专题 03有理数的加减法（暑假预习讲义）-2026年人教版数学七年级上册.

专题03有理数的加减法 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 1有理数加法：加法分类法则、运算步骤、加法运算律与简便技巧 2.有理数减法：减法核心法则、加减转化思想、标准解题步骤 3.有理数加减混合运算：算式统一变形、化简规范、分步运算 ✅本节是有理数基础概念的延伸应用，依托相反数、绝对值完成小学加减法的数系拓展，通过加减转化思想、加法运算律，规范有理数加减运算，为后续混合运算、代数式计算打下基础。 ✺学习目标 知识目标：1.掌握有理数加法分类法则与运算律，熟记有理数减法转化法则； 2.理解加减互化的数学思想；掌握有理数加减混合运算的统一变形、算式化简规范。 能力目标：1.能精准计算各类有理数加减基础题型；能将加减混合算式统一为加法和式并规范化简； 2.能灵活运用运算律简便运算，有效规避符号、绝对值、跳步运算等高频错误。 素养目标：培养转化与分类归纳思维，固化“先定符号、后算绝对值”的标准运算逻辑，养成分步、规范、严谨的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.有理数加法运算 题型2.有理数加法中的符号问题 题型3.有理数加法在生活中的应用 题型4.有理数加法运算律 题型5.有理数的减法运算 题型6.有理数减法的实际应用 题型7.有理数的加减混合运算 题型8.有理数加减中的简便运算 题型9.有理数加减混合的应用 题型10.省略加法和括号的形式 题型11.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一 、有理数加法 1.有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 正数加正数：a>0,b>0，a+b=+(|a|+|b|) 负数加负数：a<0,b<0，a+b=-(|a|+|b|) 异号两数相加，绝对值不相等：取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加，和为0。 ◉若a>0,b<0，且|a|>|b|时，则a+b=+(|a|-|b|)； ◉若a>0,b<0，且|a|<|b|时，则a+b=-(|b|-|a|). ◉一个数与0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算律 有理数范围内，加法交换律、结合律依然成立，多用于多数连加的简便化简。 运算律名称 文字表述 字母公式 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) ★简便运算核心技巧：互为相反数优先抵消、同号数优先结合、分数小数凑整结合，简化计算步骤、降低出错概率。 知识点二、有理数减法法则 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数无独立减法运算，全部统一转化为加法运算。 公式：a-b=a+(-b) 示例：3-5=3+(-5)=-2、-4-2=-4+(-2)=-6、(-7)-(-3)=(-7)+3=-4 2. 标准解题两步法 ◉变形步骤：减号变加号，减数变为相反数，被减数保持不变； ◉计算步骤：按照有理数加法法则分步计算结果。 知识点三、有理数加减混合运算 1.算式统一变形：因为减法运算可以转化为加法运算，于是，加减混合运算可统一为加法算式。用式子表示为：a+b-c=a+b+（-c) 示例：3-5+2-7=3+(-5)+2+(-7) 2.加减混合运算完整步骤： ◆所有减法统一转化为加法； ◆去括号、省加号，化简算式； ◆利用加法运算律分组简便运算； ◆分步核算，得出最终结果。 ✺题型◆精讲 题型1.有理数加法运算 1．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：， A错误； 选项B：， B错误； 选项C：， C正确； 选项D：， D错误． 2．计算：______． 【答案】 【详解】解： 3．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 题型2.有理数加法中的符号问题 1．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. 2．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)-10 (2)-10 【分析】（1）先去括号，再添括号，将正数和负数分开计算，再作减法即可； （2）将小数部分相同的或能凑整的放在一起计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算．计算含小数的式子时，可先观察，可将小数部分相同或能凑整的放在一起计算，这样能简化计算过程，避免出错．括号前是“＋”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“＋”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“−”，添括号后，括号里的各项都改变符号． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得 ：． 2．某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 【答案】 甲 180 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量进行比较； （2）将方案列出来找到最大值即可． 【详解】解：（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量： 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； ， 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元； （2）方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 4 2 0 0 3 3 0 0 6 0 0 0 5 1 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 4 0 1 1 3 1 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 4 0 0 2 3 1 0 ∴如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人． 3．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 【答案】(1) (2)从左到右依次为，，，，，，， (3)总质量为198千克，平均每筐质量为千克． 【分析】（1）根据包装质量的要求，即可选出基准数． （2）将每个数减去基准数，即可求出每筐质量与基准数的相差数． （3）利用有理数的加法法则即可求出总质量，根据总质量筐数即可求出每筐的质量． 【详解】（1）解：包装质量为每筐26千克， 选取的恰当基准数为26． （2）解：选取的基准数为26千克， ，，，，，，，， 从左往右依次是，，，，，，，． （3）解：， 8筐水果的总质量为（千克）． 平均每筐的质量为（千克）． 题型4.有理数加法运算律 1．嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 2．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查加法交换律和加法结合律的应用． （1）利用加法交换律求解； （2）利用加法结合律求解； （3）利用加法交换律和结合律求解． 【详解】（1）解：根据加法交换律，两个数相加，交换加数的位置，和不变， 因此，， 故答案为； （2）根据加法结合律，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变， 为了计算简便，将负数结合：， 故答案为，； （3）观察发现，与相加得，与相加得， 因此， 故答案为,． 3．计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 题型5.有理数的减法运算 1．计算：（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则计算即可．有理数减法法则为：减去一个数等于加上这个数的相反数． 【详解】解： ． 2．如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______． 【答案】 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴，之间的距离为． 3．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 题型6.有理数减法的实际应用 1．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用最高温度减最低温度即可． 【详解】解：． 2．武汉地区春季日均最高气温为，最低气温为，则日均最高气温比最低气温高______． 【答案】 【分析】需用最高气温减去最低气温，再根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：由题意列算式得：． 3．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1)29 (2)本周实际销售总量达到了计划数量 (3)小明本周一共收入3585元 【分析】（1）根据最大正数和最小负数的差值得出结论即可； （2）根据所有差值的和的正负来判断即可； （3）根据售价运费得出收入即可． 【详解】（1）解：（斤）； （2）解：（斤）； 本周实际销售总量达到了计划数量； （3）解：（元）， 答：小明本周一共收入3585元． 题型7.有理数的加减混合运算 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．_______ 【答案】 【分析】按照从左到右的运算顺序，结合有理数加法法则计算即可． 【详解】解：． 3．规定表示某种新计算：；计算：（） 【答案】 【分析】新定义题型，本质是等量代换，用具体数值将代换，一步一步计算即可解出答案． 【详解】解：∵， ∴， （）． 题型8.有理数加减中的简便运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，先写成省略括号和加号的形式，然后同分母的先相加进行简便运算． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A 2．_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，裂项作差解答． 根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2) 【答案】(1)21 (2)5055 【分析】（1）把代分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加； （2）把带分数的整数部分和分数部分拆开，利用加法交换律和结合律，把整数部分与分数部分分别相加，计算分数部分的和时，利用公式“（首项末项）项数”进行简便计算． 【详解】（1）解：方法： ； 方法2： ； （2）解： ． 题型9.有理数加减混合的应用 1．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小李某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是（   ） 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： A．支出元B．收入元 C．收入元 D．支出元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减的应用，将收支记录相加，即可求解． 【详解】解：，即表示小李当天微信收支的最终结果是支出元 故选：D． 2．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 11 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：（分钟）， 整理小实验台：（分钟）； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费（分钟）； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在10分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个大实验台和一个小实验台的步骤③，耗时2分钟是包含在前面两人的10分钟里的，然后等学生1和学生2两人做完后，学生再分别整理小试验台的步骤③，耗时1分钟，所以一共是（分钟）． 3．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 【详解】略． 题型10.省略加法和括号的形式 1．把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 2．把写成省略加号和括号的形式______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先将减法转化为加法，再省略加号和括号即可得到省略形式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． ✺巩固测试 一、单选题 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故本选项计算错误． B、，故本选项计算错误． C、，故本选项计算错误． D、，故本选项计算正确． 3．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． 将每个减法转化为加法，并改变减数的符号即可． 【详解】解：第一个减号： 转化为 ； 第二个减号： 转化为 ； 因此，原式转化为： 故选 B． 4．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 【答案】C 【分析】小明通过重新排列和分组项，简化了计算过程，运用了加法交换律改变项的顺序，并运用加法结合律改变分组． 【详解】解： ， 通过加法交换律，将 与 交换位置， 可得：原式， 再通过加法结合律，分组为 ， 该同学运用了加法交换律和结合律． 故选：C． 二、填空题 5．把写成省略加法和括号的形式是___________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需要将原式中的括号省略，只保留数字和运算符号。根据有理数减法法则：减去一个数等于加上它的相反数，将减法转化为加法，进行求解即可． 【详解】解：写成省略加法和括号的形式是：． 故答案为：． 6．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，两两一组分别计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 【答案】 【分析】本题考查正负数的意义，解题思路为以米作为基准0点，高于基准水位的差值记为正数，低于基准水位的差值记为负数，计算目标水位与基准水位的差值即可求解． 【详解】解：由题意可知，调度基准水位为米，即点，高于基准水位记为正，低于基准水位记为负． 当水位降至 米时，计算得： 因此水位降至 米时，应记作米． 8．已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与有理数的减法运算，需先根据给定定义分别求出和的值，再利用有理数减法法则计算最终结果． 【详解】解：∵， ； ∵， ∴； ∴， 故答案为：． 9．某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 【答案】 29 乙-丙-甲-丁 【分析】第一问需按给定顺序梳理冲压与组装生产线的时间线，考虑组装需同时满足零件完成冲压和组装线空闲两个条件，计算全部完成的最晚时间；第二问通过分析各零件两道工序的时间关系，优化排序以减少组装线等待时间，从而得到最短总时间的冲压顺序． 【详解】解：第一空计算： 按甲-乙-丙-丁的顺序进行冲压： 冲压生产线总耗时：（分钟） 组装生产线作业时间线分析： 甲在第8分钟完成冲压，随即开始组装，至分钟完成组装 乙在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（14分钟）后启动，至分钟完成组装 丙在第分钟完成冲压，此时组装线刚好空闲，至分钟完成组装 丁在第分钟完成冲压，需等待组装线空闲（27分钟）后启动，至分钟完成组装， ∴全部零部件完成加工的最晚时间为29分钟． 第二空最优排序推导： 为缩短总加工时间，需减少组装生产线的等待时间，按以下逻辑排序： 冲压时间小于组装时间的零件（乙、丙），按冲压时间从小到大排序，即乙在前、丙在后， 冲压时间大于组装时间的零件（甲、丁），按组装时间从大到小排序，即甲在前、丁在后， 将两类零件组合，冲压时间小于组装时间的零件组排在前，大于组装时间的零件组的排在后，得到最优冲压顺序为乙-丙-甲-丁． 故答案为：29，乙-丙-甲-丁． 三、解答题 10．计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，关键是运用加法交换律和结合律，将同分母的数结合凑整，简化计算流程．首先根据去括号法则去掉原式中的括号，再将同分母的带分数与分数分组结合，最后分别计算各组结果并求和． 【详解】解：原式 ． 11．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3)18 (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 13．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 【答案】(1)B (2)6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是157万元，理由见解析 【分析】（1）分别计算向各经销商分配台时的总利润，比较即可得答案； （2）分别求出分配给一家时，两家时，三家时，四家时的最大利润，比较即可得答案． 【详解】（1）解：当向经销商分配台设备时， 即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； 当向经销商分配台设备时，即，总利润为万元； ， 为使台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商分配台设备； （2）解：台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元，理由如下： 当分配给一家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给两家时，总利润的最大值为，万元； 当分配给三家时，有： ，利润为万元； ，利润为万元； ，利润为万元； 此时，总利润的最大值为，万元； 当分配四家时，总利润的最大值为，万元； ， 台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是万元． 14．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03有理数的加减法 暑假预习讲义 （人教版◆新教材） ✺知识框架 1有理数加法：加法分类法则、运算步骤、加法运算律与简便技巧 2.有理数减法：减法核心法则、加减转化思想、标准解题步骤 3.有理数加减混合运算：算式统一变形、化简规范、分步运算 ✅本节是有理数基础概念的延伸应用，依托相反数、绝对值完成小学加减法的数系拓展，通过加减转化思想、加法运算律，规范有理数加减运算，为后续混合运算、代数式计算打下基础。 ✺学习目标 知识目标：1.掌握有理数加法分类法则与运算律，熟记有理数减法转化法则； 2.理解加减互化的数学思想；掌握有理数加减混合运算的统一变形、算式化简规范。 能力目标：1.能精准计算各类有理数加减基础题型；能将加减混合算式统一为加法和式并规范化简； 2.能灵活运用运算律简便运算，有效规避符号、绝对值、跳步运算等高频错误。 素养目标：培养转化与分类归纳思维，固化“先定符号、后算绝对值”的标准运算逻辑，养成分步、规范、严谨的解题习惯。 ✺题型归纳 题型1.有理数加法运算 题型2.有理数加法中的符号问题 题型3.有理数加法在生活中的应用 题型4.有理数加法运算律 题型5.有理数的减法运算 题型6.有理数减法的实际应用 题型7.有理数的加减混合运算 题型8.有理数加减中的简便运算 题型9.有理数加减混合的应用 题型10.省略加法和括号的形式 题型11.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一 、有理数加法 1.有理数加法法则 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 正数加正数：a>0,b>0，a+b=+(|a|+|b|) 负数加负数：a<0,b<0，a+b=-(|a|+|b|) 异号两数相加，绝对值不相等：取绝对值较大的加数的符号，用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加，和为0。 ◉若a>0,b<0，且|a|>|b|时，则a+b=+(|a|-|b|)； ◉若a>0,b<0，且|a|<|b|时，则a+b=-(|b|-|a|). ◉一个数与0相加，仍得这个数。 2.有理数加法运算律 有理数范围内，加法交换律、结合律依然成立，多用于多数连加的简便化简。 运算律名称 文字表述 字母公式 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a+b)+c=a+(b+c) ★简便运算核心技巧：互为相反数优先抵消、同号数优先结合、分数小数凑整结合，简化计算步骤、降低出错概率。 知识点二、有理数减法法则 1.有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数无独立减法运算，全部统一转化为加法运算。 公式：a-b=a+(-b) 示例：3-5=3+(-5)=-2、-4-2=-4+(-2)=-6、(-7)-(-3)=(-7)+3=-4 2. 标准解题两步法 ◉变形步骤：减号变加号，减数变为相反数，被减数保持不变； ◉计算步骤：按照有理数加法法则分步计算结果。 知识点三、有理数加减混合运算 1.算式统一变形：因为减法运算可以转化为加法运算，于是，加减混合运算可统一为加法算式。用式子表示为：a+b-c=a+b+（-c) 示例：3-5+2-7=3+(-5)+2+(-7) 2.加减混合运算完整步骤： ◆所有减法统一转化为加法； ◆去括号、省加号，化简算式； ◆利用加法运算律分组简便运算； ◆分步核算，得出最终结果。 ✺题型◆精讲 题型1.有理数加法运算 1．下列各式运算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．计算：______． 3．计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 题型2.有理数加法中的符号问题 1．下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 2．将改写成省略加号的和的形式应为__________． 3．计算 (1)； (2)． 题型3.有理数加法在生活中的应用 1．某地一天早晨的气温是，到中午升高了，则中午的气温是（     ） A． B． C． D． 2．某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 3．有一批水果，包装质量为每筐26千克，现抽取8筐样品进行检测，结果称重如下（单位：千克）27，24，23，28，21，26，22，27，为了求8筐样品的总质量，我们可以选取一个恰当的基准数进行简化运算． (1)你认为选取的一个恰当的基准数为________ (2)根据你选取的基准数，用正、负数填写下表（单位：千克）： 原质量 27 24 23 28 21 26 22 27 与基准数的差距 (3)这8筐水果的总质量是多少？平均每筐质量是多少？ 题型4.有理数加法运算律 1．嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 2．根据加法运算律填空： (1)________； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)； (3)； 题型5.有理数的减法运算 1．计算：（ ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上的两点，分别表示的数为，，则，之间的距离为______． 3．习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 题型6.有理数减法的实际应用 1．如图是长春某一天的天气预报，则长春这一天的温度差为（     ） 多云 气温： A． B． C． D． 2．武汉地区春季日均最高气温为，最低气温为，则日均最高气温比最低气温高______． 3．随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤； (2)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (3)若冬季每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？ 题型7.有理数的加减混合运算 1．与相等的是（     ） A． B． C． D． 2．_______ 3．规定表示某种新计算：；计算：（） 题型8.有理数加减中的简便运算 1．计算的结果为（   ） A． B． C．1 D．5 2．_______． 3．计算： (1)； (2) 题型9.有理数加减混合的应用 1．手机移动支付给生活带来便捷，如图是小李某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小李当天微信收支的最终结果是（   ） 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： A．支出元B．收入元 C．收入元 D．支出元 2．化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 3．做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 题型10.省略加法和括号的形式 1．把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 2．把写成省略加号和括号的形式______． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ✺巩固测试 一、单选题 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．把转化成几个有理数相加的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．小明同学在解题时，将式子变成后再进行计算，该同学运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．乘法分配律 二、填空题 5．把写成省略加法和括号的形式是___________． 6．计算：________． 7．为确保北江干流航运安全，水利部门实施“上补下蓄”联合调度．其中，飞来峡水库的航运安全临界水位为23.5米，被设定为调度基准点（即0点），在一次调度中，若监测到水库水位上升至24.8米，记作+1.3米．那么，当水位降至22.9米时，应记作__________米． 8．已知表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则______． 9．某工厂需要加工4种零部件，每个零部件需要先经过冲压工序，再经过组装工序．两道工序分别在两条生产线上完成，各零部件在两道工序上的所需时间（分钟）如下表： 零部件 甲 乙 丙 丁 冲压时间 8 3 7 5 组装时间 6 4 9 2 若按零部件顺序甲-乙-丙-丁依次进行冲压，则全部零部件完成加工至少需要_________分钟；若要使全部零部件完成加工的时间最短，则冲压工序应按_________的先后顺序加工零部件． 三、解答题 10．计算：． 11．计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 12．计算： (1)； (2)； (3) (4)； 13．某企业研发并生产了一种新设备，计划分配给A，B，C，D四家经销商销售．当一家经销商将分配到的n台设备全部售出后，企业从该经销商处获得的利润（单位：万元）与n的对应关系如下： … A 40 60 / / / / / B 30 55 75 90 100 105 / C 20 40 60 70 80 90 … D 14 38 62 86 110 134 … (1)如果企业将5台设备分配给这四家经销商销售，且每家经销商至少分配到1台设备，为使5台设备都售出后企业获得的总利润最大，应向经销商______分配2台设备（填“A”“B”“C”或“D”）； (2)如果企业将6台设备分配给这四家经销商中的一家或多家销售，那么6台设备都售出后，企业可获得的总利润的最大值是多少万元？简单地说明理由． 14．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $