1.4.2第2课时用空间向量研究夹角问题课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修 第一册

该高中数学课件聚焦用空间向量研究夹角问题，涵盖异面直线、线面、面面夹角的向量求法。课堂通过迈克尔·杰克逊45度倾斜舞步情境导入，引发对空间角的思考，衔接空间角分类与求解方法，构建“情境—概念—公式—应用”的学习支架。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，体现数学眼光，通过基底法与坐标法题型分类及通性通法总结，培养数学思维，例题与跟踪训练结合强化数学语言表达。助力学生提升空间观念和推理能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

第2课时 用空间向量研究夹角问题 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 迈克尔·杰克逊出生于印第安纳州加里市，被称为“流行音乐之王”. 迈克尔·杰克逊除了他擅长的歌曲，还有他那漂亮的太空步，尤其像 谜一样存在的招牌动作45度倾斜舞步，据说迈克尔杰克逊早在1993年 就申请了专利，专利名称“摆脱地心引力的幻想”. 同学们，45度到底指的是哪个角呢？ 【问题】　（1）空间角包括哪些角？  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求解空间角常用的方法有哪些？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 知识点一　利用向量方法求两条异面直线所成的角 若异面直线 l1， l2所成的角为θ，其方向向量分别是 u ， v ，则 cos θ ＝｜ cos ＜ u ， v ＞｜＝ 　 　＝ 　 　. 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 【想一想】 　两条异面直线所成的角与两条直线的方向向量所成的角是什么 关系？ 提示：相等或互补. 目录 数学·选择性必修第一册 知识点二　利用向量方法求直线与平面所成的角 如图，直线 AB 与平面α相交于点 B ，设直线 AB 与平面α所成的角为 θ，直线 AB 的方向向量为 u ，平面α的法向量为 n ，则 sin θ＝｜ cos ＜ u ， n ＞｜＝ 　 　＝ 　 　. 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 提醒　（1）直线与平面所成的角是指这条直线与它在这个平面内的 投影所成的角，其范围是 ； （2）若＜ u ， n ＞是一个锐角，则θ＝ －＜ u ， n ＞；若＜ u ， n ＞ 是一个钝角，则θ＝＜ u ， n ＞－ . 目录 数学·选择性必修第一册 知识点三　利用向量方法求两个平面的夹角 1. 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，把这四个二面角 中 的二面角称为平面α与平面β的夹角. 不大于90°　 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若平面α，β的法向量分别是 n1和 n2，则平面α与平面β的夹角即为向 量 n1和 n2的夹角或其补角，设平面α与平面β的夹角为θ，则 cos θ ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ 　 　＝ 　 　. 提醒　（1）两个平面夹角的范围是 ，二面角的范围是[0， π]，若夹角为 ，则两个平面垂直；（2）因为两个平面法向量的方 向不确定，故＜ n1， n2＞∈[0，π]，若＜ n1， n2＞为钝角，应取其 补角. 　 　 目录 数学·选择性必修第一册 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等. （　×　） （2）若平面α的法向量为 u ，直线 l 的方向向量为 v ，直线 l 与平面α 所成的角为θ，则 cos θ＝ . （　×　） （3）二面角的大小等于平面与平面的夹角. （　×　） × × × 目录 数学·选择性必修第一册 2. 若异面直线 l1， l2的方向向量分别是 a ＝（0，－2，－1）， b ＝ （2，0，4），则异面直线 l1与 l2的夹角的余弦值等于（　　） 解析：　因为 a · b ＝－4，｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝2 ，设 l1与 l2 的夹角为θ，所以 cos θ＝｜ cos ＜ a ， b ＞｜＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·汕头月考）已知向量 m ， n 分别是直线 l 的方向向量与平面α 的法向量，若 cos ＜ m ， n ＞＝－ ，则 l 与α所成的角为（　　） A. 30° B. 60° C. 150° D. 120° 解析：　设 l 与α所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ，∴θ＝60°，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册 4. 平面α的一个法向量为 n1＝ ，平面β的一个法向量为 n2＝ ，那么平面α与平面β的夹角等于（　　） A. 120° B. 30° C. 60° D. 150° 解析：　 cos ＜ n1， n2＞＝ ＝－ ，设α与β的夹角为 θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ，所以θ＝30°. 目录 数学·选择性必修第一册 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 两异面直线所成的角 【例1】　如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥平面 ABCD ， AB ⊥ BC ， AB ⊥ AD ，且 PA ＝ AB ＝ BC ＝ AD ＝1，求 PB 与 CD 所成的角. 目录 数学·选择性必修第一册 解：法一　由题意知｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ . 因为 PA ⊥平面 ABCD ，所以 · ＝ · ＝ · ＝0， 因为 AB ⊥ AD ，所以 · ＝0， 因为 AB ⊥ BC ，所以 · ＝0， 所以 · ＝（ ＋ ）·（ ＋ ＋ ）＝ ＝1. 所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ， 所以＜ ＞＝60°， 所以 PB 与 CD 所成的角为60°. 目录 数学·选择性必修第一册 法二　由题意得 AB ， AD ， AP 两两垂直，所以建 立如图所示的空间直角坐标系， 则 B （1，0，0）， C （1，1，0）， D （0，2，0）， P （0，0，1）， 所以 ＝（－1，0，1）， ＝（1，－1，0）， cos ＜ ＞＝ ＝ ＝－ . 所以＜ ＞＝120°， 故 PB 与 CD 所成的角为60°. 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 求异面直线所成的角的方法 （1）基底法：在一些不适合建立坐标系的题目中，经常采用取定基 底的方法，在两异面直线 a 与 b 上分别取点 A ， B 和 C ， D ，则 与 可分别作为 a ， b 的方向向量，则 cos θ＝ ， 根据条件可以把 与 用基底表示，再进行计算； （2）坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出各相 关点的坐标，进而利用公式求解.利用坐标法求线线角，避免了 传统找角或作角的步骤，使过程变得更简单. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中，求异面直线 BA1和 AC 所成角的大小. 目录 数学·选择性必修第一册 解：以 D 为原点， DA ， DC ， DD1所在的直线分别 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则 A （ a ，0，0）， B （ a ， a ，0）， C （0， a ，0）， A1（ a ，0， a ），所以 ＝（0，－ a ， a ）， ＝（－ a ， a ，0）. 所以 cos ＜ ＞＝ ＝ ＝－ ， 所以＜ ＞＝120°. 又因为异面直线所成角θ的取值范围为0°＜θ≤90°， 所以异面直线 BA1和 AC 所成角的大小为60°. 目录 数学·选择性必修第一册 题型二 直线与平面所成的角 【例2】　如图所示，在四棱锥 P - ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， AD ∥ BC ， AB ＝ AD ＝ AC ＝3， PA ＝ BC ＝4， M 为线段 AD 上一点， AM ＝2 MD ， N 为 PC 的中点，求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值. 目录 数学·选择性必修第一册 解：取 BC 的中点 E ，连接 AE . 由 AB ＝ AC 得 AE ⊥ BC ，从而 AE ⊥ AD ， 且 AE ＝ ＝ ＝ . 以 A 为坐标原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz . 由题意知 A （0，0，0）， P （0，0，4）， M （0，2，0）， C （ ，2，0）， N （ ，1，2）， 目录 数学·选择性必修第一册 则 ＝（0，2，－4）， ＝（ ，1，－2）， ＝（ ，1，2）. 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 PMN 的法向量， 则 令 y ＝2，则 z ＝1， x ＝0，则 n ＝（0，2，1）. 于是｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ， 所以直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 利用法向量求直线与平面所成角的步骤 （1）建立空间直角坐标系； （2）求直线的方向向量 ； （3）求平面的法向量 n ； （4）计算：设线面角为θ，则 sin θ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， AB ＝ AC ＝ AA1＝2，∠ BAC ＝90°， E ， F 分别为 C1 C ， BC 的中点.求 A1 B 与平面 AEF 所成角的正弦值. 目录 数学·选择性必修第一册 解：以 A 为原点，分别以 AB ， AC ， AA1所在直线为 x ， y ， z 轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 则 A （0，0，0）， A1（0，0，2）， B （2，0，0）， E （0，2， 1）， F （1，1，0），所以 ＝（2，0，－2）， ＝（0，2， 1）， ＝（1，1，0）. 设平面 AEF 的一个法向量为 n ＝（ a ， b ， c ）， 由 目录 数学·选择性必修第一册 令 a ＝1，可得 n ＝（1，－1，2）. 设 A1 B 与平面 AEF 所成角为θ， 所以 sin θ＝｜ cos ＜ n ， ＞｜＝ ＝ ， 即 A1 B 与平面 AEF 所成角的正弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 题型三 两平面的夹角（二面角） 【例3】　（2024·泰安月考）如图所示，在三棱锥 S - ABC 中， O 为 BC 的中点， SO ⊥平面 ABC ，侧面 SAB 与 SAC 均为等边三角形，∠ BAC ＝90°，求平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值. 目录 数学·选择性必修第一册 解：因为△ SAB 与△ SAC 均为等边三角形，所以 AB ＝ AC . 连接 OA ，则 OA ⊥ BC . 以 O 为坐标原点， OB ， OA ， OS 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系 Oxyz .设 B （1，0，0），则 C （－1，0，0）， A （0，1，0）， S （0，0，1）， O （0，0，0）. 所以 ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（0，1，0）. 设平面 SAC 的法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 则 目录 数学·选择性必修第一册 令 x ＝1，则 z ＝－1， y ＝－1，所以 n ＝（1，－1，－1）. 易知平面 SBC 的一个法向量为 ＝（0，1，0）. 设平面 SAC 与平面 SBC 的夹角为θ， 所以 cos θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ， 所以平面 SAC 与平面 SBC 夹角的余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 通性通法 向量法求两平面夹角的步骤 （1）建立适当的坐标系，写出相应点的坐标； （2）求出两个平面的法向量 n1， n2； （3）设两平面的夹角为θ，则 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜. 提醒　若要求的是二面角，则根据图形需判断该二面角的平面 角是钝角还是锐角. 目录 数学·选择性必修第一册 【跟踪训练】 　如图，在正方体 ABEF -DCE'F'中， M ， N 分别为 AC ， BF 的中点， 求平面 MNA 与平面 MNB 夹角的余弦值. 目录 数学·选择性必修第一册 解：设正方体棱长为1，以 B 为坐标原点， BA ， BE ， BC 所在直线分 别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Bxyz ，则 M （ ，0， ）， N （ ，0）， A （1，0，0）， B （0，0，0）. 设平面 AMN 的法向量为 n1＝（ x ， y ， z ）. 由于 ＝（－ ，0， ）， ＝（－ ，0）. 则 目录 数学·选择性必修第一册 令 x ＝1，解得 y ＝1， z ＝1，于是 n1＝（1，1，1）. 同理可求得平面 BMN 的一个法向量为 n2＝（1，－1，－1）， 设平面 MNA 与平面 MNB 的夹角为θ， 所以 cos θ＝｜ cos ＜ n1， n2＞｜＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册   　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：以 D 为坐标原点，分别以 DA ， DC ， DD1所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz （图略）.设 AB ＝1，则 B （1， 1，0）， A1（1，0，2）， A （1，0，0）， D1（0，0，2）， ＝（0，1，－2）， ＝（－1，0，2），｜ cos ＜ ＞｜＝ ＝ ＝ ，故异面直线 A1 B 与 AD1所成角的 余弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 2. (2025高二下·泰州期末) 若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为⁠（ ）. 解析：设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得：， 则 A．B． C．D． 目录 数学·选择性必修第一册 3. 如图，在四棱台 ABCD - A1 B1 C1 D1中，底面 ABCD 为矩形， A1 A ⊥ 平面 ABCD ， A1 A ＝ A1 D1＝1， AB ＝ AD ＝2，则直线 C1 C 与平面 ACD1所成角的正弦值为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0， 0）， C （2，2，0）， D1（0，1，1）， C1（1，1，1），所以 ＝（1，1，－1）， ＝（2，2，0）， ＝（0，1，1）. 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 ACD1的法向量， 则 可取 x ＝1，则 y ＝－1， z ＝1，所以 n ＝ （1，－1，1）. 设直线 C1 C 与平面 ACD1所成的角为θ， 则 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ， 所以直线 C1 C 与平面 ACD1所成角的正弦值为 . 目录 数学·选择性必修第一册 　空间直角坐标系的构建策略 　　利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间 角、空间距离等问题，关键是依托图形建立适当的空间直角坐标系， 将直线的方向向量、平面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如 何建立空间直角坐标系，写出点的坐标是前提，下面介绍空间直角坐 标系的几种构建策略. 目录 数学·选择性必修第一册 一、利用共顶点且互相垂直的三条棱 【例1】　如图，在直三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CA ＝ CB ＝1，∠ BCA ＝90°， AA1＝2， M ， N 分别是 A1 A ， A1 B1的中点. （1）求线段 BM 的长； 解： 以 C 为原点，建立空间直角坐标系 Cxyz ， 如图所示，依题意得 B （0，1，0）， M （1，0， 1），故 ＝（1，－1，1），所以｜ ｜＝ ＝ ，即线段 BM 的长为 . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求证： A1 B ⊥ C1 N . 解：证明：依题意得 C1（0，0，2）， N （ ，2），所以 ＝（ ，0），又 ＝（－1，1，－2），所以 · ＝－ ＋ ＋0＝0，所以 ⊥ ，即 A1 B ⊥ C1 N . 目录 数学·选择性必修第一册 二、利用线面垂直关系 【例2】　如图所示，在几何体 S - ABCD 中， AD ⊥平面 SCD ， BC ⊥ 平面 SCD ， AD ＝ DC ＝2， BC ＝1，又 SD ＝2，∠ SDC ＝120°，则平 面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图，过点 D 作 DC 的垂线交 SC 于点 E ， 以 D 为原点，以 DC ， DE ， DA 所在直线分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系.∵∠ SDC ＝120°， ∴∠ SDE ＝30°，又 SD ＝2，∴点 S 到 y 轴的距离为 1，到 x 轴的距离为 ，则有 D （0，0，0）， S （－1， ，0）， A （0，0，2）， C （2，0，0）， B （2，0，1），设平面 SAD 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），∵ ＝（0，0，－2）， ＝（－1， ，－2），则 ∴ 目录 数学·选择性必修第一册 取 x ＝ ，则 y ＝1， z ＝0，得平面 SAD 的一个法向量为 m ＝（ ，1，0）.又 ＝（2，0，－1），设平面 SAB 的法向量为 n ＝（ a ， b ， c ），则 令 a ＝ ，则 b ＝5， c ＝2 ，则 n ＝（ ，5，2 ），∴｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ，故平面 SAD 与平面 SAB 夹角的余弦值是 . 目录 数学·选择性必修第一册 三、利用面面垂直关系 【例3】　如图，在三棱锥 A - BCD 中，平面 ABD ⊥平面 BCD ， AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点. （1）证明： OA ⊥ CD ； 解： 证明：因为 AB ＝ AD ， O 为 BD 的中点，所以 OA ⊥ BD ， 又平面 ABD ⊥平面 BCD ，且平面 ABD ∩平面 BCD ＝ BD ， AO ⊂平面 ABD ，所以 OA ⊥平面 BCD ， 又 CD ⊂平面 BCD ，所以 OA ⊥ CD . 目录 数学·选择性必修第一册 （2）若△ OCD 是边长为1的等边三角形，点 E 在棱 AD 上， DE ＝2 EA ，且二面角 E - BC - D 的大小为45°，求 OA . 解： 如图所示，以 O 为坐标原点， OB ， OA 所在直线分别为 x ， z 轴，在平面 BCD 内，以过点 O 且与 BD 垂直的直线为 y 轴建 立空间直角坐标系. 因为△ OCD 是边长为1的正三角形， 且 O 为 BD 的中点， 所以 OC ＝ OB ＝ OD ＝1. 所以 B （1，0，0）， D （－1，0，0）， C （－ ，0）. 目录 数学·选择性必修第一册 设 A （0，0， a ）， a ＞0，因为 DE ＝2 EA ，所以 E （－ ，0， ）. 由题意可知平面 BCD 的一个法向量为 n ＝（0，0，1）. 设平面 BCE 的法向量为 m ＝（ x ， y ， z ）， 因为 ＝（－ ，0）， ＝（－ ，0， ）， 所以 令 x ＝1，则 y ＝ ， z ＝ ，所以 m ＝（1， ）. 因为二面角 E - BC - D 的大小为45°， 所以 cos 45°＝｜ ｜＝ ＝ ，得 a ＝1，即 OA ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册   　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则 V （0， 0， h ）， B （1，－1，0）， C （1，1，0）， E （ ）， D （－1，1，0），所以 ＝（－ ）， ＝（1，1，－ h ）， 若 BE ⊥ VC ，则 · ＝－ ＋ － ＝0，解得 h ＝ ＝（ ，－ ），所以｜ ｜＝ ＝ ，即 DE 的长为 . 目录 数学·选择性必修第一册 【迁移应用】 　如图，三棱锥 S - ABC 的底面 ABC 和侧面 SBC 都是等边三角形，且 平面 SBC ⊥平面 ABC . 若点 Q 在线段 AS 上且满足 AQ ＝ AS ，则 BQ 与 平面 SAC 所成角的正弦值为 ⁠. 　 目录 数学·选择性必修第一册 解析：取 BC 的中点 O ，连接 OA ， OS ，由条 件可得 OA ， BC ， OS 两两垂直.以 O 为坐标原 点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.设 AB ＝2，则 AO ＝ OS ＝ ，则点 A （ ，0， 0）， B （0，1，0）， C （0，－1，0）， S （0，0， ）， Q （ ，0， ），所以 ＝（ ，1，0）， ＝（ ，0，－ ＝（ ，－1， ）.设平面 SAC 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ）， 目录 数学·选择性必修第一册 则 令 x ＝1，可得 n ＝（1，－ ，1）.设 BQ 与平面 SAC 所成角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 设直线 l 与平面α相交，且 l 的方向向量为 a ，α的法向量为 n ，若＜ a ， n ＞＝ ，则 l 与α所成的角为（　　） 解析：　线面角的范围是 .∵＜ a ， n ＞＝ ，∴ l 与法向 量所在直线所成角为 ，∴ l 与α所成的角为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 2. 已知 A （0，1，1）， B （2，－1，0）， C （3，5，7）， D （1， 2，4），则直线 AB 与直线 CD 所成角的余弦值为（　　） 解析：　∵ ＝（2，－2，－1）， ＝（－2，－3，－3）， ∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ，∴直线 AB ， CD 所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 3. （2024·日照月考）如图，在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ BC ＝2， AA1＝1，则直线 BC1与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 （　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：如图，以点 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1所 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A （2，0，0）， B （2，2，0）， C （0，2，0）， C1（0，2，1），∴ ＝（－2，0，1）， ＝（－2，2，0），且易证 为平面 BB1 D1 D 的一个法向量.设直线 BC1与平面 BB1 D1 D 所成的角为θ，则 sin θ＝｜ cos ＜ ＞｜＝ ＝ ＝ .∴直线 BC1与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 4. 如图，已知向量 m ， n 分别是平面α和平面β的法向量，若 cos ＜ m ， n ＞＝－ ，则二面角α- l -β＝（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析：　设二面角α- l -β为θ，0°≤θ≤180°，由题图可知， cos θ＝ cos ＜ m ， n ＞＝－ ，∴θ＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 5. （多选）（2024·青岛月考）已知 ＝（0，1，1）， ＝（2， －1，2）， BE ⊥平面 BCD ，则（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　因为 BE ⊥平面 BCD ，所以 是平面 BCD 的一个法向 量，所以点 A 到平面 BCD 的距离为 ＝ ，故A错误，C正 确； AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ＝ ＝ ，故B 正确，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 6. （多选）在长方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， AB ＝ AD ＝2， AA1＝3， 以 D 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方 向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A. B1的坐标为（2，2，3） C. 平面 A1 BC1的一个法向量为（－3，3，－2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　因为 AB ＝ AD ＝2， AA1＝3，所以 A1（2，0，3）， B （2，2，0）， B1（2，2，3）， C1（0，2，3），所以 ＝（－ 2，0，3）， ＝（0，2，－3），故A、B正确.设平面 A1 BC1的 法向量为 m ＝（ x ， y ， z ），所以 令 x ＝－3，则 y ＝－3， z ＝－2，即平面 A1 BC1的 一个法向量为 m ＝（－3，－3，－2），故C错误.由几何体知识易 得平面 A1 B1 C1的一个法向量为 n ＝（0，0，1），所以 cos ＜ m ， n ＞＝ ＝ ＝－ ，结合图形可知二面角 B - A1 C1- B1的 余弦值为 ，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 7. 已知点 P 是正方形 ABCD 所在平面外一点， PA ⊥平面 ABCD ，若 PA ＝ AB ，则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为 ⁠. 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设 PA ＝ AB ＝1，则 A （0，0，0）， D （0，1， 0）， P （0，0，1）.于是 ＝（0，1，0）， 取 PD 的中点 E ，则 E （0， ），∴ ＝（0， ），易知 是平面 PAB 的法向量， 是平面 PCD 的法向量，∴｜ cos ＜ ＞｜＝ ，∴平面 PAB 与平面 PCD 的夹角为45°. 45°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 8. 已知四边形 ABCD ， ABEF 都是边长为1的正方形， FA ⊥平面 ABCD ，则异面直线 AC 与 BF 所成的角等于 ⁠. 解析：由题意，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz ，则 A （0，0，0）， C （1，1，0）， F （0， 0，1）， B （0，1，0）.∴ ＝（1，1，0）， ＝（0，－1，1），∴｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ · ＝－1，∴ cos ＜ ＞＝ ＝－ ，∴＜ ＞＝120°.又∵异面直线所成的角θ的取值范围为0°＜θ≤90°，∴ AC 与 BF 所成的角为60°. 60°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 9. 如图，在三棱锥 P - ABC 中， AB ⊥ BC ， AB ＝ BC ＝ PA ，点 O ， D 分别是 AC ， PC 的中点， OP ⊥底面 ABC ，则直线 OD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：以 O 为原点， OA ， OB ， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图，设 AB ＝ a ，则 OP ＝ a ， ＝（－ a ，0， a ），可求 得平面 PBC 的法向量为 n ＝（－1，1， ），所以 cos ＜ ， n ＞＝ ＝ ，设直线 OD 与平面 PBC 所成的角为θ，则 sin θ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 10. （2024·湛江月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1的棱长为1， E1在 A1 B1上， F1在 C1 D1上，且 B1 E1＝ D1 F1＝ A1 B1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求向量 ， 的坐标； 解： 由题意可得 B （1，1，0）， E1（1， ，1）， D （0， 0，0）， F1（0， ，1）， 故 ＝（1， ，1）－（1，1，0）＝（0，－ ，1）， ＝（0， ，1）－（0，0，0）＝（0， ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求 BE1与 DF1所成角的余弦值. 解：由（1）可知 ＝（0，－ ，1）， ＝（0， ，1）， ∴｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝ ， · ＝0×0＋（－ ）× ＋1×1＝ ， ∴ cos ＜ ＞＝ ＝ ＝ ， 故 BE1与 DF1所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 11. 如图所示，在四面体 ABCD 中， CA ＝ CB ＝ CD ＝ BD ＝2， AB ＝ AD ＝ .则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（　　） D. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　取 BD 的中点 O ，连接 OA ， OC ，由 题意知 OA ， OC ， BD 两两垂直.如图，以 O 为坐 标原点建立空间直角坐标系，则 B （1，0， 0）， D （－1，0，0）， C （0， ，0）， A （0，0，1），∴ ＝（－1，0，1）， ＝ （－1，－ ，0），∴ cos ＜ ＞＝ ＝ .∴异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 12. （多选）如图，△ ABC 和△ DBC 所在平面垂直，且 AB ＝ BC ＝ BD ，∠ CBA ＝∠ DBC ＝120°，则（　　） A. 异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为90° C. 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小为45° D. 直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小为60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　以 B 为坐标原点，建立如图所示的 空间直角坐标系 Bxyz .设 AB ＝2，则 B （0，0，0）， A （0，－1， ）， C （0，2，0）， D （ ， －1，0），所以 ＝（ ，0，－ ＝ （0，2，0）， ＝（0，1，－ ＝（ ，－3，0）.因为 · ＝0，所以 AD ⊥ BC ，即异面直线 AD 与 BC 所成角的大小为90°，故A正确.因为｜ cos ＜ ＞｜＝ ＝ ，所以异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 故B正确.设直线 AD 与平面 BCD 所成的角为θ， θ∈[0°，90°]，因为 n ＝（0，0，1）是平面 BCD 的一个法向量，所以 sin θ＝｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ，所以θ＝45°，即直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小为45°，故C正确， D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 13. （2024·宿迁月考）已知正三棱柱 ABC - A1 B1 C1的棱长均为 a ， D 是 侧棱 CC1的中点，则平面 ABC 与平面 AB1 D 夹角的余弦值 为 ⁠. 　 解析：以点 A 为坐标原点，以垂直于 AC 的直线为 x 轴，以 AC 所在直线为 y 轴，以 AA1所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.因为 ABC – A1 B1 C1是各棱长均等于 a 的正三棱柱， D 是侧棱 CC1的中点，所以 A （0，0，0）， B1（ a ， ， a ）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 D （0， a ， ），故 ＝（ a ， ， a ）， ＝（0， a ， ），设平面 AB1 D 的一个法向量为 n ＝（ x ， y ， z ），则 令 y ＝1，则 z ＝－2， x ＝ ，故 n ＝ （ ，1，－2）.又平面 ABC 的一个法向量为 m ＝（0，0，1）， 所以｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝ ＝ ，所以平 面 ABC 与平面 AB1 D 夹角的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 14. （2024·杭州质检）如图，在三棱柱 ABC - A1 B1 C1中， CC1⊥平面 ABC ， AC ⊥ BC ， AC ＝ BC ＝2， CC1＝3，点 D ， E 分别在棱 AA1 和棱 CC1上，且 AD ＝1， CE ＝2， M 为棱 A1 B1的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （1）求证： C1 M ⊥ B1 D ； 解：以 C 为原点， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 C （0，0，0）， A （2，0，0）， B （0，2，0）， C1（0，0，3）， A1（2，0，3）， B1（0，2，3）， D （2，0，1）， E （0，0，2）， M （1，1，3）. （1）证明： ＝（1，1，0）， ＝（2，－2，－2）， ∴ · ＝2－2＋0＝0，∴ C1 M ⊥ B1 D . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）求平面 BB1 E 与平面 B1 ED 夹角的正弦值； 解：易知 ＝（2，0，0）是平面 BB1 E 的一个法向量. ＝（0，2，1）， ＝（2，0，－1）， 设 n ＝（ x ， y ， z ）为平面 B1 ED 的法向量， 则 令 x ＝1，则 n ＝（1，－1，2）. 设平面 BB1 E 与平面 B1 ED 的夹角为θ. ∴｜ cos ＜ ， n ＞｜＝ ＝ ，∴ sin θ＝ ＝ ，∴平面 BB1 E 与平面 B1 ED 夹角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （3）求直线 AB 与平面 DB1 E 所成角的正弦值. 解： ＝（－2，2，0）， 由（2）知， n ＝（1，－1，2）为平面 DB1 E 的一个法向量， ∴ cos ＜ ， n ＞＝ ＝－ ， ∴直线 AB 与平面 DB1 E 所成角的正弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 15. （2024·信阳月考）如图，在正方体 ABCD - A1 B1 C1 D1中， M ， N 分别为 A1 B1， CC1的中点， P 为线段 AD 上一动点，记α为异面直 线 PM 与 D1 N 所成的角，则α的取值集合是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 解析：　以 D 为坐标原点， DA ， DC ， DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所 示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， P （ x ，0，0）（0≤ x ≤1），则 M （1， ， 1）， D1（0，0，1）， N （0，1， ），∴ ＝（1－ x ， ，1）， ＝（0，1，－ ）， ∴ · ＝0，∴ ⊥ ，∴α＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 16. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形 ABCD （及其内部）以 AB 边所在的直线为旋转轴旋转120°得到的， G 是 的中点. （1）设 P 是 上的一点，且 AP ⊥ BE ，求∠ CBP 的大小； 解： 因为 AP ⊥ BE ， AB ⊥ BE ， AB ∩ AP ＝ A ， AB ， AP ⊂ 平面 ABP ，所以 BE ⊥平面 ABP . 又 BP ⊂平面 ABP ，所以 BE ⊥ BP . 又∠ EBC ＝120°，所以∠ CBP ＝30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 （2）当 AB ＝3， AD ＝2时，求平面 AGE 与平面 ACG 夹角的大小. 解： 以 B 为坐标原点， BE ， BP ， BA 所在的直线分 别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系.由题意得 A （0，0，3）， E （2，0，0）， G （1， ，3）， C （－1， ，0），则 ＝ （2，0，－3）， ＝（1， ，0）， ＝ （2，0，3），设 m ＝（ x1， y1， z1）是平面 AGE 的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 由 取 z1＝2，可得 m ＝（3，－ ，2）. 设 n ＝（ x2， y2， z2）是平面 ACG 的法向量. 由 取 z2＝－2，可得 n ＝（3，－ ，－2）， 所以｜ cos ＜ m ， n ＞｜＝ ＝ . 因此平面 AGE 与平面 ACG 夹角的大小为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·选择性必修第一册 谢 谢 观 看！ $