4.2.2　第2课时　指数函数及其性质的应用 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

该高中数学课件聚焦指数函数及其性质的应用，通过回顾指数函数单调性、幂函数性质，以比较大小、解不等式等典型例题为学习支架，衔接已学知识与应用题型，构建完整知识脉络。 其亮点是“通性通法”系统总结（如比较大小的3种类型、解不等式步骤），结合分层题型与跟踪训练，培养数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。例如例2分类讨论底数解不等式，例3换元法转化问题，助力学生提升解题能力，教师可高效教学。

第2课时　 指数函数及其性质的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 利用单调性比较大小 【例1】　比较下列各题中两个值的大小： （1），；（2），；（3）， （2）因为函数是 减函数，－0.3＜0.8，可得 （3）函数在（0，＋∞）上单调递增，2＜3，故. 解：（1）因为函数是指数函数，且底数，所以是增函数，由于，根据增函数的性质，可得 目录 数学·必修第一册 通性通法 比较指数幂大小的3种类型及处理方法 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　设，，，那么，，的大小关系是 （　　） A. a ＜ c ＜ b B. a ＜ b ＜ c C. b ＜ a ＜ c D. b ＜ c ＜ a 解析： 　因为指数函数在上是减函数，且，所以 又因为，，所以。 综上可得，即. 目录 数学·必修第一册 题型二 简单的指数不等式的解法 【例2】　求解下列不等式： （1） 已知，求实数的取值范围； ； 解： 因为，原不等式可化为，由于为增函数，因此指数部分满足，所以的取值范围为. 目录 数学·必修第一册 （2）若，且，求的取值范围. 解： ①当时，函数是减函数，不等式对应指数关系为，移项可得，即，解得 . ②当时，函数是增函数，不等式对应指数关系为，移项可得，即，解得. 综上，当时，的取值范围为；当时，的取值范围为 目录 数学·必修第一册 通性通法 解指数不等式的方法 （1）运用指数型函数的单调性来求解不等式时，需要把不等式的两边都转化为底数相同的指数形式； （2）解不等式 af（ x）＞ ag（ x）（ a ＞0， a ≠1）的依据是指数型函数的 单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就 需进行分类讨论，即 af（ x）＞ ag（ x）⇒ f （ x ）＞ g （ x ）（ a ＞ 1）或 f （ x ）＜ g （ x ）（0＜ a ＜1）. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1.比较下列各组数的大小： (1)    ，；，； 解：(1) 由于指数函数  在  上是增函数（底数大于1），且 ，因此 。 由于，因此函数  在  上是减函数. 因为 ，根据减函数的性质，  目录 数学·必修第一册 2.如果，则的取值范围为___________⁠. 解析：因为， 且在上单调递增， 所以， 即， 解得。 故答案为： (−3, 1) 目录 数学·必修第一册 题型三 利用换元法转化求值 【例3】　函数 y ＝（ ） x ＋（ ） x ＋1的值域为 ⁠. 解析：令 t ＝（ ） x ，则 t ＞0，则原函数转化为 f （ t ）＝ t2＋ t ＋1＝ （ t ＋ ）2＋ ， t ＞0，因为函数 f （ t ）＝（ t ＋ ）2＋ 在（0，＋ ∞）上为增函数，所以 f （ t ）＞1，即原函数的值域为（1，＋∞）. （1，＋∞）　 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　通性通法指的是将某个表达式视为一个统一体，用一个变量来替代它，以此简化问题，这种技巧被称为换元法，其核心在于转换。在本题中，通过设置等于的次方，能够将问题转换为求解二次函数的极值问题，同时，必须留意换元后变量的范围. 目录 数学·必修第一册 题型四 指数函数图象和性质的综合运用 【例4】　已知定义在R上的函数 f （ x ）＝ a ＋ 是奇函数. （1）求 a 的值； 解： ∵ f （ x ）的定义域为R，且 f （ x ）为奇函数， ∴ f （0）＝0，即 a ＋ ＝0，∴ a ＝－ . 目录 数学·必修第一册 （2）判断 f （ x ）的单调性（不需要写出理由）； 解： 由（1）知 f （ x ）＝－ ＋ ， 故 f （ x ）在R上为减函数. 目录 数学·必修第一册 （3）若对任意的 t ∈R，不等式 f （ t2－2 t ）＋ f （2 t2－ k ）＜0恒成 立，求实数 k 的取值范围. 解： ∵ f （ x ）为奇函数， ∴ f （ t2－2 t ）＋ f （2 t2－ k ）＜0可化为 f （ t2－2 t ）＜ f （ k －2 t2）. 由（2）知 f （ x ）在R上为减函数，∴ t2－2 t ＞ k －2 t2， 即3 t2－2 t － k ＞0对于一切 t ∈R恒成立， ∴Δ＝4＋12 k ＜0，得 k ＜－ ，∴ k 的取值范围是 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决涉及指数函数性质的综合应用题时，需掌握以下关键点 （1）留意代数表达式的转换技巧，例如分式的通分运算、多项式的因式分解、配方法，以及分母或分子的有理化过程； （2）务必在函数定义的有效范围内进行解答； （3）由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝ · x3. （1）求 f （ x ）的定义域； 解： 由题意得2 x －1≠0，即 x ≠0， ∴ f （ x ）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 （2）讨论 f （ x ）的奇偶性； 解： 由（1）知， f （ x ）的定义域关于原点对称. 令 g （ x ）＝ ＋ ＝ ，φ（ x ）＝ x3， 则 f （ x ）＝ g （ x ）·φ（ x ）. ∵ g （－ x ）＝ ＝ ＝－ g （ x ）， φ（－ x ）＝（－ x ）3＝－ x3＝－φ（ x ）， ∴ f （－ x ）＝ g （－ x ）·φ（－ x ）＝[－ g （ x ）]·[－φ（ x ）] ＝ g （ x ）·φ（ x ）＝ f （ x ）， ∴ f （ x ）＝ · x3为偶函数. 目录 数学·必修第一册 （3）证明： f （ x ）＞0. 解： 证明：当 x ＞0时，2 x ＞1， ∴2 x －1＞0，∴ ＋ ＞0. ∵ x3＞0，∴ f （ x ）＞0. 由偶函数的图象关于 y 轴对称，知当 x ＜0时， f （ x ）＞0也成 立.故对于 x ∈（－∞，0）∪（0，＋∞），恒有 f （ x ）＞0. 目录 数学·必修第一册 1. 已知，，，则（　　） 解析： 易知，，，所以最小. 因为，，函数在上单调递增，所以，即. 综上， A. B.  C. D.  目录 数学·必修第一册 2. f （ x ）＝2｜ x｜， x ∈R，那么 f （ x ）是（　　） A. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递增 B. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递增 C. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递减 D. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递减 解析： 　由 x ∈R且 f （－ x ）＝ f （ x ）知 f （ x ）是偶函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝2｜ x｜单调递增. 目录 数学·必修第一册 3. 已知函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的图象经过点 .求函 数 g （ x ）＝ （ x ≥0）的最大值. 解：由已知得 a2＝ ，解得 a ＝ ， 则 f （ x ）＝ 在R上是减函数， 因为 x ≥0，所以 x2－2 x ≥－1，所以0＜ ≤3，即函数 g （ x ）＝ （ x ≥0）的最大值为3. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 函数 f （ x ）＝（ ） x 在区间[1，2]上的最大值是（　　） C. 3 解析： 　因为 ＞1，所以指数函数 f （ x ）＝（ ） x 为增函 数，所以当 x ＝2时，函数取得最大值，且最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 2.  如果 ，则  的取值范围为_____ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析: 因为 ，且  y=3x 在  上单调递增，所以 ， 解得 . 故答案为： 目录 数学·必修第一册 3. 函数 f （ x ）的值域为（0，＋∞），且为减函数，则符合要求的函 数 f （ x ）可以为 .（写出符合 条件的一个函数即可） 解析：因为函数 f （ x ）＝ 的值域为（0，＋∞），且是减函 数，所以函数 f （ x ）＝ 即是符合要求的一个函数. f （ x ）＝ （答案不唯一）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 不等式的解集是__________ 解析：得即有，故， 故答案为：. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (−2,+∞) 目录 数学·必修第一册 5. 定义运算： a ⓧ b ＝则函数 f （ x ）＝3－ x ⓧ3 x 的值域 为 ⁠. 解析：由题意得， f （ x ）＝函数 f （ x ）的图象如图实线部分，由图可知 f （ x ） 的值域为（0，1]. （0，1]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $