2027届高考数学一轮复习----3第三节　成对数据的统计分析

**基本信息** 聚焦成对数据统计分析，以题载法构建“概念理解-原理应用-实际建模”逻辑链，强化数据观念与模型思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|13题|相关系数判断（r值与相关性）、回归方程求解（样本点中心、最小二乘法）、残差分析、独立性检验（χ²计算）|从散点图观察（概念生成）→回归方程推导（原理）→实际预测与检验（应用）| |素养提升|2题|非线性回归转化（指数、对数模型线性化）、模型拟合效果比较（决定系数R²）|深化模型思想，衔接复杂数据建模与决策分析|

微练(七十五)　成对数据的统计分析 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.已知10个成对数据(x,y)的散点图如图所示,并对x,y进行线性回归分析.若在此图中去掉点P后,再次对x,y进行线性回归分析,则下列说法正确的是(　　) A.相关系数r变大 B.变量x与y的线性相关程度变低 C.相关系数r变小 D.变量x与y呈负相关 2.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两个变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m,如下表: 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现A,B两个变量有更强的线性相关性?(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.根据如表样本数据: x 2 3 4 5 6 y 4 2.5 -0.5 -2 -3 得到的经验回归方程为=x+则(　　) A.>0,>0 B.>0,<0 C.<0,>0 D.<0,<0 4.已知由一组样本数据确定的经验回归方程为=-2x+8,且=3.发现有两对数据(1.7,1)与(4.3,3)误差较大,去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为=-1.8x+,则=(　　) A.2 B.1.6 C.7.4 D.0.8 5.近年来,我国云计算市场规模持续增长.某科技公司云计算市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y=c10tx拟合,设z=lg y,2021年至2025年的数据统计如表所示: 年份 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 年份代码x 1 2 3 4 5 云计算市 场规模y 7 20 71 200 510 z=lg y 0.85 1.3 1.85 2.3 2.7 若根据上表得到经验回归方程=0.5x+lg c,则该科技公司2028年云计算市场规模约为(　　) A.103.8 B.104.3 C.104.8 D.105.3 6.对于数据组(xi,yi)(i=1,2,…,n),如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是,那么将yi-称为对应点(xi,yi)的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价,将该商品按事先拟定的价格进行试销,得到如表所示的数据: 单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8 销量y/件 84 83 78 m 根据表中的数据,得到销量y(单位:件)与单价x(单位:元)之间的经验回归方程为=-16x+a,据计算,样本点(8.4,83)处的残差为1.4,则m=(　　) A.45 B.55 C.75 D.85 二、多项选择题 7.(2026·长沙模拟)6个数据(x,y)构成的散点图如图所示,采用一元线性回归模型建立经验回归方程,若在6个数据中去掉E(5,6)后,下列说法正确的是(　　) A.解释变量x与响应变量y的相关性变强 B.样本相关系数r变大 C.残差平方和变小 D.决定系数R2变小 8.(2026·长春模拟)暑假结束后,为了解假期中学生锻炼身体情况,学生处对所有在校学生做问卷调查,并随机抽取了180人的调查问卷,其中男生比女生少20人,并将调查结果绘制成如图所示的等高堆积条形图.在被调查者中,下列说法正确的是(　　) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多 B.男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多8 C.经常锻炼者中男生的频率小于不经常锻炼者中男生的频率的2倍 D.根据小概率值α=0.01的独立性检验,可以认为假期中学生是否经常锻炼与性别有关联 三、填空题 9.(2026·青岛模拟)已知某种商品的广告费支出x(单位:万元)与销售额y(单位:万元)之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 50 60 70 根据上表可得经验回归方程为=x+,其中=7,据此估计,当广告费支出为10万元时,销售额为　　　　万元.  10.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位:克)与脉搏率f(单位:心跳次数/分钟)的对应数据(Wi,fi)(i=1,2,…,8),根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f=cWk(c,k为参数).令xi=ln Wi,yi=ln fi,计算得=8,=5,=214.由最小二乘法得经验回归方程为=x+7.4,则k的值为　　　　;为判断拟合效果,通过经验回归方程求得预测值(i=1,2,…,8),若残差平方和(yi-)2≈0.28,则决定系数R2≈　　　　.  11.为研究某新药的疗效,给100名患者服用此药,跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 设H0:服用此药的效果与患者的性别无关,χ2≈　　　　(小数点后保留3位有效数字),从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关,这种判断出错的概率不大于　　　　.  四、解答题 12.(2026·甘肃模拟)已知某高中高一年级共有1 200名学生,高二年级共有1 100名学生,高三年级共有1 000名学生. (1)对高一、高二、高三年级按比例用分层随机抽样的方法,从全校抽取99名学生参加活动,则高一、高二、高三年级分别抽取多少名学生? (2)从全校抽取容量为500的有放回简单随机样本,得到如下数学成绩与学生性别的不完整列联表,请补全列联表. 单位:人 性别 数学成绩 合计 不优秀 优秀 男 260 300 女 30 合计 500 (3)依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,分析(2)中的抽样数据,能否据此推断数学成绩与学生性别有关联? 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 13.小李准备在某商场租一间商铺开服装店,为了解市场行情,在该商场调查了20家服装店,统计得到了它们的面积x(单位:m2)和日均客流量y(单位:百人)的数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),并计算得xi=2 400,yi=210,(xi-)2=42 000,(xi-)(yi-)=6 300. (1)求y关于x的经验回归方程; (2)已知服装店每天的经济效益W=k+mx(k>0,m>0),该商场现有60~150 m2的商铺出租,根据(1)的结果进行预测,要使单位面积的经济效益Z最高,小李应该租多大面积的商铺? 附:经验回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为,=-. 素养提升 14.(多选题)某地新开了一条夜市街,每晚平均客流量为2万人,每晚最多能接纳的客流量为10万人,主办公司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果.通过调研,公司发现另一处同等规模的夜市街投入的广告费x(单位:万元)与每晚增加的客流量y(单位:千人)存在如下关系: x/万元 1 2 3 4 5 6 y/千人 5 6 8 9 12 20 现用曲线C:=+×2x拟合变量x与y的相关关系,并利用一元线性回归模型求参数,(精确到0.01),以所求经验回归方程C为预测依据,则(　　) 参考数据:=10, 附:一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式:,=-. A.=5.82 B.曲线C经过点(log221,10) C.广告费每增加1万元,每晚客流量平均增加3 000人 D.若广告费超过9万元,则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力 15.某企业拟对某产品进行科技升级,根据市场调研与模拟,得到科技升级投入m(万元)与科技升级直接收益y(万元)的数据统计如表所示. 序号i 1 2 3 4 5 6 7 mi 2 3 4 6 8 10 13 yi 13 22 31 42 50 56 58 根据表格中的数据,建立了y与m的两个回归模型,模型①:=4.1m+11.8;模型②:=21.3-14.4. (1)根据下列表格中的数据,比较模型①,②的相关指数的大小,并选择拟合精度更高、更可靠的模型; 回归模型 模型① 模型② 回归方程 =4.1m+11.8 =21.3-14.4 (yi-)2 182.4 79.2 (2)根据(1)中选择的模型,预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益. 附:刻画模型拟合效果的决定系数越大,模型的拟合效果越好. 微练(七十五)　成对数据的统计分析 1.A　解析　去掉点P后,散点图中点的分布更接近一条直线,因此变量x与y的线性相关程度变强,故B项错误;由散点图,点的分布从左下角到右上角,故变量x与y呈正相关,故D项错误;因为变量x与y呈正相关,且相关性变强,所以相关系数r变大,故A正确,C错误.故选A. 2.D　解析　r的绝对值越大,m越小,线性相关性越强.故选D. 3.B　解析　由表中的数据可得,变量y随着x的增大而减小,则<0,==4,==0.2,又经验回归方程=x+经过样本点中心(4,0.2),可得>0.故选B. 4.C　解析　根据=3可知=-2×3+8=2,因此经验回归方程必过(3,2),易知去掉(1.7,1)与(4.3,3)的两组数据的平均值为(3,2),则剩余数据均值不变,因此新求得经验回归方程=-1.8x+也过(3,2),即可得2=-1.8×3+,解得=7.4.故选C. 5.B　解析　由题表知,==3,==1.8,将=3,=1.8代入回归方程=0.5x+lg c,可得1.8=0.5×3+lg c,即lg c=1.8-0.5×3=0.3,所以z关于x的回归方程为=0.5x+0.3,2028年时即当x=8时,=0.5×8+0.3=4.3=lg y,此时y=104.3.故选B. 6.C　解析　由条件知当x2=8.4时,=83-1.4=81.6,代入=-16x+a,解得a=81.6+16×8.4=216,于是=-16x+216,又=8.5,所以=80,即=80,解得m=75. 7.AC　解析　去掉E(5,6)后,解释变量x与响应变量y的相关性变强,故A正确;但由于散点的分布是从左上到右下,故变量x,y负相关,所以相关系数r变小,残差平方和变小,决定系数R2变大,故C正确,B,D错误. 8.BCD　解析　设男生人数为x,则女生人数为x+20,由题得x+x+20=180,解得x=80,即在被调查者中,男生、女生人数分别为80,100,可得到如下2×2列联表. 单位:人 性别 锻炼情况 合计 经常锻炼 不经常锻炼 男 48 32 80 女 40 60 100 合计 88 92 180 对于A,由表可知,A显然错误;对于B,男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多48-40=8,B正确;对于C,在经常锻炼者中男生的频率为≈0.545 5,在不经常锻炼者中男生的频率为≈0.347 8,≈1.6,C正确;对于D,零假设为H0:假期中学生是否经常锻炼与性别无关联,则χ2=≈7.115>6.635=x0.01,根据小概率值α=0.01的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为假期中学生是否经常锻炼与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.01,D正确.故选BCD. 9.85　解析　由题表可知,==5,==50,得样本点的中心为(5,50),代入经验回归方程=7x+,得=50-7×5=15.所以经验回归方程为=7x+15,将x=10代入,可得=85. 10.-0.3　0.98　解析　f=cWk两边取对数可得ln f=ln c+kln W,因为xi=ln Wi,yi=ln fi,经验回归直线=x+7.4必过样本点的中心(,),所以5=8+7.4,解得=-0.3,所以k=-0.3,R2==≈1-=0.98. 11.4.882　0.05　解析　由公式计算得χ2=≈4.882>3.841=x0.05,根据小概率值α=0.05的独立性检验,认为服用此药的效果与患者的性别有关,判断出错的概率不大于0.05. 12.解　(1)99×=36,99×=33,99×=30,故高一、高二、高三年级分别抽取学生36名、33名、30名. (2) 单位:人 性别 数学成绩 合计 不优秀 优秀 男 260 40 300 女 170 30 200 合计 430 70 500 (3)零假设为H0:数学成绩与学生性别无关.χ2==<1<6.635.故依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为数学成绩与学生性别无关. 13.解　(1)由已知可得=　xi=120,=　yi=10.5,==0.15,=-=10.5-0.15×120=-7.5,所以经验回归方程为=0.15x-7.5. (2)根据题意得Z==+m,60≤x≤150.设f(x)==-,令t=,≤t≤,则f(x)=g(t)=0.15t-7.5t2=-7.5×(t-0.01)2+0.000 75,当t=0.01,即x=100时,f(x)取最大值,又因为k>0,m>0,所以此时Z也取最大值,因此,小李应该租100 m2的商铺. 14.BD　解析　由题知,2iyi=1 906,=10,2i=×126=21,(2i)2=5 460,所以==≈0.23,≈10-0.23×21=5.17,A错误;所以=5.17+0.23×2x,令x=log221,求得=10,B正确;由上式可知,x每增加1万元,y不是平均增加的,C错误;若x>9,则>122.93,而每晚最多能接纳的客流量为10万人,故D正确. 15.解　(1)因为182.4>79.2,所以>,<,所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数,即模型②的拟合精度更高、更可靠. (2)当m=100万元时,对该产品科技升级的直接收益的预测值=21.3-14.4=213-14.4=198.6(万元). 学科网（北京）股份有限公司 $