第三单元 乘法数量关系（培优讲义）数学苏教版四年级上册（新教材）

该小学数学讲义通过导图形式构建乘法数量关系单元知识体系，系统梳理乘法意义、乘除互逆关系、购物与行程问题等核心知识点，清晰呈现“每份数-份数-总数”等内在逻辑，突出重难点分布。 讲义亮点在于“典例精讲+真题演练”的分层设计，如归一问题先求单一量再算新总量，培养运算能力与模型意识。典型题、易错题解析助基础生夯实基础，压轴题拓展提升优秀生思维，教师可据此实施精准复习教学。

知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第三单元 乘法数量关系（培优讲义） （解析版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为苏教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：乘法的意义与各部分关系 1.乘法的定义： 求几个相同加数和的简便运算叫作乘法。 2.乘法各部分名称： 相乘的两个数叫作乘数（也叫积的因数），乘得的结果叫作积。 3.核心关系式： 乘数×乘数=积 如果用a表示一个乘数，b表示另一个乘数，c表示积，字母表示为a×b=c。 4.适用场景： 相同加数求和的简便计算，如“每组人数×组数=总人数”类问题。 知识点二：除法的意义与乘除法互逆关系 1.除法的定义： 已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算叫作除法。 2.核心属性： 除法是乘法的逆运算，可用于乘除法的相互验算。 3.除法各部分名称： 除号前面的数是被除数，除号后面的数是除数，结果是商。 4.核心关系式： 被除数÷除数=商 对应乘除法推导：积÷一个乘数=另一个乘数 字母表示：若a×b=c，则c÷a=b、c÷b=a（a、b不为0） 5.各部分延伸关系： 被除数=商×除数，除数=被除数÷商。 知识点三：乘除法数量关系的灵活应用 1.乘除法两类基本实际题型 求总量：已知每份的数量与对应份数，求总数量，用乘法计算。 求每份数或份数：已知总数量与其中一个量，求对应的每份数或份数，用除法计算。 2.乘除法实际问题的灵活改编 依托“每份数、份数、总数”的数量关联，可将乘法应用题与除法应用题相互改编，在题型转换中深化乘除法数量逻辑，提升灵活运用数量关系的能力。 知识点四：特殊数的乘除法运算规律 1.与1相关的运算： 一个数乘1仍得原数；一个数除以1仍得原数。 2.与0相关的运算： 任何数乘0都得0 0除以任何不是0的数都得0 0不能作除数（无数学意义） 知识点五：购物问题（单价、数量、总价） 1.概念定义： 单价是单件商品的价格，有复合单位（如“元/支”，读作“元每支”）；数量是购买的商品件数；总价是购买商品的总花费。 2.三组关系式： 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 知识点六：行程问题（速度、时间、路程） 1.概念定义： 速度是单位时间内行驶的路程，有复合单位（如“米/分”“千米/时”）；时间是行驶的总时长；路程是行驶的总长度。 2.速度比较方法： 时间相同时，路程越长速度越快；路程相同时，时间越短速度越快；时间、路程都不同时，计算单位时间的路程（速度）再比较。 3.三组关系式： 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 知识点七：乘除法解决实际问题 1.解题策略： 用列表法整理条件和问题，清晰梳理数量关系；可从条件出发、或从问题倒推分析数量关系。 2.归一问题： 先通过“总量÷数量”求出单一量（如单价、速度），再根据新的数量求新总量，或根据新总量求新数量。 3.归总问题： 先通过“单一量×数量”求出固定总量，再根据新的单一量求出对应的新数量。 三、典例精讲巩固 知识点一：乘法的意义与各部分关系 【例1】（22-23·全国·期末）在算式26×13＝338中，26和13都是( )，338是( )。 我发现：求几个相同加数的和的简便运算，叫做( )，在乘法中，相乘的两个数叫做( )，乘得的数叫做( )。 【答案】 乘数/因数 积 乘法 乘数/因数 积 【分析】求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。在乘法算式中，相乘的两个数叫因数，也可以叫乘数，求出的结果叫积。根据乘法的意义和乘法各部分名称，即可解答。 【详解】由分析可知，26×13＝338，26和13都是因数，338是积。 求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法，在乘法中，相乘的两个数叫做因数，乘得的数叫做积。 【点睛】本题主要考查乘法的意义和各部分名称，属于基础知识，要熟练掌握。 【例2】（25-26·山东潍坊·期中）列式计算。 一个因数是246，另一个因数是35，积是多少？ 【答案】8610 【分析】根据题意可知，求两个因数的积，根据积＝因数×因数，用246乘35进行计算；三位数乘两位数时，相同数位要对齐。先用两位数的个位上的数分别与三位数的每一位数相乘，再用两位数的十位上的数分别与三位数的每一位数相乘，乘得结果要与十位对齐，然后两个结果相加就得到三位数乘两位数的结果；据此解答。 【详解】246×35＝8610 所以一个因数是246，另一个因数是35，积是8610。 知识点二：除法的意义与乘除法互逆关系 【例3】（24-25·广东汕头·期中）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做（     ）。 A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【答案】D 【分析】一个因数×另一个因数＝积，而积÷一个因数＝另一个因数，是除法运算，乘法和除法互为逆运算。 【详解】由分析可知：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。 故答案为：D 【例4】（23-24·福建三明·期中）根据，直接写出下面两题的得数。 ( )     ( ) 【答案】 1716 52 【分析】两个数相乘，交换乘数的位置积不变，这叫做乘法交换律，用字母表示为：a×b＝b×a。 积÷乘数＝乘数。 【详解】1716    52 知识点三：乘除法数量关系的灵活应用 【例5】（23-24·重庆梁平·期末）“六一”节好热闹啊！学校里有12棵大树，每棵大树上挂了4个灯笼，一共挂了多少个灯笼？把上面的乘法题改编成两道不同的用除法解答的题。（只编题，不解答） ① ② 【答案】①“六一”节好热闹啊！学校里的12棵大树上一共挂了48个灯笼。平均每棵大树上挂多少个灯笼？ ②“六一”节好热闹啊！学校里每棵大树上挂了4个灯笼，一共挂了48个灯笼。有多少棵大树？ 【分析】根据题意可知：用大树的棵树×每棵树上挂的灯笼个数＝一共挂了多少个灯笼。列算式就是12×4＝48。 一道乘法算式改写成两道除法算式分别是：48÷12＝4和48÷4＝12。 那么对应的数量关系式就是一共挂了多少个灯笼÷大树的棵树＝每棵树上挂的灯笼个数。 以及一共挂了多少灯笼÷每棵树上挂的灯笼个数＝大树多少棵。由对应的数量关系式就可以写出相应的除法解答问题。 【详解】根据题意可以写出： ①“六一”节好热闹啊！学校里的12棵大树上一共挂了48个灯笼。平均每棵大树上挂多少个灯笼？ ②“六一”节好热闹啊！学校里每棵大树上挂了4个灯笼，一共挂了48个灯笼。有多少棵大树？ 【例6】（25-26·江苏·期末）学校有5个科技兴趣小组，每个小组有9人。参加科技兴趣小组的一共有多少人？（先解答，再改编成用除法计算的实际问题） 【答案】 45人；提问题见详解 【分析】已知有5个小组，每个小组有9人，总人数＝每个小组人数×小组数量；已知总人数和小组数，可以用总人数除以小组数，求出每组人数，据此改编成用除法计算的实际问题即可。 【详解】9×5＝45（人） 答：参加科技兴趣小组的一共有45人。 问题：学校有45人参加科技兴趣小组，平均分成5个小组，每个小组有多少人？45÷5＝9（人） 答：每个小组有9人。（答案不唯一） 知识点四：特殊数的乘除法运算规律 【例7】（24-25·甘肃天水·期中）关于0的运算，下列说法错误的是（    ）。 A．一个数加上0还得原数 B．一个数和0相乘得数为0 C．0除以任何数都得0 D．被减数等于减数，差是0 【答案】C 【分析】0在四则运算中的性质如下： 加法：任何数加0等于原数； 减法：被减数等于减数时，相同的两个数相减，差为0； 乘法：任何数乘0等于0； 除法：0除以非零数结果为0，但0不能作为除数。 据此解答即可。 【详解】A．一个数加上0还得原数。例如：10＋0＝10，说法正确； B．一个数和0相乘得数为0。例如：10×0＝0，说法正确； C．0除以任何数都得0，任何数包括0，但0不能为除数，说法错误； D．被减数等于减数，差是0。例如：10－10＝0，说法正确。 故答案为：C 【例8】（23-24·河南驻马店·期中）判断：任何数乘1都等于它本身，任何数除以1也等于它本身。( ) 【答案】√ 【详解】任何数乘1都等于它本身，任何数除以1也等于它本身；例如23×1＝23，0×1＝0；23÷1＝23，0÷1＝0；原说法正确。 故答案为：√ 知识点五：购物问题（单价、数量、总价） 【例9】（24-25·江苏盐城·期末）李老师买8个足球用了360元。计算“每个足球多少元”，依据的数量关系正确的是（    ）。 A．单价总价数量 B．单价总价－数量 C．单价总价＋数量 D．单价总价数量 【答案】D 【分析】根据题意可知，360元是足球的总价，8个是足球的数量，求每个足球多少元是求单价，单价＝总价÷数量，把数据代入计算即可求出每个足球多少元，据此即可解答。 【详解】360÷8＝45（元） 每个足球45元，依据的数量关系是：单价总价数量。 故答案为：D 【例10】（25-26·江苏泰州·期末）钢笔的售价是每支15元，单价每支15元可以写成( )，购买20支这样的钢笔一共需( )元。 【答案】 15元/支 300 【分析】单价通常写成“金额/单位”的形式；计算总价时，依据关系式“总价＝单价×数量”进行计算。 【详解】15×20＝300（元） 钢笔的售价是每支15元，单价每支15元可以写成15元/支，购买20支这样的钢笔一共需300元。 知识点六：行程问题（速度、时间、路程） 【例11】（24-25·河北衡水·期末）声音在空气中约每秒传播340米，“每秒传播340米”记作( )，28秒在空气中约传播( )米。 【答案】 340米/秒 9520 【分析】根据速度的表示方法，表示速度时既要有长度单位又要有时间单位，由此可知，声音在空气中每秒可传播340米，它的速度可写成340米/秒。 路程＝速度×时间。声音在空气中大约每秒传播340米，求它28秒能传播多少米，用乘法计算，即340×28。 【详解】340×28＝9520（米） 声音在空气中约每秒传播340米，“每秒传播340米”记作340米/秒，28秒在空气中约传播9520米。 【例12】（25-26·河北保定·期中）李叔叔一家三口乘坐列车从南京出发到云南旅游，全程约12小时。两地间铁路长约多少千米？ 【答案】2424千米 【分析】已知列车平均每小时行驶202千米，全程约12小时；根据“路程＝速度×时间”求出两地间铁路的全长。 【详解】202×12＝2424（千米） 答：两地间铁路长约2424千米。 知识点七：乘除法解决实际问题 【例13】（25-26·河南周口·期中）植树节学校买了6棵树苗，共花了450元，如果按照同样的价钱买9棵，需要多少钱？ 【答案】 675元 【分析】这是一道归一应用题。根据题意“按照同样的价钱”，说明每棵树苗的单价是固定的。解题思路是先根据已知条件“6 棵树苗共花450元”，用除法求出一棵树苗的单价；再根据求出的单价和新的数量“9棵”，用乘法求出需要的总钱数。 【详解】 （元） 答：需要675元。 【例14】（24-25·河北唐山·期末）张阿姨家上个月用水8吨，水费40元。王爷爷家上个月水费是60元，他家上个月用水多少吨？ 【答案】12吨 【分析】先用40除以8求出每吨水的价钱，再用60除以每吨水的单价即可解答。 【详解】60÷（40÷8） ＝60÷5 ＝12（吨） 答：他家上个月用水12吨。 四、真题演练提升 1．（24-25·安徽合肥·期中）根据乘除法之间的关系：25×40＝1000，可以写出另外两道算式( )和( )。 【答案】 1000÷40＝25 1000÷25＝40 【分析】根据乘法中各部分的关系：乘数×乘数＝积，乘数＝积÷另一个乘数；写出另外两道算式即可。 【详解】25×40＝1000，积是1000，乘数分别是25和40；根据乘法各部分之间的关系，所以另外两个算式为：1000÷40＝25和1000÷25＝40。 2．（24-25·青海果洛·期末）1380÷23＝60，那么23×60＝( )，1380÷60＝( )。 【答案】 1380 23 【分析】已知除法算式1380÷23＝60，可以通过除法与乘法的逆运算关系得出，被除数÷除数＝商；被除数＝商×除数；被除数÷商＝除数；据此解答即可。 【详解】乘、除法的意义和各部分间的关系可得：1380÷23＝60，那么23×60＝1380，1380÷60＝23。 3．（24-25·全国·期末）432÷27的意义是：已知两个数的( )是432，和其中( )是27，求另一个因数的( )。 【答案】 积 一个因数 运算 【分析】在乘法运算中，存在“因数×因数＝积”的关系。432÷27中的432相当于乘法中的积，27相当于其中一个因数，除法运算“432÷27”就是为了求出在乘法关系中与27相乘得到432的另一个因数，这就是432÷27所表示的数学意义。 【详解】432÷27的意义是：已知两个数的积是432，和其中一个因数是27，求另一个因数的运算。 4．（24-25·福建莆田·期中）根据798÷21＝38，直接填空。 38×( )＝798            798÷( )＝21 【答案】 21 38 【分析】被除数÷除数＝商，商×除数＝被除数，被除数÷商＝除数；在算式798÷21＝38中，798是被除数，21是除数，38是商；据此解答。 【详解】根据分析可知： 38×21＝798 798÷38＝21 5．（25-26·广东中山·期末）买一个篮球要120元，买5个这样的篮球要多少钱？题目中已知的是( )和( )，要求的是( )。（括号里填总价、单价或数量） 【答案】 单价 数量 总价 【分析】明确单价×数量＝总价，一个篮球要120元是单价，5个是数量，求出买5个这样的篮球要多少钱是总价。 【详解】买一个篮球要120元，买5个这样的篮球要多少钱？题目中已知的是单价和数量，要求的是总价。 6．（25-26·江苏宿迁·期末）“依依每分钟走60米，她9分钟走了多少米？”这道题是已知( )和时间，求( )。照这样计算，如果依依家离学校有720米，她( )分钟能从学校走到家。 【答案】 速度 路程 12 【分析】每分钟走60米是速度，9分钟是时间，求走了多少米是求路程。已知路程和速度，用路程÷速度＝时间求出回家用时。 【详解】720÷60＝12（分钟） 已知速度和时间，求路程。如果依依家离学校有720米，她12分钟能从学校走到家。 7．（24-25·江苏南通·期末）下面的问题中，可以借助“单价×数量＝总价”这个数量关系解决的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单价：每件商品的价格；数量：买了多少；总价：一共用的钱数。逐个选项分析，看能否借助“单价×数量＝总价”这个数量关系解决。 【详解】 A．买2件物品一共用去40元，其中一件18元，求另一件多少钱？列式为：40－18＝22（元），不符合题意； B．苹果62元，橙子比苹果多18元，求橙子多少钱？列式为：62＋18＝80（元），不符合题意； C．三件物品，第一件10元，第2件8元，第3件32元，求一共花了多少钱？列式为：10＋8＋32＝50（元），不符合题意； D．每件物品20元，买5件一共花多少钱？列式为：20×5＝100（元），符合题意。 综上所述，可以借助“单价×数量＝总价”这个数量关系解决的是。 8．（25-26·江苏盐城·期末）一种玩具汽车原来每辆60元，现在商场进行降价促销，原来买9辆汽车的钱现在可以多买3辆。降价后每辆玩具汽车（    ）元。 A．180 B．45 C．23 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，总钱数不变，原来买9辆车的钱现在可以买9＋3＝12（辆）。用60乘9先求出总钱数，再求出现在购买的数量，最后利用“单价＝总价÷数量”求出降价后的单价。 【详解】60×9＝540（元） 540÷（9＋3） ＝540÷12 ＝45（元） 所以降价后每辆玩具汽车45元。 9．（25-26·广东惠州·期末）甲汽车6时行驶540千米，乙汽车3时行驶240千米，（    ）。 A．甲行驶得快些 B．乙行驶得快些 C．两车速度一样 D．无法判断 【答案】A 【分析】速度＝路程÷时间，据此算出甲和乙的速度再比较。 【详解】540÷6＝90（千米/小时） 240÷3＝80（千米/小时） 90＞80 甲行驶得快些。 10．（25-26·河南安阳·期末）假期聪聪一家人要从滑县去南京旅游。他们早上8：40从家出发，乘坐的高速列车9：40发车，14：40到达南京。列车一共行驶了780千米。那么这列高速列车的平均速度是（    ）。 A．156千米/时 B．156时/千米 C．130千米/时 D．130时/千米 【答案】A 【分析】乘坐的高速列车9：40发车，14：40到达南京，根据经过时间＝结束时间－开始时间，用14：40减去9：40即可；根据速度＝路程÷时间，用780千米除以经过时间，即可求得这列高速列车的平均速度。 【详解】14：40－9：40＝5（小时） 780÷5＝156（千米/时） 因此，这列高速列车的平均速度是156千米/时。 11．（22-23·四川成都·期末）看图列式解答。 【答案】780千米 【分析】用260除以4，求出每小时行驶多少千米，再乘12小时，求出一共有多少千米。 【详解】260÷4×12 ＝65×12 ＝780（千米） 12．（25-26·湖北宜昌·期末）看图列式计算。 【答案】250×8＝2000（米） 【分析】这是一道行程问题，根据公式：路程＝速度×时间。从图中信息可知，乐乐骑车速度为250米/分，从家骑到森林公园的时间为8分钟，代入计算即可。 【详解】250×8＝2000（米） 13．（24-25·河北邯郸·期末）列式计算。 【答案】624个 【分析】观察图形，可以假设一批货物有8箱，3箱有234个，用234除以3，算出每箱有多少个，再乘8，即可算出这批货物有多少个。据此解答。 【详解】234÷3×8 ＝78×8 ＝624（个） 一共有624个。 14．（24-25·广东汕尾·期末）看图列综合算式计算。 【答案】270÷6×4＝180（千克） 【分析】由图可知，6个小格表示270千克，可以先用270除以6算出每个小格表示多少千克，然后再乘上4即可算出下面的4个小格表示多少千克。 【详解】270÷6×4 ＝45×4 ＝180（千克） 15．（24-25·江苏盐城·期末）李老师买19个同样的篮球，付给营业员1000元。 (1)他买的是( )号篮球。（填序号） (2)李老师买篮球一共花了多少元？ 【答案】(1)① (2)912元 【分析】（1）分别用每种篮球一个的价钱，乘19计算出三种篮球各自19个的总价格，再分别与1000元进行比较，找出小于并接近1000的数，即可得到结果。 （2）直接根据第（1）小问的结果进行解答即可。 【详解】（1）48×19＝912（元） 912＜1000 38×19＝722（元） 722＜1000 58×19＝1102（元） 1102＞1000 根据计算可知，买19个①号篮球小于1000，且在小于1000中最接近1000， 所以他买的是①号篮球。 （2）由第（1）小问可知，李老师买的是①号篮球，买19个花了912元。 答：李老师买篮球一共花了912元。 16．（25-26·上海松江·期末）周末爸爸开车带全家去郊游，计划以每小时60千米的速度行驶，4小时到达目的地。实际出发时晚了1小时，如果仍要按原计划时间到达，每小时需要多行多少千米？ 【答案】千米 【分析】解题的关键是抓住总路程不变这一条件。首先根据计划的速度和时间，利用“速度时间路程”求出总路程；然后根据实际出发晚了小时但仍按原计划时间到达，求出实际行驶的时间；接着利用“路程时间速度”求出实际需要的速度；最后用实际速度减去计划速度，即为每小时需要多行的路程。 【详解】 （千米） 答：每小时需要多行千米。 17．（25-26·天津滨海新区·期末）小华一家人自驾去某景区旅游，去的时候速度是80千米/时，4小时到达，原路返回时比去时多用了1小时，返回时平均每小时行多少千米？ 【答案】64千米 【分析】根据“速度×时间＝路程”，利用去时的速度和时间求出总路程；再根据“原路返回时比去时多用了1小时”，求出返回时所用的时间；最后根据“路程÷时间＝速度”，求出返回时的平均速度。 【详解】 （千米/时） 答：返回时平均每小时行64千米。 18．（25-26·湖南永州·期末）客车和货车同时从甲城出发开往乙城，客车每小时行80千米，货车每小时行65千米。经过4小时后，两车相距多少千米？ 【答案】60千米 【分析】本题考查行程问题中同向行驶的距离差计算。已知客车和货车的速度以及行驶时间，且两车同时从同一地点出发开往同一目的地，属于同向行驶。根据“速度×时间＝路程”的数量关系，两车相距的路程等于两车的速度差乘行驶时间。解题时先求出客车每小时比货车多行多少千米，再乘行驶时间即可求出两车相距的路程。 【详解】 （千米） 答：经过4小时后，两车相距60千米。 19．（25-26·辽宁大连·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，用了6小时，返回时少用了2小时。这辆汽车返回时的速度是多少？ 【答案】60千米/时 【分析】先依据路程＝速度×时间，求出两地间的距离，因为返回时间等于6小时减去少用的2小时，再根据速度＝路程÷时间即可解答。 【详解】6－2＝4（小时） 6×40÷4 ＝240÷4 ＝60（千米/时） 答：这辆汽车返回时的速度是60千米/时。 20．（25-26·河北邢台·期末）亮亮家苹果丰收了，5棵苹果树摘了210千克苹果。 (1)照这样测算，8棵苹果树可以摘多少千克苹果？ (2)照这样测算，摘840千克苹果，需要多少棵苹果树？ 【答案】(1)336千克 (2)20棵 【分析】（1）根据5棵苹果树摘了210千克苹果，用除法求出每棵树的产量，再乘8可算出8棵苹果树可以摘多少千克苹果。 （2）用840千克除以每棵树的产量，可算出需要多少棵苹果树。 【详解】（1）210÷5×8 ＝42×8 ＝336（千克） 答：8棵苹果树可以摘336千克苹果。 （2）210÷5＝42（千克） 840÷42＝20（棵） 答：需要20棵苹果树。 21．（25-26·河南信阳·期末）小明家今年前3个月的电费共351元，平均每个月的电费是多少元？照这样计算，一年的电费是多少元？ 【答案】117元；1404元 【分析】根据题意，先利用前3个月的总电费除以3，求出平均每个月的电费；再根据1年＝12个月，用平均每个月的电费乘12，即可求出一年的电费。 【详解】351÷3＝117（元） 1年＝12个月 117×12＝1404（元） 答：平均每个月的电费是117元，一年的电费是1404元。 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $知识建构 重点聚焦 典例精练 培优拓展 第三单元 乘法数量关系（培优讲义） （原卷版） 资 料 简 介 大家好！这份讲义专为苏教版四年级上册的系统学习与复习编制，内容全面深入，能有效满足培优拓展需求，助力学生突破常规、冲刺更高水平，资料包含以下内容： 一、单元知识框架：通过导图形式，清晰呈现单元知识脉络，构建系统化的知识体系，明确学习重点与复习方向。 二、核心知识梳理：聚焦单元基础知识点，强化细节理解与记忆，助力深入学习并灵活运用知识点，夯实知识基础。 三、典例精讲巩固：围绕高频考点，精选典型例题、易错题及压轴题，通过例题拆解分析解题思路，实现“精耕细作”，做到事半功倍。 四、真题演练提升：精选近年各地名校真题，通过实战演练检验知识掌握水平，提升综合应试能力。 一、单元知识框架 二、核心知识梳理 知识点一：乘法的意义与各部分关系 1.乘法的定义： 求几个相同加数和的简便运算叫作乘法。 2.乘法各部分名称： 相乘的两个数叫作乘数（也叫积的因数），乘得的结果叫作积。 3.核心关系式： 乘数×乘数=积 如果用a表示一个乘数，b表示另一个乘数，c表示积，字母表示为a×b=c。 4.适用场景： 相同加数求和的简便计算，如“每组人数×组数=总人数”类问题。 知识点二：除法的意义与乘除法互逆关系 1.除法的定义： 已知两个乘数的积与其中一个乘数，求另一个乘数的运算叫作除法。 2.核心属性： 除法是乘法的逆运算，可用于乘除法的相互验算。 3.除法各部分名称： 除号前面的数是被除数，除号后面的数是除数，结果是商。 4.核心关系式： 被除数÷除数=商 对应乘除法推导：积÷一个乘数=另一个乘数 字母表示：若a×b=c，则c÷a=b、c÷b=a（a、b不为0） 5.各部分延伸关系： 被除数=商×除数，除数=被除数÷商。 知识点三：乘除法数量关系的灵活应用 1.乘除法两类基本实际题型 求总量：已知每份的数量与对应份数，求总数量，用乘法计算。 求每份数或份数：已知总数量与其中一个量，求对应的每份数或份数，用除法计算。 2.乘除法实际问题的灵活改编 依托“每份数、份数、总数”的数量关联，可将乘法应用题与除法应用题相互改编，在题型转换中深化乘除法数量逻辑，提升灵活运用数量关系的能力。 知识点四：特殊数的乘除法运算规律 1.与1相关的运算： 一个数乘1仍得原数；一个数除以1仍得原数。 2.与0相关的运算： 任何数乘0都得0 0除以任何不是0的数都得0 0不能作除数（无数学意义） 知识点五：购物问题（单价、数量、总价） 1.概念定义： 单价是单件商品的价格，有复合单位（如“元/支”，读作“元每支”）；数量是购买的商品件数；总价是购买商品的总花费。 2.三组关系式： 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 知识点六：行程问题（速度、时间、路程） 1.概念定义： 速度是单位时间内行驶的路程，有复合单位（如“米/分”“千米/时”）；时间是行驶的总时长；路程是行驶的总长度。 2.速度比较方法： 时间相同时，路程越长速度越快；路程相同时，时间越短速度越快；时间、路程都不同时，计算单位时间的路程（速度）再比较。 3.三组关系式： 路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 知识点七：乘除法解决实际问题 1.解题策略： 用列表法整理条件和问题，清晰梳理数量关系；可从条件出发、或从问题倒推分析数量关系。 2.归一问题： 先通过“总量÷数量”求出单一量（如单价、速度），再根据新的数量求新总量，或根据新总量求新数量。 3.归总问题： 先通过“单一量×数量”求出固定总量，再根据新的单一量求出对应的新数量。 三、典例精讲巩固 知识点一：乘法的意义与各部分关系 【例1】（22-23·全国·期末）在算式26×13＝338中，26和13都是( )，338是( )。 我发现：求几个相同加数的和的简便运算，叫做( )，在乘法中，相乘的两个数叫做( )，乘得的数叫做( )。 【例2】（25-26·山东潍坊·期中）列式计算。 一个因数是246，另一个因数是35，积是多少？ 知识点二：除法的意义与乘除法互逆关系 【例3】（24-25·广东汕头·期中）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做（     ）。 A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法 【例4】（23-24·福建三明·期中）根据，直接写出下面两题的得数。 ( )     ( ) 知识点三：乘除法数量关系的灵活应用 【例5】（23-24·重庆梁平·期末）“六一”节好热闹啊！学校里有12棵大树，每棵大树上挂了4个灯笼，一共挂了多少个灯笼？把上面的乘法题改编成两道不同的用除法解答的题。（只编题，不解答） ① ② 【例6】（25-26·江苏·期末）学校有5个科技兴趣小组，每个小组有9人。参加科技兴趣小组的一共有多少人？（先解答，再改编成用除法计算的实际问题） 知识点四：特殊数的乘除法运算规律 【例7】（24-25·甘肃天水·期中）关于0的运算，下列说法错误的是（    ）。 A．一个数加上0还得原数 B．一个数和0相乘得数为0 C．0除以任何数都得0 D．被减数等于减数，差是0 【例8】（23-24·河南驻马店·期中）判断：任何数乘1都等于它本身，任何数除以1也等于它本身。( ) 知识点五：购物问题（单价、数量、总价） 【例9】（24-25·江苏盐城·期末）李老师买8个足球用了360元。计算“每个足球多少元”，依据的数量关系正确的是（    ）。 A．单价总价数量 B．单价总价－数量 C．单价总价＋数量 D．单价总价数量 【例10】（25-26·江苏泰州·期末）钢笔的售价是每支15元，单价每支15元可以写成( )，购买20支这样的钢笔一共需( )元。 知识点六：行程问题（速度、时间、路程） 【例11】（24-25·河北衡水·期末）声音在空气中约每秒传播340米，“每秒传播340米”记作( )，28秒在空气中约传播( )米。 【例12】（25-26·河北保定·期中）李叔叔一家三口乘坐列车从南京出发到云南旅游，全程约12小时。两地间铁路长约多少千米？ 知识点七：乘除法解决实际问题 【例13】（25-26·河南周口·期中）植树节学校买了6棵树苗，共花了450元，如果按照同样的价钱买9棵，需要多少钱？ 【例14】（24-25·河北唐山·期末）张阿姨家上个月用水8吨，水费40元。王爷爷家上个月水费是60元，他家上个月用水多少吨？ 四、真题演练提升 1．（24-25·安徽合肥·期中）根据乘除法之间的关系：25×40＝1000，可以写出另外两道算式( )和( )。 2．（24-25·青海果洛·期末）1380÷23＝60，那么23×60＝( )，1380÷60＝( )。 3．（24-25·全国·期末）432÷27的意义是：已知两个数的( )是432，和其中( )是27，求另一个因数的( )。 4．（24-25·福建莆田·期中）根据798÷21＝38，直接填空。 38×( )＝798            798÷( )＝21 5．（25-26·广东中山·期末）买一个篮球要120元，买5个这样的篮球要多少钱？题目中已知的是( )和( )，要求的是( )。（括号里填总价、单价或数量） 6．（25-26·江苏宿迁·期末）“依依每分钟走60米，她9分钟走了多少米？”这道题是已知( )和时间，求( )。照这样计算，如果依依家离学校有720米，她( )分钟能从学校走到家。 7．（24-25·江苏南通·期末）下面的问题中，可以借助“单价×数量＝总价”这个数量关系解决的是（    ）。 A． B． C． D． 8．（25-26·江苏盐城·期末）一种玩具汽车原来每辆60元，现在商场进行降价促销，原来买9辆汽车的钱现在可以多买3辆。降价后每辆玩具汽车（    ）元。 A．180 B．45 C．23 D．15 9．（25-26·广东惠州·期末）甲汽车6时行驶540千米，乙汽车3时行驶240千米，（    ）。 A．甲行驶得快些 B．乙行驶得快些 C．两车速度一样 D．无法判断 10．（25-26·河南安阳·期末）假期聪聪一家人要从滑县去南京旅游。他们早上8：40从家出发，乘坐的高速列车9：40发车，14：40到达南京。列车一共行驶了780千米。那么这列高速列车的平均速度是（    ）。 A．156千米/时 B．156时/千米 C．130千米/时 D．130时/千米 11．（22-23·四川成都·期末）看图列式解答。 12．（25-26·湖北宜昌·期末）看图列式计算。 13．（24-25·河北邯郸·期末）列式计算。 14．（24-25·广东汕尾·期末）看图列综合算式计算。 15．（24-25·江苏盐城·期末）李老师买19个同样的篮球，付给营业员1000元。 (1)他买的是( )号篮球。（填序号） (2)李老师买篮球一共花了多少元？ 16．（25-26·上海松江·期末）周末爸爸开车带全家去郊游，计划以每小时60千米的速度行驶，4小时到达目的地。实际出发时晚了1小时，如果仍要按原计划时间到达，每小时需要多行多少千米？ 17．（25-26·天津滨海新区·期末）小华一家人自驾去某景区旅游，去的时候速度是80千米/时，4小时到达，原路返回时比去时多用了1小时，返回时平均每小时行多少千米？ 18．（25-26·湖南永州·期末）客车和货车同时从甲城出发开往乙城，客车每小时行80千米，货车每小时行65千米。经过4小时后，两车相距多少千米？ 19．（25-26·辽宁大连·期末）一辆汽车从甲地开往乙地，用了6小时，返回时少用了2小时。这辆汽车返回时的速度是多少？ 20．（25-26·河北邢台·期末）亮亮家苹果丰收了，5棵苹果树摘了210千克苹果。 (1)照这样测算，8棵苹果树可以摘多少千克苹果？ (2)照这样测算，摘840千克苹果，需要多少棵苹果树？ 21．（25-26·河南信阳·期末）小明家今年前3个月的电费共351元，平均每个月的电费是多少元？照这样计算，一年的电费是多少元？ 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $