2027届高考一轮复习4.4.2 对数函数的图象和性质

**基本信息** 聚焦对数函数定义域、值域等八大知识点，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三级分层设计，实现从概念理解到逻辑推理的递进，培养数学抽象与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|定义域、图像识别等单一知识点|选择题直接考查定义，如定义域求解（1-7题）| |综合应用|单调性、比较大小等复合问题|填空题结合二次函数求值域（14-17题）| |拓展提升|反函数、充要条件等综合考点|解答题涉及参数讨论（11、20题）|

4.4.2 对数函数的图象和性质 知识点一 求对数函数的定义域 1．函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 知识点二 求对数函数的值域 8．下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 9．函数（）的值域为（   ） A． B． C． D． 10．已知，函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的值域为，其中且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 13．若函数（且）的最大值为3，则（ ） A． B． C．2 D．3 14．已知函数，，则函数值域为________． 15．已知且，且函数过点，则函数，的值域为________. 16．函数的值域是_____. 17．函数，的最小值为_________． 18．“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 20．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 知识点三 对数函数的图像 21．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 22．函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 23．若，则与在同一坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 24．已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 25．若函数且的图象如图，其中a，b为常数，则函数的图象大致是（   ）    A．    B．   B． C．   D．   26．已知函数（且）与函数（且）的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 知识点四 对数函数图像恒过定点 27．函数（且）的图象过定点，若正数，，满足，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 28．已知且，若函数的图像经过定点，函数的图像恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．函数（且）的图像过定点（   ） A．（2，3） B．（2，1） C．（2，0） D．（1，0） 30．若函数（，）的图象恒过点，则实数（    ） A．1 B．2 C． D． 31．函数（，且）的图象恒过定点，点在幂函数的图象上，则（   ） A． B． C．3 D．9 知识点五 对数函数单调性 32．函数的单调递减区间（    ） A． B． C． D． 33．下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 34．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 35．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 36．下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 37．下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 38．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 39．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 40．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 41．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 知识点六 对数函数单调性应用（解不等式） 42．若（且，且），则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 43．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A． B． C． D． 44．已知 若 则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 46．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 知识点七 对数函数中的比较大小 47．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 48．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 49．已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 50．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 51．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 52．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 53．已知幂函数，在上单调递增．若，，，则，，大小关系是（     ） A． B． C． D． 54．已知函数，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 55．设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 知识点八 反函数 56．若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 57．若函数是且的反函数，则函数图象必过定点（    ） A． B． C． D． 58．若函数的反函数的图象过点，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 59．函数的反函数是（    ） A． B． C． D． 60．函数的反函数是（   ） A． B． C． D． 61．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 62．已知函数的图象过点，则的反函数的图象过点（   ） A． B． C． D． 参考答案 1．B 【分析】根据对数函数真数恒大于0的性质，列不等式求解即可得到函数定义域. 【详解】对于对数函数（且），其真数必须满足, 因此要使有意义，需满足真数大于0，即 ，解得， 故函数的定义域为 2．D 【分析】由对数函数定义域结合根号下非负的条件即可求解. 【详解】由题意：，解得；又且，即， 所以函数的定义域为． 3．A 【分析】根据函数表达式中根式、分式、对数的定义域要求列不等式组，求解不等式组得到函数定义域． 【详解】由题意得解得， 所以的定义域为． 故选A． 4．D 【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 即函数的定义域为， 故选：D. 5．D 【详解】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 6．D 【详解】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 7．B 【详解】由题意可得，解得， 故函数的定义域为. 8．B 【分析】确定各函数的值域然后判断. 【详解】的值域是，的值域是R，的值域是，的值域是， 故选：B. 9．B 【分析】应用换元法及对数函数的性质，令，从而有，结合二次函数的性质求值域. 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 故选：B 10．C 【分析】分段求出函数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，， 当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因为，所以在上为增函数， 所以. 综上，的值域为. 故选：C. 11．A 【分析】分别计算分段函数在每段上的值域，再取并集，根据并集为即可求出范围. 【详解】因在上单调递增，故， 若，则在上单调递减， 因，故， 此时不满足值域为； 若，则在上单调递增， 因，故， 若值域为，则，即， 综上，实数a的取值范围是. 故选：A 12．A 【分析】求出函数定义域，根据对数运算，再由函数单调性求值域. 【详解】由，解得， 则， 则为增函数，所以． 13．B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数求出的值域，再分、讨论即可. 【详解】由，得，则的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递减，且当，， 其值域为， 而函数在上单调递增， 因此函数的值域为， 当时，函数在上单调递减，值域为， 无最大值，不符合题意； 当时，函数在上单调递增， 当时，，解得，符合题意， 所以. 故选：B 14． 【分析】分别讨论两段函数在各自定义域内的值域，然后取并集. 【详解】由题意可知：， 所以当时，在定义域内单调递减，在取到最小值，所以. 当时，，所以，函数在定义域内单调递增，故. 取并集，所以. 15． 【分析】根据函数过点，求出的解析式，进而求得的解析式，并根据对数的运算性质及对函数的单调性求得函数，的值域. 【详解】由题可知，，所以，所以. 所以. 因为是增函数，所以是增函数. 所以当时，. 故函数，的值域为. 故答案为：. 16． 【分析】先分析真数的取值范围，再确定对数函数的值域即可； 【详解】因为函数，则， 所以， 即函数的值域是. 故答案为：. 17． 【分析】利用换元法结合对数运算、对数函数性质、二次函数性质求值即可. 【详解】设，则. . 函数是开口向上的二次函数，对称轴为. 所以. 故答案为：. 18．A 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数的图象与轴有交点， 所以，则或， “”是“或”的充分不必要条件. 19．C 【详解】函数在上具有相同的单调性， 所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增， 所以，解得，故选C. 20．C 【分析】由题意可得函数的值域包含，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由题意，函数的值域包含， 当时，函数为，值域为，包含，符合题意； 当时，由，解得. 综上所述，实数a的取值范围为. 故选：C 21．D 【分析】分析函数的奇偶性与函数值的正负，使用排除法求解. 【详解】令函数，定义域为， ，故是奇函数， 其图象关于原点对称，排除选项、， 当时，，排除选项， 所以函数的图象大致为选项. 22．B 【分析】先通过幂函数得出的值，再结合对数函数的平移规律与单调性，即可确定的图象特征. 【详解】由题意得函数满足，即，可得. 因为函数是偶函数，图象关于轴对称， 而函数的图象是由向左平移1个单位得到的， 因此图象关于直线对称， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，，图象过原点， 综上可得：函数的图象如图所示，故B正确. 23．C 【分析】结合排除法，根据指数函数与对数函数的图象判断． 【详解】因为，所以， 所以是减函数，且时，，是增函数， 排除选项BD，又的定义域为，故排除选项A，只有选项C满足． 24．C 【分析】通过图象的单调性判断出，再通过时的函数值小于e判断出，最后结合指数函数图象的性质比较与的大小，对于D，取特值即可证明有可能成立. 【详解】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 25．A 【分析】观察图像判断底数，再结合特殊值求解. 【详解】观察的图像可知， 则也应当是单调递增的，排除掉选项C，D； 代入，，，可得； 则，结合图像判断A正确. 26．D 【分析】根据函数图象的特征分析即可. 【详解】 过点作轴的垂线，交于， 可得：， 过点作轴的垂线，交于， 可得：，解得， 由图象知：， 所以：. 故选：D 27．B 【分析】根据对数函数性质求出定点确定、的值，再将式子变形，最后利用乘1法结合基本不等式求最值. 【详解】对于对数函数 ， 令，解得 ， 此时，因此函数过定点， 得 ，由条件 可得： ，即 ， 由 ，代入得： 利用1的代换结合基本不等式： 当且仅当成立时，等号成立， 结合 ，得 ，满足正数条件， 所以 . 所以当时，取最小值，最小值为. 28．B 【分析】利用指数函数、对数函数图象恒过定点问题求出定点坐标即可. 【详解】依题意，当，即时，恒有，因此点， 当时，恒有，因此点，所以. 故选：B. 29．C 【分析】令，代入计算可求定点坐标. 【详解】令，得， 所以函数（且）的图像过定点（2，0）. 故选：C. 30．C 【分析】根据求出的值. 【详解】由题意得，，则，解得． 故选：C 31．C 【分析】由真数等于，求出定点的坐标，设，将点的坐标代入函数的解析式，求出的值，可得出函数的解析式，由此可计算出的值. 【详解】令，得，当时，， 所以点的坐标为， 由于函数为幂函数，设， 将点的坐标代入函数的解析式，得，则， ，因此，. 故选：C. 32．D 【分析】先将绝对值函数转为分段函数形式，结合对数函数的单调性即可判断在和上的单调性. 【详解】解：由题意可得， 因为当，则对数函数在上单调递减， 所以当时，单调性与对数函数的一致，则单调递减区间为； 当时，的单调性与对数函数相反，即在上单调递增， 综上，函数的单调递减区间为. 33．C 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 34．B 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 35．D 【详解】对于A, 在单调递增，故A错误， 对于B, ,则，故，因此在不是单调递减，B错误， 对于C,由于函数在单调递减，则在单调递增，C错误， 对于D,由于均在单调递减，故在单调递减，D正确. 36．B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可. 【详解】对于A：在上单调递减，故A错误； 对于B：的定义域为，又， 所以为偶函数，当时，所以在上单调递增，故B正确； 对于C：为非奇非偶函数，故C错误； 对于D：因为在上单调递增，所以在上单调递减，故D错误. 故选：B 37．A 【分析】逐项利用函数的性质判断单调性即可. 【详解】A.，在区间上随的增大而减小，故函数在此区间上单调递减； B.，函数对称轴为，即在区间上函数先减后增； C.，由指数函数性质可得：底数，函数在区间上单调递增； D.，由对数函数性质可得：底数，函数在区间上单调递增. 故选：A 38．B 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 39．B 【分析】先求函数定义域，根据复合函数单调性分析判断即可. 【详解】令，解得，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递减， 且在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 40．D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 41．A 【分析】应用复合函数单调性结合对数函数单调性列式计算求解参数. 【详解】∵在上单调递减，∴在上单调递增，∴. 42．D 【详解】因为，所以；，所以. 由，因为，， 所以. 综上可得. 故选项D是错误的. 43．D 【分析】探讨函数的奇偶性和单调性，再借助性质求解不等式即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以是偶函数， 因为函数，在上单调递增， 因此函数在上单调递增， 若，则，得，解得或， 所以的取值范围为. 44．D 【分析】根据可得则是定义在的偶函数，且在单调递减，则等价于，建立不等式组即可求解. 【详解】可知的定义域为，关于原点对称，且 ， 则是定义在的偶函数， ， 在单调递减，函数为增函数， 在单调递减， 由函数为偶函数可得，等价于， ，解得. 45．A 【详解】因为，且对于对数函数在时单调递增， 所以原不等式等价为， 由，等价为，解得或； 由，即，解得， 综上得，所以原不等式的解集为. 46．C 【分析】利用、在上的单调性，且求不等式的解集. 【详解】由，即且， 、在上分别单调递减、单调递增，且， 当时，，当时，， 由在上能成立，则，故原不等式的解集为. 47．D 【分析】先利用对数运算将化为，结合对数函数单调性得，再判断，可知最小，最终得到． 【详解】，， 因为，所以， 即， 又， 所以，即． 48．D 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 49．D 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 50．B 【详解】因为， 因为函数在上单调递增，所以，即. 又， 所以. 51．B 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】指数函数为增函数，且，所以，即. 对数函数在定义域内为减函数，且，所以，即. 因为，所以. 综上，. 52．D 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 53．A 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则，对数函数、指数函数单调性及已知比较大小. 【详解】 ，， 而，，因此， 又幂函数在上单调递增，则， 所以大小关系是. 54．C 【分析】先化简，再应用对数函数单调性及复合函数单调性规则得出单调性即可判断. 【详解】函数， 因为是减函数，是增函数，所以是减函数， 又因为，所以，故，即. 55．D 【详解】由，得，即， 所以的大小关系为. 56．C 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数， 则，所以. 57．D 【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为函数是且的反函数， 所以且， 令， 因为， 所以函数图象必过定点. 故选：D 58．D 【分析】先求出的反函数，将点代入反函数的解析式求出，进而确定的解析式，即可求出. 【详解】函数的反函数是. 已知反函数的图象过点，则有，解得， 因此原函数为，所以. 故选：D 59．C 【分析】由反函数的定义求解即可. 【详解】由题意令，解得. 故选：C. 60．B 【分析】求得原函数的值域，再用表示，写出反函数即可. 【详解】因为，所以函数的值域为， 由，所以，得， 所以， 所以函数的反函数为. 故选：B. 61．A 【分析】根据反函数的定义可得出函数的解析式，代值计算可得的值. 【详解】由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知， 函数是函数的反函数，所以，即， 故选：A. 62．A 【分析】已知函数的图象过点可推出过点，再根据反函数的性质即可求出. 【详解】函数的图象过点，，即， 则的图象过点， 根据反函数的性质可知的反函数的图象过点. 故选：A. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $