重庆市西南七校联考2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 本试卷以文化传承与现实情境为载体，通过梯度化问题设计，考查集合、概率统计、函数导数等知识，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8题40分|集合、概率、函数奇偶性|第4题结合唐宋八大家文化考查排列组合，渗透文化传承| |多项选择|3题18分|回归分析、随机变量、函数性质|第9题综合考查统计与概率核心概念，强化数学思维| |填空|3题15分|条件概率、不等式恒成立、排列组合|第14题以志愿者分配为情境，考查分类计数原理| |解答|5题77分|导数应用、非线性回归、函数奇偶性与不等式、概率模型、导数证明|第16题设计光照时长与株高增长的回归模型，第18题结合羽毛球世锦赛考查比赛概率，体现数学语言表达现实问题；第19题导数证明综合考查逻辑推理，适配高考命题趋势|

高2027届2025-2026学年度第二学期期末考试 数学答案 2 3 5 6 7 9 10 11 C C D D AC BC BCD 2.9 13.a≤-2或_a≥2 14.300 15.【详解】(1)由题意得f(x)=3am2+2bx-(b+2) 因为f(x)在x=一3处取得极大值10， 则得孤础名90解得a-专b-1经，符合题意 所以f(x)=x3+x2-3x+1,f'()=x2+2x-3, 故f3)=×27-9+9+1=10,f'3)=9+6-3=12, 则切线方程为y-10=12(x-3),即12x-y-26=0: (2)令g(x)=fx)-k=0,所以f()=k. g(x)的零点个数等价于fx)的图像与直线y=k的交点个数 令f'(x)=0,解得x=-3或x=1 则x,"(x),f(x)的关系如下表： (-00,-3) -3 (-3,1) (1,+∞) f"(x) 0 0 f() 单调递增 单调递减 2 10 3 单调递增 ……求出单调区间极值（可以不列表格） ①当k>10或k<-3到，g(x)有一个零点： ②当k=-或k=10时，8(x)有两个零点： ③当-子<k<10时，8y)有三个零点. 16.【详解】(1)贴合散点变化规律，选择模型y=a+blnx (2)令u=lnx,则模型化为线性形式y=a+bu 6-yu- 3.620 24-0 0.54 3 y-5.2+6.7+7.8+8.7+94+102-8,0≈1.65 6 a=y-6a=8.00-29×165=8.00-11=-3 所求回归方程：少=-3+201nx 3 (3)把x=14、n14≈2.64代入方程 ≈-3+20× ×2.64=-3+17.6=14.6 3 若每日光照x=14h时，预估花卉株高增长量预估株高增长量为14.6cm。 17.【详解】(1)由f(x)是定义在[-3-a,4上的奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以-3-a+4=0,即a=1. 且f0)=0 所以，当x∈(0,4时，f(x)=ee+x 当x∈[-4,0)时，-x∈(0,4]，则f(-x)=ex+(-x)=e-x-x=-f(x) 所以，当xe[-4,0)时，函数f(x)=-e-x+x -e-x+x,-4≤x<0 则解析式为f(x) 0 ,X=0 ex+x ,0<x≤4 (2)当x∈(0,4]时，函数=e*和y=x在(0,4上都是递增，所以f(x)在(0,4上单调递增： 由奇函数对称性，f(x)在[-4,0)也单调递增： x→0，时fx)→-1：x→0*，时f(x)→1： 结合分段函数图像，即在x=0附近左低右高，因此f(x)在[-4,4]上单调递增。 10分 由f(x)是奇函数，f(x-1)+f(x)>0台f(x-1)>-f(x)=f(-x) 结合定义域和单调性，需满足 -4≤x-1≤4 -4≤-X≤4 x-1>-x 解得<x≤4， 即解集为4刭 18.【详解】设事件A=“甲以23：21的比分获得第一局比赛胜利”， ①甲发球甲赢，甲发球乙赢，乙发球甲赢，甲发球甲赢概率 3、2、1、39 p5×5×2×5125 2 ②甲发球乙赢，乙发球甲赢，甲发球甲赢，甲发球甲赢概率 2 1.3、39 21 55125 则P=+=号×号××号+号x×x号= 2552 125 (2)X的所有可能取值为0,1,2， Prx=0=对- px0对分音 x=2刘-- 则X的分布列为 X 0 1 2 1 5 1 P 12 3 所以期塑为E(X)=1×,5+2×{-13 12 312 (3)采用三局二胜制进行比赛甲获胜的概率f(p)=p2+C2p2(1-p)=p2(3-2p), 采用五局三胜制进行比赛甲获胜的概率： 8(p)=p3+Cp(1-p)+Cp3(1-p)2=p3(6p2-15p+10) 令8(p)-f(p)=3p2(2p3-5p2+4p-1=3p2(p-1)2(2p-1), 因为g(p)>f(p)所以2p-1>0 则p<1 19.【详解】证明：（D)法一：由题f国=本-1+2kx=x(2k-) 令)=2k-本女h(在(0，+o)递增，当()=0时，x1=-1 且有x1∈(0，十o,因此当x∈(0，x1),fx)<0,x∈(x1十o),f()>0, 因此f(闭在(0，x)单调递减，在(，+o∞)单调递增，即有唯一极值点x1=元-1 由f(0)=0,f(x)在(0，x1)递减有f(x)<0,又由f)在(x+∞)递增且 f冷=血(1+月-+k后=m(1+为>0，由零点存在定理有x2∈(03且f0)=0, 即f(x)在(0，+o)有唯一零点 法二： 由题f网=点-1+2k,f"因=+2kf"国=>0 因此f"(x)在(0，+o)递增，又f"(0)=-1+2k<0,x→+，f")>0, 因此3x0∈(0，+o),使得f(x)=0,且当x∈(0，x),f"()<0,xe(xo,+∞)，f"()>0, 即有f(x)在(0，xo)单调递减，f'()在(xo,+o∞)单调递增 又f'(0)=0,因此fxo)<0,又x→+o,f)>0,所以妇1∈(0，+∞) 有f'(x)=0,且当xE(0,x),f'()<0,x∈(x,+∞)，f()>0,即f)在(0，x1)单调递 减，在(x1十∞)单调递增，即f(x)在(0，+∞)有唯一的极值点x1 由f(0)=0,f(x)在(0，x1)单调递减，(x1十∞)单调递增，有f(x1)<0,又x→+o, f(x)>0,因此3x2E(0,十∞)，有f(x)=0,即f(x)在(0，+o有唯一零点 (2)①由)得：名=杀-1.即有2k=因此f国=x[ g)=[f'x1+x-f(x1-x]' =f+刘+f6-刘=+[+-到儿品l -切意版司高司 =.x飞+00-x+)-飞-9+x+1) x1+1l (x1+x+1)(x1-x+1) 2x2 x1+1001+x+10-x+1) 又x∈(0，x1),可知x1-x+1>0,x1+x>0,X1+x+1>0,2x2>0, 因此g(x)>0,因此，9g(x)在(0，x)单调递增。 (2)(i)由(i)中可知，g(x)在(0，x1)单调递增，则g(x1)>g(0), 即有f(2x)-f0)>fx)-fx)=0,又f0)=0,即有f(2x1)0,又fx2)=0, 则有f(2x1)>f(x2): 由f(x)在(x1,十∞)递增，2x1>X1,X2>X1 因此证明2x1>x2 高 2027 届 2025-2026 学年度第二学期期末考试 数学试题 注意事项: 1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 考试结束后，将答题卷交回。 第 I 卷 (选择题 共 58 分) 一、单项选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每个小题给出的四 个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 ，则 () A. B. 0 C. D. 2. 已知随机变量 ,若 ( ) A. 0.7 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2 3. 已知函数 为奇函数,则 ( ) A. 2 B. 1 C. 0 D. -2 4. 唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是:王安石、 曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选四位，于某周末开展他们的散文赏析课， 四位散文家的散文赏析课各安排一节，连排四节.若在来自江西的三位散文家中恰好选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同的排课方法种数是( ) A. 240 B. 360 C. 720 D. 540 5. 使命题“ ”是假命题的一个充分不必要条件是( ) A. B. C. D. 6. 某校对“学生性别和喜欢刷视频是否有关”作了一次调查，得到如下列联表: 不喜欢刷视频 喜欢刷视频 总计 男生 女生 总计 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 附: 若通过计算,可得根据小概率值 的独立性检验,认为学生是否喜欢刷视频与性别有关联，则正整数 的最小值为( ) A. 45 B. 48 C. 49 D. 50 7. 已知 ,且 ,则 的最小值为 ( ) A. 6 B. 4 C. D. 2 8. 函数 与 的图象在 上有 个不同的交点 ,则 ( ) A. 2026 B. 2027 C. 4052 D. 4053 二、多项选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 有选错的得 0 分, 若只有 2 个正确 选项, 每选对一个得 3 分, 若只有 3 个正确选项, 每选对一个得 2 分.) 9. 下列说法中正确的是( ) A. 回归直线 恒过样本点的中心 . B. 两个变量线性相关性越强,则相关系数 就越接近 1 . C. 已知随机变量 则 . D. 某 7 个数的平均数为 4 ，方差为 2 ，现加入一个新数据 4 ，此时这 8 个数的方差不变. 10. 已知 ,且 ，则下列选项正确的是( ) A. B. C. 或 D. . 11. 已知函数 ，则下列结论正确的是( ) A. 的单调减区间是 B. 在定义域内无最小值，无最大值 C. D. 函数 有 2 个零点 第 II 卷 (非选择题 共 92 分) 三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.) 12. 2026 年高考结束后, 甲、乙两位同学慕名来到重庆旅游, 分别准备从解放碑、洪崖洞、 李子坝和磁器口这 4 个著名的旅游景点中随机选择 1 个景点游玩，记事件 “甲和乙至少有一人选择洪崖洞”，事件 “甲和乙选择的景点不同”，则 等于_____. 13. ,若不等式 在 上恒成立,则 的取值范围是_____. 14. 2025 年 11 月, 某中学举行了一年一度的体育运动会, 高二 1 班有 7 名同学参加了志愿者，他们被分配到跳高，跳远，实心球 3 个运动项目点参加服务，7 人中有 5 名前面参加过志愿者工作的，称为“老手”和 2 名前面没有参加过志愿者工作的，称为“新手”，每名同学只能去一个运动项目点服务，且每个运动项目点至少需要 1 名“老手”， 且 2 名“新手”不能分配到同一个运动项目点，且“老手”甲只去跳高项目点服务，则不同的分配方案种数是_____. 四、解答题(本题共5 小题, 共 77 分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.) 15. 已知 在 处取得极大值 10 . (1)求 在点 处的切线方程； (2)若 ，讨论 零点的个数. 16. 为研究光照时长 (单位: ) 与盆栽花卉株高增长量 (单位: ),测得 6 组试验数据, 如下表格: 3 4 5 6 7 8 5.20 6.70 7.80 8.70 9.40 10.20 由散点变化可知 与 非线性变化,现有两个备选拟合模型: ① 指数模型: ，② 对数模型: ，参考统计数据: 令 , 参考数据: 线性回归系数公式: (1)根据散点增长趋势选取合适模型，仅得出结论即可(不用说明理由)； (2)求出 关于 的非线性回归方程； (3)若每日光照 时，预估花卉株高增长量. 17. 已知函数 是定义在 上的奇函数,当 时, . (1)求函数 的解析式； (2)解不等式: . 18. 2025 年 9 月 1 日，羽毛球世锦赛决赛在法国巴黎阿迪达斯体育馆进行，石宇奇 2: 1 战胜泰国选手昆拉武特夺得冠军，这是国羽时隔 10 年重夺世锦赛金牌，这也是石宇奇职业生涯首夺世界单项大赛金牌；现有甲、乙两名羽毛球球运动员进行日常训练比赛. (1)假设每球甲，乙得分相互独立，且甲发球甲得分的概率为 ，乙发球甲得分的概率为 ，发球规则是前一球谁得分下一球就由谁发球，每局比赛谁先到 21 分且至少赢两分谁就获得该局比赛的胜利, 如果到 20: 20 之后谁的比分比另一个的比分多两分谁就获得该局比赛的胜利, 如果直到比分到 29: 29 时, 那么谁先到第 30 分谁就获得该局比赛的胜利, 在第一局比赛中, 已知现在的比分是 20: 20，且下一球是甲发球，求甲以 23:21 的比分获得第一局比赛胜利的概率； (2)假设每局比赛结果相互独立，若第一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为 ， 若第一局甲失败，则下一局甲获胜的概率为 ，已知第一局甲获胜的概率为 ， 在前两局比赛中,用 表示甲获胜的局数,求 的分布列和数学期望; (3)假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 ，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择,若对于甲选手来说, 选择五局三胜制获胜的概率大于选择三局两胜制获胜的概率,求 的取值范围. 19. 已知函数 ,其中 , (1)证明: 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设 ， 分别是 在区间 的极值点和零点； (i) 设 ,证明 在 单调递增; (ii) 证明: . 学科网（北京）股份有限公司 $