微练（十九）函数的零点与方程的解-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数零点与方程解的系统性突破，以概念辨析为基础，通过数形结合、分类讨论等方法构建从基础到综合的解题体系，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1题|零点定义辨析|从定义域、值域到零点概念的生成| |存在性判断|3题|零点存在定理、二分法|函数单调性与区间端点值符号的应用| |个数与比较|2题|数形结合、单调性分析|函数图象交点与零点大小关系推导| |参数与复合|5题|分类讨论、换元法|参数对函数零点影响及复合函数零点转化|

微练(十九)　函数的零点与方程的解 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.关于函数f(x)=,下面说法正确的是(　　) A.f(x)的定义域为(0,+∞) B.f(x)的值域为(0,+∞) C.f(x)的零点为(1,0) D.以上说法都不对 2.函数f(x)=--x+5的零点所在区间是(　　) A.(4,5) B.(3,4) C.(2,3) D.(1,2) 3.设h(x)=2x+log2(x+1)-2,某同学用二分法求方程h(x)=0的近似解(精确度为0.5),列出了对应值表如下: x -0.5 0.125 0.437 5 0.75 2 h(x) -2.29 -0.74 -0.12 0.49 3.58 依据此表格中的数据,得到的方程近似解x0可能是(　　) A.x0=-0.125 B.x0=0.375 C.x0=0.525 D.x0=1.5 4.已知x0是函数f(x)=ln x-的零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 5.已知函数f(x)=2x+x-,g(x)=lg x+x-,h(x)=x3+x-的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 6.函数f(x)=的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7.设a∈R,对任意实数x,记f(x)=min{|x|-2,x2-ax+3a-5}.若f(x)至少有3个零点,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,2] B.[10,+∞) C.(-∞,2]∪[10,+∞) D.(-∞,2)∪(10,+∞) 二、多项选择题 8.已知函数f(x)=ln(x2+2x+m),下列说法正确的是(　　) A.f(x)与函数g(x)=x2+2x+m的单调区间一定相同 B.若f(x)有两个零点,则m的取值范围为(-∞,2) C.f(x)的图象关于直线x=-1对称 D.存在实数m使f(x)的定义域和值域都为R 9.已知函数f(x)=g(x)=-x2+2|x|+3,h(x)=f(g(x))-m,则下列结论中正确的有(　　) A.当m=0时,h(x)有1个零点 B.当0<m<1时,h(x)有4个零点 C.当h(x)有6个不同零点时,实数m的取值范围为[1,ln 3)∪{ln 4} D.当h(x)的零点个数最多时,实数m的取值范围为[ln 3,ln 4] 三、填空题 10.函数f(x)=x3-|3x-2|的零点个数为　　　　.  11.若函数f(x)=log2(x+3)-x的零点x0∈(k,k+1),则整数k的取值为　　　　.  12.记[x]表示不大于x的最大整数,例如[π]=3,[-e]=-3,则方程x2+2[x]-2=0所有解的和为　　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)=x2+ax+,g(x)=ln x. (1)若函数y=g(f(x))在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (2)用max{m,n}表示m,n中的最大值,设函数h(x)=max{f(x),g(x)},x∈(0,+∞),当a≤-2时,求h(x)的图象与x轴的交点个数. 素养提升 14.(多选题)已知函数f(x)=若函数y=f(f(x))恰好有4个不同的零点,则实数t的值可以是(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.2 15.已知f(x)=a|x-b|+c,则对任意非零实数a,b,c,m,n,k,方程mf2(x)+nf(x)+k=0的解集不可能是(　　) A.{2 020} B.{2 019,2 020} C.{1,2,2 018,2 019} D.{1,3,2 018,2 019} 16.定义在R上的函数f(x)=关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0(m>2)有n个不同的实根x1,x2,…,xn,则f(x1+x2+…+xn)=　　　　.  微练(十九)　函数的零点与方程的解 1.D　解析　函数f(x)=需满足x>0,ln x≥0,则x≥1,故f(x)的定义域为[1,+∞),A错误;由于y=ln x在[1,+∞)上单调递增,ln x≥0,故≥0,即f(x)的值域为[0,+∞),B错误;令f(x)=0,即=0,解得x=1,故f(x)的零点为x=1,C错误,ABC都不对,则D正确,故选D. 2.B　解析　函数y=-,y=-x+5在[0,+∞)上都单调递减,则函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,而f(3)=2->0,f(4)=-1<0,所以函数f(x)的零点所在区间是(3,4).故选B. 3.C　解析　由表格数据可知,h(0.437 5)<0,h(0.75)>0,又因为函数h(x)在[0.437 5,0.75]上连续,且函数h(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以函数h(x)在区间[0.437 5,0.75]上存在一个零点.又因为0.75-0.437 5=0.312 5<0.5,所以方程h(x)=0的近似解(精确度为0.5)可以是区间[0.437 5,0.75]上的任意一个数,观察四个选项可知C正确. 4.B　解析　因为函数y=ln x,y=-在(0,+∞)上均为增函数,故函数f(x)在(0,+∞)为增函数,因为f(1)=-2<0,f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3->ln 3-1>0,则f(2)f(3)<0,由函数零点存在定理可得x0∈(2,3),又因为x0∈(k,k+1),k∈Z,故k=2.故选B. 5.B　解析　在同一平面直角坐标系中分别作出函数y=2x,y=lg x,y=x3及y=-x+的图象,如图所示.由图象可知b>c>a.故选B. 6.C　解析　当x≤0时,令x3+8=0,解得x=-2,当x>0时,f=log4+=-1+=-<0,f(4)=log44+4=5>0,f(4)f<0,所以f(x)在上存在零点,又因为f(x)=log4x+x在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上有唯一零点.综上,f(x)的零点个数为2.故选C. 7.B　解析　设g(x)=x2-ax+3a-5,h(x)=|x|-2,由|x|-2=0可得x=±2.要使得函数f(x)至少有3个零点,则函数g(x)至少有一个零点,则Δ=a2-12a+20≥0,解得a≤2或a≥10,函数g(x)的图象的对称轴为直线x=.①当a=2时,g(x)=x2-2x+1,作出函数g(x),h(x)的图象如图①所示:此时函数f(x)只有两个零点,不合乎题意;②当a<2时,设函数g(x)的两个零点分别为x1,x2(x1<x2),要使得函数f(x)至少有3个零点,则x2≤-2,所以解得a∈⌀;③当a=10时,g(x)=x2-10x+25,作出函数g(x),h(x)的图象如图②所示:由图可知,函数f(x)的零点个数为3,合乎题意;④当a>10时,设函数g(x)的两个零点分别为x3,x4(x3<x4),要使得函数f(x)至少有3个零点,则x3≥2,可得解得a>4,此时a>10.综上所述,实数a的取值范围是[10,+∞),故选B. 8.BC　解析　对于A,由f(x)=ln(x2+2x+m),得不等式x2+2x+m>0的解集为f(x)的定义域,而g(x)的定义域为R,因此两者的单调区间不一定相同,A错误;对于B,由f(x)=0,得x2+2x+m=1,f(x)有两个零点,当且仅当方程x2+2x+m-1=0有两个不等的实数根,因此Δ=4-4(m-1)>0,解得m<2,B正确;对于C,f(x)=ln[(x+1)2+m-1],由f(-1+x)=f(-1-x),得f(x)的图象关于直线x=-1对称,C正确;对于D,f(x)的定义域为R,当且仅当Δ'=4-4m<0⇔m>1;f(x)的值域为R,当且仅当4-4m≥0⇔m≤1,因此不存在实数m使f(x)的定义域和值域都为R,D错误.故选BC. 9.BC　解析　A选项,h(x)的零点个数等价于关于x的方程f(g(x))=m的解的个数,令t=g(x),画出f(t),g(x)的图象如下:当m=0时,f(t)=0的解为t=1,令g(x)=1,结合图象可知,有2个解,故m=0时,h(x)有2个零点,A错误;B选项,当0<m<1时,f(t)=m有2个解,设为t1,t2,令|ln t|=1,解得t=或e,不妨设t1∈,t2∈(1,e),其中g(x)=t1∈对应两个解x1,x2,g(x)=t2∈(1,e)对应两个解x3,x4,x1<x3<x4<x2,共四个解,当0<m<1时,h(x)有4个零点,B正确;CD选项,当m≥1时,f(t)=m有3个解,分别为t3,t4,t5,易得t3≤0,0<t4≤,t5≥e,g(x)=t3,g(x)=t4均有2个解,当e≤t5<3或t5=4时,g(x)=t5有2个解,此时f(g(x))=m有6个解,故1=ln e≤m=f(t5)<ln 3或m=f(t5)=ln 4,当h(x)有6个不同零点时,实数m的取值范围是[1,ln 3)∪{ln 4},C正确;g(x)=t5最多有4个解,所以f(g(x))=m最多有8个解,当g(x)=t5有4个解时,则3<t5<4,即ln 3<m=f(t5)<ln 4,即当h(x)的零点个数最多时,m的取值范围为(ln 3,ln 4),D错误.故选BC. 10.2　解析　f(x)=x3-|3x-2|=当x≥时,f(x)=x3-3x+2,则f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,即函数f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,即函数f(x)单调递减,又f(1)=13-3+2=0,所以函数f(x)=x3-3x+2只有一个零点1,当x<时,f(x)=x3+3x-2,则f'(x)=3x2+3>0,故函数f(x)在上单调递增,又f=+3×-2=>0,f(0)=-2<0,所以由函数零点存在定理可知,函数f(x)在上有一个零点,所以函数f(x)=x3-|3x-2|的零点个数为2. 11.-3或2　解析　由题意得f(x)的定义域为x∈(-3,+∞),令log2(x+3)-x=0,则log2(x+3)=x,可得函数f(x)的零点为函数y=log2(x+3)的图象与y=x的图象交点的横坐标,如图,可知交点有两个,其中一个交点的横坐标x0满足x0∈(-3,-2).而函数f(x)的零点x0∈(k,k+1),解得k=-3,而f(2)=log25-2>0,f(3)=log26-3<0,则f(2)f(3)<0,由函数零点存在定理得存在x1∈(2,3)作为f(x)零点,因为该零点满足x0∈(k,k+1),且k为整数,所以k=2,综上,k=-3或2. 12.--2　解析　由已知有[x]≤x<[x]+1,即x-1<[x]≤x,则由x2+2[x]-2=0,可得x2+2[x]-2>x2+2(x-1)-2,即x2+2x-4<0,解得-1-<x<-1+.同理,有x2+2x-2≥x2+2[x]-2=0,解得x≤-1-,或x≥-1+,故-1-<x≤-1-,或-1+≤x<-1+,因此[x]∈{-4,-3,0,1}.当[x]=-4时,有x2=10,解得x=-,满足题意;当[x]=-3时,有x2=8,解得x=-2,满足题意;当[x]=0时,有x2=2,不符合题意;当[x]=1时,有x2=0,不符合题意.综上,方程x2+2[x]-2=0所有解的和为--2. 13.解　(1)函数g(x)=ln x在(0,+∞)上是增函数,若g(f(x))=ln在(1,+∞)上单调递增,则f(x)=x2+ax+在(1,+∞)上单调递增,且f(1)≥0,于是解得a≥-,所以实数a的取值范围是; (2)h(x)的图象与x轴的交点个数,即h(x)的零点个数,当x>1时,h(x)≥g(x)=ln x>0,因此h(x)在(1,+∞)上无零点.当x=1时,f(1)=1+a+<0,g(1)=0,所以h(1)=g(1)=0,所以x=1为函数h(x)的一个零点,再讨论h(x)在(0,1)上的零点个数,当x∈(0,1)时,g(x)<0,所以只需讨论f(x)在(0,1)上的零点个数.对于f(x),f(0)=,f(1)=+a,f(x)图象的对称轴为x=-,Δ=a2-1>0,当a≤-2时,-≥1,所以f(x)在(0,1]上单调递减,显然f(1)<0,f(0)>0,则存在唯一的x0∈(0,1),有f(x0)=h(x0)=0,因此h(x)有2个零点.综上,当a≤-2时,h(x)的图象与x轴的交点个数为2. 14.BC　解析　由题意可知,当x≤0时,f(x)在(-∞,0]上单调递减,则f(x)≥f(0)=t;当x>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,则f(x)>2ln 1-1=-1,如图所示.易知直线y=a与f(x)的图象至多有2个交点,若函数y=f(f(x))恰好有4个不同的零点,令u=f(x),则y=f(u)有2个零点,可得当u>0时,2ln(u+1)-1=0,解得u=-1>0,当u<0时,u2-2u+t=0有解,可得可得f(x)=-1和f(x)=1-(t≤0)均有2个不同的实数根,即y=f(x)与y=-1,y=1-(t≤0)的图象均有2个交点.因为当x≤0时,f(x)≥t,当x>0时,f(x)>-1,所以解得-3<t≤0.综上所述,实数t的取值范围为(-3,0],故选BC. 15.D　解析　因为f(x)=a|x-b|+c,f(2b-x)=a|b-x|+c=f(x),所以f(x)关于直线x=b对称.令方程mf2(x)+nf(x)+k=0的解为f1(x),f2(x).则必有f1(x)=y1=a|x-b|+c,f2(x)=y2=a|x-b|+c.那么从图象上看,y=y1,y=y2是一条平行于x轴的直线,它们与f(x)有交点,由f(x)的对称性知,方程y1=a|x-b|+c的两个解x1,x2关于直线x=b对称,即x1+x2=2b,同理方程y2=a|x-b|+c的两个解x3,x4也要关于直线x=b对称,即得到x3+x4=2b,若方程有4个解,则必然满足x1+x2=x3+x4.而在D中,{1,3,2 018,2 019}找不到这样的组合使得对称轴一致,也就是说无论怎么分组,都无法使得其中两个的和等于另外两个的和.所以D不正确.故选D. 16.　解析　由题意,关于x的方程f2(x)-mf(x)+m-1=0(m>2),即(f(x)-1)[f(x)-(m-1)]=0,解得:f(x)=1或f(x)=m-1>1,作出函数f(x)=的大致图象,如图所示,当f(x)=1时,有三个根,其中一个根为2,另两个根关于直线x=2对称;当f(x)=m-1>1时,有两个根,这两个根也关于直线x=2对称.所以原方程一共有5个根,可得f(x1+x2+…+x5)=f(10)=. 学科网（北京）股份有限公司 $