平移后图像关于对称，所以，再根据的取值范围，即可得解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A. 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求出各个事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断事件之间的独立性，最后利用古典概型的概型公式即可. 【详解】偶数有；质数有；标号之和为的有； 标号之和为的有， 样本空间包含的样本点个数为， 由于质数的个数和非质数的个数相同，故利用对称性可知事件包含的样本点个数为 ， 则，，，， 事件：，共种； 事件：；事件：；事件：； 事件：；事件为不可能事件； 则，，，， ，， 故，，，，，， 则事件独立、事件独立、事件独立、事件不独立、 事件不独立、事件不独立， 则在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 10．在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】ACD 【分析】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、中位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 由于，所以中位数位于区间内， 同时可知考生成绩的中位数为：，故C正确； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：ACD． 11．如图，正三棱台的上下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（     ） A．过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B．直径为的球可以整体放入该三棱台内 C．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 D．棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动 【答案】ACD 【分析】将正三棱台补形成正三棱锥，分析可知正三棱台内最大的球即为正四面体的内切球.对于A：根据对称性，可得，即可得截面三角形周长的最小值；对于B：比较半径大小即可判断；对于C：分析可知平面经过该棱台内最大的球的球心，即可得截面半径为，即可得截面面积；对于D：可得棱长为2的正四面体的外接球半径为，即可得结果. 【详解】将正三棱台补形成正三棱锥， 因为，，可得，可知三棱锥为正四面体， 设的中点为，正三角形、的中心分别为、，正四面体的中心为， 则，，，， 因为，且， 即，解得，则， 可知正四面体的内切球半径，外接球半径， 且，可知正三棱台内最大的球即为正四面体的内切球. 对于选项A：设过的平面与的交点为，的中点为， 可知点在线段内，，则， 则三角形的周长为， 所以过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为，故A正确； 对于选项B：因为，所以直径为的球不可以整体放入该三棱台内，故B错误； 对于选项C：因为，可知为线段的中点， 由对称性可知：平面经过正四面体的中心， 即平面经过该棱台内最大的球的球心，则平面截该棱台内最大的球所得的截面半径为， 所以所求截面面积为，故C正确； 对于选项D：设棱长为2的正四面体的外接球半径为， 则，即，即， 所以棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某企业三个分厂生产同一种电子产品共200件，用分层抽样方法从三个分厂共抽取10件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂2件，来自第三分厂3件，则第一分厂生产的电子产品件数为________． 【答案】 100 【详解】设第一分厂生产的电子产品件数为件，则有，故， 即第一分厂生产的电子产品件数为件. 13．万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米． 【答案】 【分析】在中，由正弦定理求出的值，再在中，由正切函数的定义求解即可. 【详解】在中，，，， 所以， 由正弦定理可得， 即，解得， 在中，，， 由， 得 14．如图所示，在两年的时间跨度内，太阳直射点的纬度数（单位：度）与时间（单位：天）近似满足如下的正弦型函数关系式：（），其中，，为常数，，，. 由地理学的知识，的变化周期为一年（按365天计算）.的最大值为北回归线的纬度数（取23.5），此时对应夏至日；的最小值为南回归线的纬度数（取），此时对应冬至日.当时，对应春分或秋分.给出下列结论：①；②；③已知2026年夏至日为6月21日，若对应于2026年7月21日，则；④已知越南古都顺化的纬度数约为16.5，据此可以估算：顺化一年中约有三个月的时间正午日影朝南（即太阳直射点纬度数大于该地）.其中所有正确结论的序号是______.（注：，忽略闰年对日期计算的影响.） 【答案】②④ 【分析】根据题意求出正弦型函数解析式，并结合性质求解即可. 【详解】①正弦型函数，，则最大值为，最小值为， 所以，①错误. ②最小正周期为，所以，②正确. ③由题意知，夏至日对应，此时， 即，则，，解得，， 又，所以，③错误. ④. 令，则， 所以，， 解得，，区间长度约为91天，约3个月，④正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，平分且交于点，且，求的周长． 【答案】(1)证明：因为， 由正弦定理得，即， 得，所以，即 (2) 【详解】（1）略. （2）因为，，所以的面积为， 又因为平分且交于点，所以，又， 所以， 所以，即，，因为，根据余弦定理得 ，故，所以周长. 16．（15分）如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； 【答案】(1)异面，理由为： 如图所示，取中点，连接，，则， 因为四边形为平行四边形，所以，， 又因为，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，且，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，且， 又，且平面， 所以与异面. (2)因为，是的中点，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 【分析】（1）根据平行传递性证明线线平行，进而证明直线异面； （2）根据面面垂直证明线面垂直，即可证明异面直线垂直. 【详解】（1）略 （2）略 17．（15分）为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． 【答案】(1) (2)70.5分 (3)平均数和方差分别为71.5和232.65 【分析】（1）由频率分布直方图求每组的频率，结合频率和为1运算求解即可； （2）根据题意用该区间的中点值作代表，结合加权平均数公式运算求解； （3）根据题意结合分层抽样的平均数和方差公式运算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：， 则，解得． （2）估计竞赛成绩的平均数为分． （3）设男生成绩的平均数，方差，女生成绩的平均数，方差，总体成绩的平均数为，方差为， 则， 可得 ， 所以总体成绩的平均数和方差分别为71.5和232.65． 18．（17分）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求证：平面平面 (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点（包括端点），设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 【答案】(1)∵点在底面上的射影是与的交点， ∴平面， ∵平面，∴， ∵四边形为菱形，∴， ∵， 平面，∴平面， ∵平面， ∴平面平面 (2) (3) 【分析】（1）由题可得平面，故，根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明； （2）根据题干数据结合即可求解； （3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，可得，由，可得结论. 【详解】（1）略 （2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形， ，， ，， ， 设点到平面的距离为， 由得， 即，解得， 故点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成的角为， ，平面，平面， 平面， 到平面的距离即为到平面的距离. 过作垂线平面交于点，则， 此时， 由（2）易知，， ， 则的边上的高为， ，而， ，的取值范围为. 19．（17分）数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）接收到的两个数字中有且只有一个正确，包括数字0接收正确数字1错误和数字0接收错误数字1正确两种情况，利用事件独立性和互斥性计算即可求解； （2）（i）事件表示接收到的数据中含两个0，包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误，②数学0错误，数字1都错误，事件表示接收到的数据中含三个0，只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误，然后建立等式，将代入等式中消元，然后根据范围确定取值：（ii）理解事件包含以下三种情况：①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确，③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，分别求出概率再相加，利用换元的思想，令，利用二次函数的性质研究最值即可求解，注意需要确定的范围. 【详解】（1）记“接收到的两个数字中有且只有一个正确”为事件A，由已知， 事件包含两种情况： 第一种数字0接收正确数字1错误，概率为：， 第二种数字0接收错误数字1正确，概率为：， 所以； （2）（i）由发送的数据为“011“可知，事件表示接收到的数据中含两个0， 包含两种情况：①数字0接收正确，数字1有一个正确一个错误， ②数学0错误，数字1都错误， 所以， 事件表示接收到的数据中含三个0， 只有1种情况：数字0接收正确数字1都错误， 所以， 由得： ， 化简得， 又，上式可化为： 或（舍去）； （ⅱ）当发送的数据为“0101”，事件包含以下三种情况： ①两个1传输都正确，且两个0传输都正确，其概率为， ②有且只有一个1传输正确，且有且只有一个0传输正确， 其概率为， ③两个1传输都错误，且两个0传输都错误，其概率为 ， ， 令，则， 又且，， ， ， 记， 由二次函数的性质可知，在单调递减， 得最大值为， 即的最大值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年广东省广州市高一下学期期末冲刺数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知为虚数单位，则复数（    ） A． B． C． D． 2．某市交通部门在早高峰时段，记录了辆私家车通过某路口的排队等待时间(单位：秒)：12，18，22，45，38，30，32，35，28，15，48，50，25，20，40，则该组数据的第 百分位数为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆锥底面半径为2，其母线与底面所成角为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量与的夹角为，，则（    ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，在平行四边形中，分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则至少与，中一个平行 D．若，，，则 7．将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4，5，6的6个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球，设事件表示“第一次摸到球的标号是偶数”，事件表示“第二次摸到球的标号是质数”，事件表示“两次摸到球的标号之和是9”，事件表示“两次摸到球的标号之和是10”.在上述四个事件中任选两个事件，它们相互独立的概率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则（    ） A． B． C． D． 10．在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试.为了解学生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图、若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（   ） A． B．估计考生成绩的众数为72 C．估计考生成绩的中位数为71 D．估计该市考生成绩的平均分为70.6 11．如图，正三棱台的上下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点为上一点，且，则下列结论中正确的有（     ） A．过的平面截该三棱台所得截面三角形周长的最小值为 B．直径为的球可以整体放入该三棱台内 C．过点，，的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 D．棱长为2的正四面体可以在该棱台内随意转动 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．某企业三个分厂生产同一种电子产品共200件，用分层抽样方法从三个分厂共抽取10件此产品做使用寿命的测试，其中来自第二分厂2件，来自第三分厂3件，则第一分厂生产的电子产品件数为________． 13．万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎山上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为_________米． 14．如图所示，在两年的时间跨度内，太阳直射点的纬度数（单位：度）与时间（单位：天）近似满足如下的正弦型函数关系式：（），其中，，为常数，，，. 由地理学的知识，的变化周期为一年（按365天计算）.的最大值为北回归线的纬度数（取23.5），此时对应夏至日；的最小值为南回归线的纬度数（取），此时对应冬至日.当时，对应春分或秋分.给出下列结论：①；②；③已知2026年夏至日为6月21日，若对应于2026年7月21日，则；④已知越南古都顺化的纬度数约为16.5，据此可以估算：顺化一年中约有三个月的时间正午日影朝南（即太阳直射点纬度数大于该地）.其中所有正确结论的序号是______.（注：，忽略闰年对日期计算的影响.） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，平分且交于点，且，求的周长． 16．（15分）如图，在多面体中，平面平面，在平行四边形和四边形中，，点，分别是，的中点，，，． (1)判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)证明：； 17．（15分）为传承“五四”精神，弘扬学校文化，增强同学们对校史校情的了解与认同，激发爱校荣校情怀，某高校在“五四”青年节举办“传承‘五四’薪火竞答青春华章”校史知识竞赛．共有100名学生参加校史知识竞赛，其中男生60名，女生40名，成绩均在内，将60名男生的竞赛成绩进行统计，分成六组，分别为，，，，，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)根据频率分布直方图，估计这60名男生校史知识竞赛成绩的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）； (3)已知这60名男生成绩的方差为214.75，40名女生成绩的平均数和方差分别为73和255.75，估计这100名学生成绩的平均数和方差． 18．（17分）已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形． (1)求证：平面平面 (2)求点到平面的距离； (3)若点是线段上的动点（包括端点），设直线与平面所成的角为，求的取值范围． 19．（17分）数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字.发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为；发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为.假设每次数字的传输相互独立，且. (1)若发送的数据为“01”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率； (2)用X表示收到的数字串，将X中数字0的个数记为，如“001”，则，对应的概率记为. （ⅰ）若发送的数据为：“011”，且，求； （ⅱ）若发送的数据为“0101”，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $