第八章 函数应用（压轴题专练）-2023-2024学年高一数学单元速记·巧练（苏教版2019必修第一册）

第八章 函数应用（压轴题专练） 题型一　一次函数、二次函数、分段函数模型 【例1】　某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数： H(x)＝ 其中x是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 思维升华　 1．利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法及利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 2．应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的最值求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． 巩固训练 1．在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数为R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差． (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)； (2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大值？ 2．新能源汽车包括纯电动汽车、增程式电动汽车、混合动力汽车、燃料电池电动汽车、氢发动机汽车、其他新能源汽车等，它是未来汽车的发展方向．一个新能源汽车制造厂引进了一条新能源汽车整车装配流水线，这条流水线生产的新能源汽车数量x(辆)与创造的价值y(万元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为40 000辆时，创造的价值达到最大6 000万元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到5 625万元，则它可能生产的新能源汽车数量是________辆． 题型二　指数型、对数型函数模型 【例2】　科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝a·lg(a是常数)，其中I0＝1×10－12瓦/平方米，如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10－11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝． (1)已知生活中几种声音的强度如表： 声音来源 风吹落叶沙沙声 轻声耳语 很嘈杂的马路 强度I(瓦/平方米) 1×10－11 1×10－10 1×10－3 强弱等级L(分贝) 10 m 90 求a和m的值； (2)为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I的最大值． 思维升华　 指数型、对数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型：y＝max(a>0，a≠1，m≠0)．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示． (2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0，a≠1)．对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解． (3)指数型、对数型函数应用题的解题思路：①依题意找出或建立数学模型， ②依实际情况确立解析式中的参数，③依题设数据解决数学问题，④得出结论． 巩固训练 1．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一定时间t后的温度是T，则T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那么降温到35 ℃时，需要多少时间？(参考数据：lg11≈1．04，lg 2≈0．30) 2．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超出A万元，则超出部分按log5(2A＋1)进行奖励．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)． (1)写出奖金y关于销售利润x的关系式； (2)如果业务员小江获得3．2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 题型三　判断函数零点(方程根)的个数 【例3】　已知函数f(x)＝e－x＋x2－3x＋1，则函数f(x)的零点个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 巩固训练 1．已知0＜a＜1，则函数y＝a|x|－|logax|的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 题型四　已知函数零点个数求参数的取值范围 【例4】　已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)