精品解析：安徽合肥市长丰北部区域联盟2025-2026学年第二学期高一年级期末考试数学试题

北部区域联盟2025—2026学年度第二学期高一年级期末考试 数 学 试 题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡规定的位置. 2. 选择题部分请使用2B铅笔在答题卡对应题号位置规范填涂，非选择题部分使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答. 3. 所有试题答案必须写在答题卡指定答题区域内，超出答题区域书写答案无效，在草稿纸、试卷上答题一律无效. 4. 答题不得使用涂改液、修正带等涂改工具，保持卷面整洁、字迹清楚. 5. 考试结束后，考生须将试卷和答题卡一并上交，不得带出考场. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部是（ ） A. 2 B. C. 2＋ D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的定义，可得答案. 【详解】由题意，可得复数的实部是， 故选：A. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】结合中位数定义可得. 【详解】将已知数据从小到大排序为，则中位数为. 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量基本定理可得. 【详解】由题意可知平面向量不共线，且， 则. 4. 水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 5. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为和的夹角为60°，且， 所以. 6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量夹角公式求出，再结合投影向量公式求解即可. 【详解】由向量的夹角公式得， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 7. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得四边形为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形为矩形，即可求解. 【详解】取的中点，连接, 则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面， ,,且平面,平面,则, 故四边形为矩形， 故四边形的面积为， 故选：B 8. 设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动．点是函数图象上的动点，且满足 其中为坐标原点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求得，再由三角函数的性质即可得答案. 【详解】因为点在的图象上运动， 所以，即， 由题意可得， 所以，消去，得， 即， 所以的值域是． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出判断A；求出判断B；求出判断C；求得判断D. 【详解】对于A，的共轭复数为，故A正确； 对于B，的模为，故B错误 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 10. 已知为边上一点，满足，则下列选项正确的有（ ） A. 当时， B. 无论取何值，均有 C. 当时， D. 当过三角形内心时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，，则，则可判断ABC；根据角平分线性质可得，可判断D. 【详解】 根据题意，， 所以， 当时，则， 所以，A错误； 无论取何值，，即，B正确； 当时，， 则 ，C正确； 当过三角形内心时，即为角的角平均分线， 则，即，D错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为线段上一个动点，则（    ） A. 存在点，使 B. 存在点，使平面平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点G，使得平面截正方体所得截面为正六边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A项，取点为与的交点，可证明即可判断A项；对于B项，若平面平面，即可得出且，而，故G应在延长线上，即可判断B项；对于C项，G移动但G到面的距离始终不变即可判断C项；对于D项，为靠近C的四等分点时画出截面图，由图可可判断D项. 【详解】对于A项，存在点为与的交点，使得，理由如下： 若点为与的交点，则三点共线， 由正方体性质得，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为为中点，所以，所以，即，A正确； 对于B项，如图，连接，H为侧面中心， 则平面与平面和平面分别交于线， 若存在G点使平面平面，则，又，则四边形为平行四边形， 即，，此时G应在延长线上，B错误； 对于C项，易知平面，随着G移动但G到平面的距离始终不变，即为， 故是定值，C正确； 对于D项，如图，当为靠近C的四等分点时， 平面截正方体的截面为正六边形，D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】，. 故答案为：. 13. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥侧面展开图及弧长公式求圆锥底面周长，进而确定底面半径，再应用圆锥表面积的求法求解. 【详解】由弧长公式知，圆锥底面周长为， 若圆锥的底面半径为，则，即， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 14. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量运算法则得，又，，所以，又因为三点共线，所以.所以利用常值代换，结合基本不等式即可求解. 【详解】 由是边上靠近的三等分点，可得，， 又，，所以， 又因为三点共线，所以. 所以. 因为，所以，当且仅当时取等号， 即时取等号， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知与同向，，． （1）求的坐标； （2）若，求及的值． 【答案】（1） ；（2） ，，． 【解析】 【分析】（1）设，运用数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，列出方程，解得即可得到； （2）运用向量的数量积的坐标表示和数乘运算，即可得到． 【详解】解：（1）设， ， 由于，则， 解得，，， 符合同向， 则； （2）， 即有；，，． 16. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 【答案】（1）表面积，体积 （2）， （3）当时，. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可； （2）根据相似计算即可得出关系式； （3）先写出全面积公式再结合二次函数得出最大值. 【小问1详解】 由，，得， 所以，， 故 ， ； 【小问2详解】 由相似可得，得，； 【小问3详解】 记圆柱得全面积为S， ， ∵，∴当时，. 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第百分位数； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1计算； （2）求出频率分布直方图中频率对应的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，样本中数据落在的频率为； 【小问2详解】 设第百分位数为  ，易得  位于和之间， 则有，解得. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， （1）求证：平面； （2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； （3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为底面为矩形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面. （2）证明：取中点，连接，， 因为是中点，所以，， 又因为矩形，所以，，且是中点， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理即可证明平面； （2）易证四边形是平行四边形，进而根据线面平行的判断定理证明即可； （3）由（1）可知平面平面，进而可知是直线与平面所成角，在三角形中求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可知平面， 因为平面， 所以平面平面， 又平面平面， 因为为等边三角形， 所以，平面， 所以平面， 连接，所以是直线与平面所成角， 在矩形中，， 在正中，， 所以， 因为， 因此， 即直线与平面所成角为 【点睛】 19. 已知一组样本量为10的样本数据如下： 37 39 45 48 49 51 52 55 61 63 （1）求这组数据的平均数和标准差； （2）求这组数据的20%和75%分位数； （3）已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 【答案】（1）50，8； （2）42，55 （3）49，50 【解析】 【分析】（1）由平均数和标准差计算公式即可求解； （2）由百分位数的计算公式即可求解； （3）由即可求解； 【小问1详解】 平均数， 方差， 所以标准差为8 【小问2详解】 ，所以20%分位数为， ，所以分位数是第8个数，为55， 【小问3详解】 第一组：， 第二组：， 所以， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北部区域联盟2025—2026学年度第二学期高一年级期末考试 数 学 试 题 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在试卷和答题卡规定的位置. 2. 选择题部分请使用2B铅笔在答题卡对应题号位置规范填涂，非选择题部分使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答. 3. 所有试题答案必须写在答题卡指定答题区域内，超出答题区域书写答案无效，在草稿纸、试卷上答题一律无效. 4. 答题不得使用涂改液、修正带等涂改工具，保持卷面整洁、字迹清楚. 5. 考试结束后，考生须将试卷和答题卡一并上交，不得带出考场. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部是（ ） A. 2 B. C. 2＋ D. 0 2. 样本数据的中位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 3. 已知平面向量，不共线，且，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知和的夹角为60°，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6. 已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设向量，定义一种向量运算，已知向量，，点在的图象上运动．点是函数图象上的动点，且满足 其中为坐标原点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为边上一点，满足，则下列选项正确的有（ ） A. 当时， B. 无论取何值，均有 C. 当时， D. 当过三角形内心时， 11. 如图，在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，为线段上一个动点，则（    ） A. 存在点，使 B. 存在点，使平面平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 存在点G，使得平面截正方体所得截面为正六边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则__________. 13. 已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______． 14. 已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则的最小值是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知与同向，，． （1）求的坐标； （2）若，求及的值． 16. 如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积； （2）试用x表示圆柱的高h； （3）当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？ 17. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第百分位数； 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，， （1）求证：平面； （2）若，分别为棱，的中点，求证：∥平面； （3）设为等边三角形，求直线与平面所成角的大小． 19. 已知一组样本量为10的样本数据如下： 37 39 45 48 49 51 52 55 61 63 （1）求这组数据的平均数和标准差； （2）求这组数据的20%和75%分位数； （3）已知另一组样本数据的样本量为5，平均数为47，方差为16，求这两组样本组成的总体的平均数和方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $