精品解析：重庆市第一中学校2025－2026学年初一下学期期末定时作业数学试题

2026年重庆一中初2028届初一下期期末定时作业 数学试题 （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，对各选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A、是有限小数，属于有理数，不符合要求； B、是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； C、，是整数，属于有理数，不符合要求； D、是整数，属于有理数，不符合要求． 2. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选：A 3. 下列事件中，是确定事件的是（ ） A. 钝角比直角大 B. 买足球彩票中奖 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 打开电视，刚好有喜欢的节目开播 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查确定事件的概念，确定事件是一定发生或一定不发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件，只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，指一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件指一定条件下可能发生也可能不发生的事件． 对于选项A，钝角的定义是大于小于的角，直角等于，因此钝角一定比直角大，是必然事件，属于确定事件； 对于选项B，买足球彩票中奖，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是确定事件； 对于选项C，抛掷质地均匀的硬币正面朝上，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是确定事件； 对于选项D，打开电视，刚好有喜欢的节目开播，可能发生也可能不发生，属于随机事件，不是确定事件． 4. 如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的余角相等得出，利用证明，得出，，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴. 5. 如图所示，重庆一中生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，下列说法正确的是（ ） A. 时间是因变量 B. 该植物的光合作用强度一直大于呼吸作用的强度 C. 该植物的光合作用强度在6时至18时逐渐增强 D. 在6时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象的识别，理解横纵坐标的含义及曲线交点的意义是解题的关键． 【详解】对于A，时间是自变量，活动强度是因变量，故A错误； 对于B，观察图象可知，在0∼6时和18∼24时，曲线Ⅰ在曲线Ⅱ下方，即光合作用强度小于呼吸作用强度，故B错误； 对于C，观察曲线Ⅰ可知，在6时至18时，光合作用强度先增强后减弱再增强再减弱，故C错误； 对于D，观察图象可知，在6时，曲线Ⅰ与曲线Ⅱ相交，说明此时光合作用和呼吸作用强度一样大，故D正确． 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 2和3之间 C. 1和2之间 D. 0和1之间 【答案】D 【解析】 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴原式的值在和之间． 7. 如图所示，在中，，，线段的中垂线与交于点E，与交于点D，，则的周长是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用线段垂直平分线的性质得到，进而求出的度数，结合的度数求出，在中利用角性质求出的长，从而得到的长，最后在中求出和的长即可求解． 【详解】解：连接， 是线段的垂直平分线 ， ，，   ． 在中，，，  ，  ． 在中，，，  ，  ． 在中，， ， ，   ∴， 的周长． 8. 现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（ ） 第1行 第2行 3 第3行 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先整理出原数组的统一规律，再根据排列规律计算目标数是原数组的第几个数，代入公式化简即可得到结果。 【详解】解：整理已知数组可得，这组数的第个数为，观察排列规律可知，第行有个数， ∵前6行的数的总个数为 ， ∴第7行左起第3个数是原数组的第个数， 将代入得：． 9. 如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算不同路径长度，比较大小即可． 【详解】解：∵为中点，， ∴； 分三种情况讨论： 将底面与右侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； 将底面与后侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； 将前侧面与右侧面展开在同一平面， 此时直角三角形两直角边分别为和， 路径长为； ∵， 故最短路程为． 10. 如图1所示，在等边中，和的角平分线交于点，点从点出发，沿路线运动，到达点时停止运动，点刚开始以每秒1个单位长度的速度匀速运动，秒后变成以每秒个单位长度的速度匀速运动，图2是点出发秒后，的面积与时间之间的关系图象．点出发的同时，有一点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段匀速运动，到达点时停止运动．下列说法正确的有（ ）个 ①， ②当时，或 ③若是直角三角形，则或 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质和角平分线的性质得出，根据图2得出当时，点与点重合，，结合勾股定理和三角形的面积公式求出等边三角形的边长是，结合图2中的面积与时间之间的关系图象，分析得出点秒后变成以每秒个单位长度的速度匀速运动，结合三角形的面积公式分别求出和的值，即可判断①的正确性；通过分类讨论，求出点在上和点在上，满足时的值，即可判断②的正确性；通过分类讨论，求出和时的值，即可判断③的正确性． 【详解】解：在等边中，和的角平分线交于点， 故，， 延长与交于点，连接，如图： ∵是等边三角形，平分， 故，， ∴， 即， 故， ∴， 即、、是全等三角形， 故． 由图2可得，当时，点与点重合，此时， 设，则， 故； ，， ∴， 即， ∴， 解得（负值已舍）， 即． 故， 解得． 由图2可得，当时，，则， 此时， 即， 解得， ∴， 解得； 即秒后变成以每秒个单位长度的速度匀速运动． 由图2可得，当时，点与点重合，即时，点以每秒1个单位长度的速度匀速运动；时，点以每秒个单位长度的速度匀速运动； 故， 解得， 即秒后变成以每秒个单位长度的速度匀速运动． 由图2可得，当时，点以每秒个单位长度的速度匀速运动，当时，点与点重合， 从点到点，点的运动时间为（秒）， 故；故①说法正确． 当时，即， 解得， 当时，点在上；当时，点在上； 点在上时： 时，点以每秒1个单位长度的速度匀速运动，此时，； 时，此时，； 时，点以每秒个单位长度的速度匀速运动，此时，； 若满足，则，即， 解得； 点在上时，，即， 解得； 即或时，；故②说法正确． ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段匀速运动，到达点时停止运动， 故时，，则， 当时，是直角三角形，此时，， 则， ∴； 当时，， 即， 解得； 故当时，是直角三角形； 当时，是直角三角形，此时，， 则， ∴； 当时，， 即， 解得（舍去）； 当时，， 即， 解得； 故当时，是直角三角形； 综上，当或时，是直角三角形；故③说法正确． ①②③都正确，故正确说法的有个． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：=___． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行计算． 【详解】解：∵23=8， ∴， 故答案为：2． 12. 在“石头剪刀布”的游戏中，当你出“布”时，对手与你打平的概率为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：对手可以出的手势共有石头、剪刀、布种等可能的结果． 当你出“布”时，要打平需要对手也出“布”，符合条件的结果只有种． 根据概率公式，可得对手与你打平的概率为． 13. 重庆某中学食堂的收费标准见下表（素菜和米饭不计费）： 荤菜/（份） … 餐费/（元） … 观察表中数据可知，餐费（元）与荤菜（份）之间的关系式为______． 【答案】（为正整数） 【解析】 【分析】观察表格数据可知餐费与荤菜份数满足一次函数关系，利用待定系数法即可求出对应关系式，结合实际意义确定自变量取值范围即可． 【详解】解：观察表格数据可知荤菜份数每增加1，餐费增加2，则餐费与荤菜份数满足一次函数关系， 设与的关系式为， 将，和，代入解析式，得， 解得， 故与的关系式为； 因为表示荤菜的份数， 所以为正整数， 因此餐费（元）与荤菜（份）之间的关系式为（为正整数）． 14. 已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】## 【解析】 【分析】先由点在数轴上的位置确定字母及式子符号，再由二次根式性质化简，然后去绝对值，最后合并同类项即可． 【详解】解：由在数轴上的位置可得，且， ， 则． 15. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，进而得到的整数部分和小数部分，再将，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故， ∴； 即， 故的整数部分，小数部分， 将，代入，得 ， ， ， ． 16. 如图，为的中线，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】延长至点，使，连接，利用“边角边”证明与全等，从而得到，，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ． ，． ， ． ． ， ． 在中，由勾股定理， ． 17. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知的表达式变形，推导出，再将所求多项式拆分降次，代入简化计算． 【详解】解： ， ， 两边平方得， 展开整理得， 对所求多项式变形： 代入，得 代入，得 18. 在中，平分，且，点E，F，M分别是，，上的动点，连接，，，若，，当取得最小值时，的长为______，且此时的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作交的延长线于点，利用三角形面积公式求得，再求得，，作于点，交于点，作于点，当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，证明，求得，在中，由勾股定理列式计算即可求解；在下方作交的延长线于点，分别过点和作的垂线，垂足分别为点和，求得，推出，据此计算即可求解． 【详解】解：作交的延长线于点， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点，交于点，作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴当点与点重合，点与点重合时，取得最小值， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得，即的长为； 在下方作交的延长线于点，分别过点和作的垂线，垂足分别为点和， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴同理，即的最小值为． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题16分，20题8分，26题12分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、零指数幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解； （3）根据二次根式的混合运算法则和绝对值的性质进行计算即可求解； （4）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， ， ． 【小问4详解】 解：， ， ， ． 20. 如图，在等腰直角中，，平分交于点D，平分交于点E，请完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点D作的垂线与交于点F，连接（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：． 证明：∵ ∴（①）． 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴② ∴ ∵平分 ∴ ∵平分，，， ∴③ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴（④） ∴． 【答案】（1） （2）等边对等角；；；． 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据等边对等角、垂线的定义、角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理作答即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 21. 先化简，再求值： ，其中、满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据整式的混合运算法则化简原式，再根据二次根式的非负性、偶次方的非负性求出、的值，最后代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， 即， ， ∵，， 故，， ∴，； 将，代入原式，得． 22. 在中，，，，点D为中点，点E和点F分别在与上，连接，将沿所在直线折叠，使得点B恰好和点D重合，连接交于点O． （1）求线段的长； （2）求的周长． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）设，由折叠性质得．根据勾股定理，得，再建立方程求解即可； （2）利用勾股定理先求解，由折叠得，再利用勾股定理可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：点是的中点，，， ， 设，则， 由折叠性质得， 在中，根据勾股定理，得：，即：， 解得， 的长． 【小问2详解】 解：在中，， 由折叠得， 在中，， ∴的周长为． 23. 在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，中途出现故障后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B地，乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原速原路返回，结果两人同时到达B地．如图是甲、乙两人与A地的距离与行驶时间之间的关系图象． （1）图中______，______； （2）在整个行驶过程中，当乙距离B地9千米时，求甲与A地的距离． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）整个过程中乙的速度不变，那么乙从B地到A地和从A地到B地的时间相同，再根据整个过程中乙花费了可得a的值；可求出修车前后甲行驶的时间相同，则修车前后甲行驶的路程相同，据此可得b的值； （2）求出甲和乙的速度，再分两种情况：乙从B地到A地的途中和乙从A地到B地的途中，根据乙与B地的距离求出乙行驶的时间，再根据路程等于速度乘以时间可得答案． 【小问1详解】 解：∵乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原速原路返回， ∴乙从B地到A地和从A地到B地的时间相同， 又∵整个过程中乙花费了， ∴乙从B地到A地花费了， ∴； ∵，且， ∴修车前后甲行驶的时间相同， ∴修车前后甲行驶的路程相同， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，乙的速度为，甲的速度为， 当乙从B地到A地的途中时，则行驶的时间为， ∴此时甲与A地的距离为； 当乙从A地到B地的途中时，则行驶的时间为， ∴此时甲与A地的距离为； 综上所述，甲与A地的距离为或． 24. 如图，，D为右侧一点、E为上方一点，连接，，，．已知． （1）如图1，、交于点F，若，，，，，求的长； （2）如图2，若，，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明：如图，取点E关于的对称点，连接， ∴，，， ∵，， ∴，， 即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 可知D、C、在一条直线上， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据30度角的性质得到，根据勾股定理得到，根据，得到，根据三角形外角的性质得到，进而求出，根据等角对等边得到，即可求出的长； （2）取点E关于的对称点，连接，可知，，，进而证明，得到，，由可知D、C、在一条直线上，则，即可得到． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴，​ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 25. 如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） （1）若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度； （2）在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 【答案】（1）40海里 （2）海里 【解析】 【分析】（1）设海里，则海里，由勾股定理可得，则，解方程即可得到答案； （2）求出可疑渔船行驶4小时时的路程，以及到达点D的时间，进而求出巡逻舰的速度，从而求出巡逻舰的路程，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：设海里，则海里， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ∴，即， 解得， ∴海里， ∴海里， 答：的长度为40海里； 【小问2详解】 解：∵可疑渔船的逃窜速度为8海里/时， ∴当可疑渔船行驶4小时时，行驶的路程为海里，且其到达点D的时间为小时， ∴巡逻舰的速度为海里/小时， 设可疑渔船行驶4小时时的位置在点E，巡逻舰的位置在点F， 在中，海里，海里， ∴海里， 答：此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离约为海里． 26. 如图，已知，延长至点D，使，E为上一点，连接，，G为上一点，连接交于点F，作于点H． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2、若，，求证：； （3）如图3，将线段绕点G顺时针旋转至，点K恰好落在上，P为直线上一动点，分别作点P关于直线，的对称点，，连接，若，，当面积最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）过作交的延长线于，如图所示， ∴, 在和中， ∴ ∴, ∵， ∴设，则， ∵， ∴ ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴, ∴, 又∵, ∴ 在和中， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先证出为线段的垂直平分线，得到，进而可证得，再用三角形外角的性质计算即可； （2）过交的延长线于，证得，得到,再根据已知条件证得,得到,进而可得，再证明即可； （3）根据对称的性质可得,，，进而可得，可得，当面积最小时，即最小，过作，过作于,当点在点的位置时，面积最小，,分别计算面积再算比值即可． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ∵点P关于直线，的对称点为，， ∵,，， ∵， ∴ ∴ 过作于，过作于,如图所示， 当点在点的位置时，面积最小， ∴， ∵线段绕点G顺时针旋转至， ∴ ∴, ∵,， ∴, ∴， ∴， 设，则， 设，同理可得， ∵， ∴， ∵, ∴， 解得， ∴，， ∴, ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，图形的旋转，三角形内角和的性质以及外角的性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆一中初2028届初一下期期末定时作业 数学试题 （满分150分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列选项中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. 2 B. C. D. 3. 下列事件中，是确定事件的是（ ） A. 钝角比直角大 B. 买足球彩票中奖 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上 D. 打开电视，刚好有喜欢的节目开播 4. 如图所示，在和中，，点，，在同一条直线上，且，于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，重庆一中生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，下列说法正确的是（ ） A. 时间是因变量 B. 该植物的光合作用强度一直大于呼吸作用的强度 C. 该植物的光合作用强度在6时至18时逐渐增强 D. 在6时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 2和3之间 C. 1和2之间 D. 0和1之间 7. 如图所示，在中，，，线段的中垂线与交于点E，与交于点D，，则的周长是（ ） A. B. 3 C. D. 8. 现将一组数，，3，，，，…，，…，按照以下方式进行排列，则第7行左起第3个数字是（ ） 第1行 第2行 3 第3行 … A. B. C. D. 9. 如图所示的长方体中，，，．的中点处有一粒米，一只蚂蚁沿着长方体表面（包括底面）从点处爬到点处去吃米，有无数种走法，其中最短路程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1所示，在等边中，和的角平分线交于点，点从点出发，沿路线运动，到达点时停止运动，点刚开始以每秒1个单位长度的速度匀速运动，秒后变成以每秒个单位长度的速度匀速运动，图2是点出发秒后，的面积与时间之间的关系图象．点出发的同时，有一点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段匀速运动，到达点时停止运动．下列说法正确的有（ ）个 ①， ②当时，或 ③若是直角三角形，则或 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：=___． 12. 在“石头剪刀布”的游戏中，当你出“布”时，对手与你打平的概率为______． 13. 重庆某中学食堂的收费标准见下表（素菜和米饭不计费）： 荤菜/（份） … 餐费/（元） … 观察表中数据可知，餐费（元）与荤菜（份）之间的关系式为______． 14. 已知在数轴上的位置如图所示，化简：______． 15. 已知，分别是的整数部分和小数部分，则______． 16. 如图，为的中线，，，，则______． 17. 已知，则______． 18. 在中，平分，且，点E，F，M分别是，，上的动点，连接，，，若，，当取得最小值时，的长为______，且此时的最小值为______． 三、解答题：（本大题共8个小题，19题16分，20题8分，26题12分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算： （1） （2） （3） （4） 20. 如图，在等腰直角中，，平分交于点D，平分交于点E，请完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点D作的垂线与交于点F，连接（不写作法，只保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：． 证明：∵ ∴（①）． 又∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴② ∴ ∵平分 ∴ ∵平分，，， ∴③ ∴ 又∵ ∴ 在和中 ∴（④） ∴． 21. 先化简，再求值： ，其中、满足． 22. 在中，，，，点D为中点，点E和点F分别在与上，连接，将沿所在直线折叠，使得点B恰好和点D重合，连接交于点O． （1）求线段的长； （2）求的周长． 23. 在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲骑自行车从A地到B地，中途出现故障后停车修理，修好车后以原速继续行驶到B地，乙骑电动车从B地到A地，到达A地后立即按原速原路返回，结果两人同时到达B地．如图是甲、乙两人与A地的距离与行驶时间之间的关系图象． （1）图中______，______； （2）在整个行驶过程中，当乙距离B地9千米时，求甲与A地的距离． 24. 如图，，D为右侧一点、E为上方一点，连接，，，．已知． （1）如图1，、交于点F，若，，，，，求的长； （2）如图2，若，，，求证：． 25. 如图，某海警巡逻舰在A处巡航时，发现位于A处北偏东方向距离为海里的C处有一艘可疑渔船，该渔船正沿向C的正南方向逃窜，D点位于航线上，且恰在C的正南方．巡逻舰立即从A出发，沿正东方向的航线展开追击．已知港口B在A的正东方向，两地相距110海里，B，C两地直线距离为50海里．（参考数据：，，） （1）若巡逻舰恰好在D处追上可疑渔船，求的长度； （2）在（1）的条件下，若可疑渔船的逃窜速度为8海里/时，当可疑渔船行驶4小时时，求此时巡逻舰与可疑渔船的直线距离．（结果精确到十分位） 26. 如图，已知，延长至点D，使，E为上一点，连接，，G为上一点，连接交于点F，作于点H． （1）如图1，若，，，求的度数； （2）如图2、若，，求证：； （3）如图3，将线段绕点G顺时针旋转至，点K恰好落在上，P为直线上一动点，分别作点P关于直线，的对称点，，连接，若，，当面积最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $