14 函数综合-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(苏教版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (十四)函数综合 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x1<x<6},B={x2≤8}，则A∩B= A.{x|1<x≤3} B.{xx<6》 C.{x3≤x<6 D.{xx≤3} 2.函数f(x)=lg(x+5)+(x一1)°的定义域是 A.(-5,+∞) B.(-5,1) C.(-5,1)U(1,+o) D.(1,+∞) 3.已知函数f(x)=x3+2x,则不等式f(x+1)+f(2一2x)>0的解集是 A.(-o∞，3) c.(-3+∞ D.(3,十∞) 4.函数f(x)=1og2(cos2x)的单调递减区间和值域分别为 A.[2kx,5+2x](k∈Z),R B.(2km,+2kπ)(k∈Z),R C.[kπ，至+k元]（∈Z),(-∞，0] D.[km,平+kxk∈Z,(-∞，0] 5.已知a∈(1,2)，i记=log如a,y=-log.sina,=log。tana,则 A.I<<y B.y<x< C.<<y D.I<y< 数学（苏教版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.核燃料是重要的能量来源之一，在使用核燃料时，为了冷却熔化核燃料，可以不断向 反应堆注入水，但会产生大量放射性核元素污染的冷却水，称为核废水.核废水中含 有一种放射性同位素氚，它有可能辐射损伤细胞和组织，影响生物的繁殖和生态平 衡，已知氚的半衰期约为12年，半衰期公式为：N=N,(号)广N。为初始值，T为半衰 期，1为时间，则氚含量变成初始量的10000大约需要经过 (注：1g2≈0.3010) A.155年 B.159年 C.162年 D.166年 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列函数中，值域为(0，十∞)的是 A.y=x2 B.y=2 C.y=2 D.y=3x-1 8.已知[x]是表示不超过x的最大整数（例：[一1.1]=一2，[1.9]=1），则下列说法错 误的是 A.函数f(x)=[sinx]是周期函数，最小正周期是2π B.函数g(x)=x一[sinx]是周期函数，最小正周期是4π C.若函数h(x)=√J1+sinx,则[h(x)]的值域是{0,1} D.当x∈[-π，π]时，函数t(x)=x-[x]-|cosx的零点有5个 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知幂函数f(x)满足Hx≥0，f(x)=f(一x)<f(x十2)，则此函数可以是f(x)= .(写出一个满足条件的答案即可) ”高一同步周测卷十四 数学（苏教版）必修第一册第2页（共4页） 1o.已知函数f(x)=tan(awx十p)(w>0,lp<乏)的图象如图所示，图中阴影部分的面 积为6π，则9= 6 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 计算： 1)sn38昭+cos1g9+tam-254）十10：： (2)1og2√8-log827·log2-5,9-lg3 0 -lg30. 数学（苏教版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况 下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港 口记录的水面深度(y)与时间(x)的关系表： x(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 (1)请从y=a.x十b,y=Asin(wx十p)十B,y=cos(wx十p)这3个函数中选择一个函 数近似描述某天这个港口的水面深度(y)与时间(x)的函数关系，不需要说明理由； (2)请根据你对(1)的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； (3)依照(2)中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安 全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在什么时 间段能安全进出港口？要使该货船能卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少 时间？ 13.（本小题满分20分) 已知函数f(x)=ln(√I+xz-a.x)是奇函数，且f(1)>0. (1)求a的值； (2)判断f(x)的单调性，并证明； (3)若对任意实数x,不等式f(4sinx十cosx一3)+f(m)<0恒成立，求m的取值 范围. 高一同步周测卷十四 数学（苏教版）必修第一册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ① ②③④ ⑤⑥ 档次 系数 指数不等式与交集 1 选择题 易 0.80 的综合 2 选择题 5 函数的定义域 易 0.75 利用函数奇偶性与 3 选择题 中 0.65 单调性解不等式 复合函数的单调性 4 选择题 5 / 中 0.55 及值域 选择题 比较大小 中 0.45 指数函数模型的实 6 选择题 5 中 0.30 际应用 7 选择题 6 求简单函数的值域 中 0.50 与三角函数有关的 选择题 6 难 0.28 新定义题 与幂函数有关的开 9 填空题 易 0.71 放题 10 填空题 正切型函数的图象 / 分 0.35 指、对数运算、三角 11 解答题 13 中 0.60 函数知角求值 三角函数的实际 12 解答题 15 中 0.45 应用 对数型复合函数与 13 解答题 20 中 0.35 三角函数的综合 套考答案及解析 一、选择题 所以f(x十1)+f(2-2x)>0,即f(x+1)>-f(2 1.A【解析】由2≤8，解得x≤3，所以B= 2x)=f(2x一2)，又f(x)单调递增，所以x十1>2.x {x|x≤3}，所以A∩B={x1<x≤3}，故选A. 2,解得x<3,即不等式的解集为(-∞，3).故选A 2C【解折】由题意得仁解得>-5且≠ 4.D【解析】由题知0<cos2x≤1，则2kr-受<2x< 1,故函数的定义域为(-5,1)U(1,十∞).故选C 2kπ十交，k∈Z,即k元-于<x<km十于，k∈Z,又y 3.A【解析】易知f(x)为奇函数且为R上的增函数， ·51· ·数学（苏教版）必修第一册· 参考答案及解析 =log2x为(0，十∞)上的增函数，且log1=0,所以 由图象可知，它们在[一π，π]内有6个交点，故D错 所求函数的值域为（一∞，0]；函数f(x) 误.故选BD l1og2(cos2x)的单调递减区间即为函数y=cos2x在 三、填空题 (kx一平，kπ十于)(k∈Z)上的减区间，所以2kπ≤ 9.x(答案不唯一)【解析】令幂函数f(x)=x(a为 常数)，题中没有给出∫(x)的定义域的限制信息，因 2x<受+2kπ(k∈Z),解得所求单调递减区间为 此∫(x)的定义域可为R.由“Hx≥0，f(x)= f(-x)”,可知函数f(x)是偶函数.又Hx≥0， kπ，于十x)(k∈Z).故选D. f(x)<f(x十2)，则a可以取正偶数，所以此函数可 5.D【解析】依题意得平<1<a<号<受，则有0< 以是∫(x)=x2,f(x)=x,… 10.-号【解析】设f(x)的最小正周期为T,则TX cosa<sina<l<tana,且tana>a,因此logsina<0, 0<logsin a<logocos a=1,log,tan a>log a= [2-（-1)门=3T=6m,解得T=2π，所以无=2x, 1,所以x<yx.故选D. 6.B【解析】设氚含量变成初始量的1000大约需要 w=子，所以f(x)=an(分x十p）小，由图可知 经过1年，则（号）产=可0立-lbg时0o,两边 t f(若)=ian(8十p)=-1,由-受<9<受，得 同时取倒数得是= 1 登<十是<登，所以危十=一子解得 10g5107= 一41og÷10 一宁g合-子g2两边同时取倒数整理得1一 48 3 四、解答题 0≈150年，故选B 11.解：(1)原式=sin(6r+)十cos(5m+号) 二、选择题 7.CD【解析】对于A,y=x的值域为[0，十∞)，A 十tam(-6r-）+105- 错误：对于B,y=二的值域为(-∞，0)U =sin吾-os号-an 6 十10号 4 (0,十∞)，B错误对于C,y=2的值域为 1 (0,十∞)，C正确；对于D,y=31的值域为 2 子1+器- (6分) (0,十∞)，D正确.故选CD. (2)原式=10g22产- log338·l0g:2-9- 8.BD【解析】对于A,因为y=sinx的最小正周期是 2π，即sinx=sin(x十2π)，所以f(x十2π)= g(号×30) Lsin(x十2π)]=[sinx]=f(x),所以函数f(x)= =多-1-9-2=-29 (13分) [sinx]是周期函数，最小正周期是2π，故A正确：对 2 2 于B,因为g(x)=x-[sinx],则g(x+4π)=x十4π 12.解：(1)选y=Asin(m.x+o)+B. (4分) -[sin(x+4π)]=x十4π-[sinx]≠g(x),所以4π (以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐 不是函数g(x)的最小正周期，故B错误；对于C,因 标系中作出对应的各点，根据图象可考虑用函数y 为sinx∈[-1,1]，所以1十sinx∈[0,2]，h(x)= =Asin(wx十p)十B近似描述这个港口的水深与时 √1十sinx∈[0，√2]，所以当h(x)∈[0,1)时， 间的函数关系.) [h(x)]=0;当h(x)∈[1√2]时，[h(x)]=1,则 [h(x)]∈{0,1，故C正确；对于D,函数t(x)=x一 [x]-cosx的零点就是函数y=x一[x]与y= cosx的图象的交点的横坐标，其中，函数y=x [x]是周期为1的函数，其值域为[0,1)，当x∈ [-元，π]时，函数y=x一[x]与y=cosx的图象 如下： 691215182124x y=cos xl (2)由已知数据结合图象可得A=2.5,B=5,T= =x-[x] 12w-牙=若， 故fx)=2.5sim(晋x+g）+5. ·52· 高一周测卷 ·数学（苏教版）必修第一册· 又f(0)=2.5sine十5=5，可取p=0, 所以f(m)-f(n)=lh(√个++n)-ln(√1+ 所以fx)=2.5sin晋x+5. (10分) +6)=1n十+4 (3)由题意可得y=2.5sin晋x+5, √/I十x十x2 又0≤x1<x2, 则2.5sin若x+5≥6.25， 所以√1十x<√+x, 所以0<√/个十x十x<√1十x十x2, 即sin≥号 1 所以0<中+<1， 所以晋十2m≤晋<晋+2xk∈Z, √/1十x+x2 解得1+12k≤x≤5十12k,k∈Z, 所以ln +十4<0， V/1十x十x4 又0≤x≤24， 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 则取k=0,可得1x5: 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增， 取k=1,可得13≤x≤17， 又f(x)是奇函数且定义域为R, 所以该船可以在1点进港，5点离港，或13点进港， 所以f(x)在（一∞，十∞）上单调递增. (12分) 17点离港， 所以卸货最多只能用4个小时时间. (3)若对任意实数x,不等式f(4sinx十cosx-3)+ (15分) f(m)<0恒成立， 13.解：(1)因为函数f(x)=ln(√/+x-ax)是一个 f(4sin r+cos x-3)<-f (m), 奇函数， 又∫(x)是奇函数， 所以f(x)+f(-x)=0, 所以f(4sinx+cosx-3)<f(-m), (17分) 即ln(√个+x-a.x)十ln(√1+xz+a.x)=0, 又f(x)在（一∞，十∞）上单调递增， 可得（√1+x-ax)(√I+x2+a.x)=1, 所以4sinx十cosx-3<-m对任意实数x恒成立， 即(1十x2)-a2x2=1, 4sin2x+cos x-3=4(1-cos2x)+cos x-3 所以(1-a)x2=0, =-4cos2x+cos x+1 则1-a=0,解得a=1或a=-1. (4分) 112,17 当a=1时，f(x)=ln(√I十x-x), -4(cosx-8)+16: 此时f(1)=ln(√个+1F-1)<0,不符合题意； 所以当cosx=8时，4sinx十cosx一3取得最大 (5分) 当a=-1时，f(x)=ln(√/个+x+x), 此时f(1)=ln(√/1+1产+1)>0，符合题意， 综上a=一1. (6分) 所以装←一 (2)f(x)在R上单调递增， 解得<品， 证明如下： 不妨设0≤x1<x2, 即m的取值范围是(-6©，名)】 (20分) 由(1)得f(x)=ln(√/1+x+x), ·53·