4.2.1指数函数的概念（教学课件）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦指数函数概念及底数取值范围，通过折纸实验、旅游人次增长、碳14衰减等实际情境导入，承接上一节指数拓展与幂函数的研究方法，以“背景→概念”的学习支架引导学生从具体问题抽象出数学模型。 其亮点在于用数学眼光观察现实情境中的指数变化，通过问题链（如B地年增长率计算）培养数学思维，例题与检测强化数学语言表达。例如折纸实验展示指数爆炸，旅游人次对比线性与指数增长规律，帮助学生建立模型意识，教师可借助这些情境提升教学效率与学生参与度。

人教A版（2019） 必修第一册 4.2.1 指数函数的概念 第四章 指数函数与对数函数 学习目标 1.理解指数函数的概念，会判断指数函数； 2.理解指数函数中底数的取值范围. 新课导入 上一节我们学习了指数，把指数 里的指数，从整数拓展到全体实数，研究了幂函数，理解研究函数一般方法，今天我们用同样方法研究另一类非常重要的初等函数——指数函数 思考: 你能想到哪些有关指数问题的实际背景？ 折纸的奥秘 情境1：在 “纸张对折与数据变化” 实验中，实验员将一张 A4 纸的面积定义为单位 1，记录每次对折后的层数和单张面积。 （1）写出对折后的层数 与对折次数 的关系式? （2）设这页纸的面积为单位1，则对折后每页纸的面积 与对折次数 的关系又是怎样的？ 探索新知 5 情境1：在 “纸张对折与数据变化” 实验中，实验员将一张 A4 纸的面积定义为单位 1，记录每次对折后的层数和单张面积。 = = 探索新知 6 情景2：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票． A景区 B景区 年份 人次 增加量 人次 增加量 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 53 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1224 126 右表给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加． 问题1 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ A地景区大约每年增长10万次 B地景区的年增长量越来越大 表格：具体但不直观 思考: 部分同学通过表格找不到变化规律，怎么可以快速发现变化规律？ 探索新知 探索新知 描点法：为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来． Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次） Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大． Ａ地年增加量大致相等，年增长量是怎么算的？ 思考: 那么B地景区的游客人次有怎样的变化规律？ 问题2 为了更直观地观察游客人次的变化趋势，可以采用什么方法？ 我们先对A景区的数据进行分析 发现有什么规律？ 连线近似于一条直线上升(线性增长) 线性增长 我们再对B景区的数据进行分析 B景区的增加量不稳定，越来越大！ 思考： 我们能否通过对B景区每年的游客人次做 其他运算来发现规律呢？ 增加量=变后量-变前量 非线性增长 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对 B 地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 思考 探索新知 做减法得到游客人次的年增加量， 做除法得到游客人次的年增长倍数（=_1__+年增长率） 知识积累！ 增加量和增长率是刻画事物变化规律的两个重要的量 探索新知 思考: 如何用数学符号来精确刻画指数增长的变化规律？ 因为Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从2001年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 1年后，游客人次是2001年的1.111倍； 2年后，游客人次是2001年的1.112倍； 3年后，游客人次是2001年的1.113倍； …… x年后，游客人次是2001年的多少倍？ 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y=1.11x , x∈[0,+∞) 这是一个函数，其中指数x是自变量． 思考: 还有和“指数增长”类似的变化规律吗？ 情景2当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 5730年 问题3 按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量 y 与死亡年数 x 之间 有怎样的关系？生物死亡后体内碳14含量年衰减率是多少？ 思考: 类比指数增长的研究过程，研究上述问题. 将衰减率设为，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格. ······ 若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式是： 死亡年数 1年 2年 3年 ······ 5730年 年 碳14含量 思考： 你能求出的值吗？ 指数衰减 若死亡生物体内碳14含量记为，死亡年数记为，死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式是： ∴, （x∈[０，＋∞）） ②． 这也是一个函数，指数x是自变量． 思考: 根据以上两个函数，你能归纳出指数函数的定义吗？ 如果设生物的死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y,那么,那么 这也是一个函数，其中指数x是自变量． 如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么 y =1.11x , x∈[0,+∞) 这是一个函数，其中指数x是自变量． 观察上述两个案例的函数解析式: 如果用字母a代替上面两式中的底数, 那么都可以表示为：y=ax的形式, 其中指数x是自变量,底数a是一个大于0且不等于1的常量 这样我们就能得到指数函数的定义! 数学本质：变化率为常数的数学模型 指数函数 常数（大于0且不等于1） 自变量 系数为1 y＝1 · ax 注： ①指数函数的定义域是实数集； ②自变量是指数，且指数位置只能有这一项； ③底数是且的常数且其系数必须为1； ④底数的范围是且. 为什么？ 为什么规定底数且 (1)如果，有些值会无意义，如无意义. (2)如果有些值也会无意义，如无意义 (3)如果，是个常量，没有变化，对他无研究价值 为了避免上述各种情况，所以规定且 例题 例题 例题 例题 例题 例题 探索新知 例题3 （1）.给出下列函数：①②③④; ⑤.其中，指数函数的个数是（ ）. .0 .1 .2 .4 √ （2）.（多选题）下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D．（且） AD ①底数：a＞0，且a≠1 ②指数：自变量x ③系数：1 例题3 (3).若函数是指数函数，则=___, 解：∵是指数函数， ∴，即， ，即 ∴或， 而且，∴ 当堂检测 B 2.已知函数f (x)=(a2-a-1)(a+1)x为指数函数,则a= ． 2 当堂检测 3.指数函数y=f(x)的图象经过点(2，4)，则f(4)·f(2)=____，f[f(2)]=__________ 16 64 答案：64， 16 解析： ， 当堂检测 4.已知f(x)=ax (a>0且a≠1)的图象经过点P(2,4). (1)求a的值; (2)已知f(2x)-3f(x)-4=0,求x. 解：(1)由题意 a2=4，所以a=2. (2)因为 f(x)=2x 所以方程 f(2x)-3f(x)-4=0可化为 所以22x-3·2x-4=0，即(2x)2-3·2x-4=0 所以2x=4，即x=2 课堂总结 实际应用问题中指数函数模型的类型 （1）指数增长模型 设原有量为，每次的增长率为，则经过次增长，该量增长到，则： . （2）指数减少模型 设原有量为，每次的减少率为，则经过次减少，该量减少到，则： . （3）指数型函数 把形如的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型. Lavf58.46.101 Lavf58.20.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 1.给出下列函数： ①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x. 其中，指数函数的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 $