2.5　指数与对数的运算——2027年高中数学一轮复习浙江版课件

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与对数的运算”核心考点，依据高考评价体系梳理指数幂定义性质、对数概念运算及综合应用，通过真题分析明确指数式化简、对数换底公式等高频考点权重，归纳求值、互化、实际应用等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题演练+考点突破+素养提升”策略，如以放射性核素衰减问题为例，用指数模型培养数学思维，科赫曲线分形维数题强化对数运算能力，结合微思考辨析易错点，助力学生掌握答题技巧，教师可精准指导高考冲刺。

第5节　指数与对数的运算 强基础•固本增分 知识梳理 1.指数及指数运算 根式 定义 如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(其中n>1,n∈N*),记为,n称为根指数,a称为根底数 性质 当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数 指数幂 指数 定义 指数是幂运算an(a≠0)中的一个参数,a为底数,n为指数,指数位于底数的右上角 有理 指数 幂的 分类 正整数指数幂an=a·a·a·…·a(n∈N*) 零指数幂a0=1(a≠0) 负整数指数幂a-n=(a≠0,n∈N*) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 有理指 数幂运 算性质 aman=am+n(a>0,m,n∈Q) (am)n=amn(a>0,m,n∈Q) (ab)m=ambm(a>0,b>0,m∈Q) 根式与有理 指数幂的关系 (a>0,m,n∈N*,n>1) 微思考　等式()n=a以及=a一定成立吗? 提示 等式()n=a在有意义的前提下是一定成立的; 但=a不一定成立,事实上有 2.对数及对数运算 概念 如果　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=　　　,其中a叫做对数的　　　　,N叫做　　　　  性质 底数的限制a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化:ax=N⇔　　　　  负数和零没有对数 1的对数是　　　:loga1=　　　  底数的对数是　　　:logaa=　　　  常用对数:lg N=log10N　自然对数ln N=logeN(e=2.718 28…) 对数恒等式:=　 　  ax=N logaN 底数 真数 x=logaN 0 0 1 1 N 运算性质 loga(M·N)=　　　　 　  a>0,且a≠1,M>0,N>0 loga=　　　　　　 　  logaMn=　　 　　(n∈R)  换底公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) logaM+logaN logaM-logaN nlogaM [教材知识深化] 换底公式的变形:logab=,logab·logbc·logcd=logad,lobn=logab (a,b,c,am均大于0且不等于1,n∈R). 连线高考 1.已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　) A.25 B.5 C. D. C 解析 由log83=b,得8b=3,即23b=3,则2a-3b=,所以4a-3b=,故选C. 2.生物丰富度指数d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则(　　) A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C. D. D 解析 由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2, 即ln =ln ,则,结合选项可知故选D. 研考点•精准突破 考点一　指数幂的运算 例1 求值与化简: (1)+(+(-6)0+; 解 原式=+(+1+|2-|=+1+-2=2+ 考点一 考点二 (2)(a>0,b>0); 解 原式= (3)(a>0). 解 原式=(÷(=a÷a=1. 考点一 考点二 [对点训练1]化简求值: (1)(a>0); 解 原式= (2)已知=2,求()(a+a-1-2). 解 ∵()2=a+a-1-2=4,∴a+a-1=6, ∴()2=()2+4=8. >0, =2,原式=()(a-1+a-1)(a+a-1-2)=40 考点一 考点二 考点二　对数的运算(多考向探究预测) 考向1　对数式的化简与计算 例2(1)(多选题)(2025·浙江湖州模拟)已知a=log25,b=log3,则( 　　) A.ab>0 B.4a·9b=1 C.>1 D.log612= BCD 考点一 考点二 解析 因为a=log25>log21=0,b=log3<log31=0,所以ab<0,故A错误; 由a=log25,b=log3,得2a=5,3b=,则4a·9b=(2a)2·(3b)2=52=1,故B正确; 因为=log52-lo3=log52+log53=log56>1,故C正确; 因为=log612,故D正确.故选BCD. 考点一 考点二 (2)计算(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2+(log52+log252)×log85的值等于　　　　. 　 解析 原式=lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2+(log52+lo2)×lo5 =lg 5+lg 2+(log52+log52)log25 =1+(log52)log25 =1+log52×log25= 考点一 考点二 (3)已知logab+4logba=4,则的值为　　　　. 解析 因为logab+4logba=4,所以logab+=4,可得(logab)2-4logab+4=0, 即(logab-2)2=0,所以logab=2,即a2=b,所以 考点一 考点二 [对点训练2](1)若2lg(x-2y)=lg x+lg y,则的值为(　　) A.4 B.1或 C.1或4 D. D 解析 ∵2lg(x-2y)=lg(x-2y)2=lg x+lg y=lg(xy), ∴(x-2y)2=xy,即x2-5xy+4y2=0,()2-5()+4=0, ∴(-4)·(-1)=0,解得=1或=4, 又∵x-2y>0,且x>0,y>0, >2,=4,即,故选D. 考点一 考点二 (2)计算:. 解 原式== = 考点一 考点二 考向2　指数式与对数式的综合运算 例3(1)已知2m=9n=6,则的值等于(　　) A. B.3 C.1 D.2 C 解析 因为2m=9n=6,则m=log26,n=log96, 所以=log62,=log69, 因此=log62+log69=log6(2)=1, 故选C. 考点一 考点二 (2)(2026·八省联考,12)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　　. e 解析 由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8, 即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23, ∴aln 2=2, 又a>0且a≠1,两边取对数,得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e. 考点一 考点二 变式探究1 本例(1)中,若将条件“2m=9n=6”改为“2m=9n=”,则的值等于　　　　. -1 解析 因为2m=9n=,所以m=log2,n=log9, 于是=lo2,=lo9, 因此=lo2+lo9=lo18=-1. 考点一 考点二 变式探究2 本例(1)中,若将条件“2m=9n=6”改为“2m=9n=18p”,则mn与4p2的大小关系为 　　　 　. mn>4p2 解析 不妨设2m=9n=18p=t(t>0),则m=log2t,n=log9t,p=log18t, 因此=log218·log918 =(1+log29)(1+log92)=2+log29+log92>2+2=4, 所以>4,即mn>4p2. 考点一 考点二 考向3　指数与对数运算的实际应用 例4(1)放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减,设初始质量为M0,质量M与时间t(单位:天)的函数关系为M=M0·((其中h为常数),若锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)为50天,那么质量为M0的锶89经过30天衰减后质量大约变为(　　)(参考数据20.6≈1.516) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.68M0 D.0.66M0 D 解析 由题意,锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天,即M0=M0·(,则h=50,所以质量为M0的锶89经过30天衰减后,质量大约为M0·(=M0·()0.6=M0M00.66M0,故选D. 考点一 考点二 (2)“学如逆水行舟,不进则退,心似平原跑马,易放难收”出自《增广贤文》,是勉励人们专心学习的.假设初始值为1,如果每天的“进步率”都是1%,那么一年后是(1+1%)365=1.01365;如果每天的“退步率”都是1%,那么一年后是(1-1%)365=0.99365.一年后“进步者”是“退步者”的=()365≈1 481倍.照此计算,“进步者”是“退步者”的2倍大约经过的天数是(　　) (参考数据:lg 1.01≈0.004 32,lg 0.99≈-0.004 36,lg 2≈0.301 0) A.33 B.35 C.37 D.39 B 解析 假设经过n天,“进步者”是“退步者”的2倍,列方程得()n=2, 解得n=lo2=35, 即经过约35天,“进步者”是“退步者”的2倍.故选B. 考点一 考点二 [对点训练3]科赫曲线是几何中最简单的分形.科赫曲线的产生方式如下:如图,将一条线段三等分后,以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“ ”,将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线,同理可得3级科赫曲线……在分形中,一个图形通常由N个与它的上一级图形相似,且相似比为r的部分组成. 若rD=,则称D为该图形的分形维数, 那么科赫曲线的分形维数是(　　) A.log23 B.log32 C.1 D.2log32 D 考点一 考点二 解析 由题意科赫曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的, 因为()D=,即3D=4,则D=log34=2log32,所以分形维数是D=2log32.故选D. 考点一 考点二 $