15 用样本估计总体-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(湘教版)

高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十五） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 样本数字特征的 选择题 易 0.80 选择 利用样本平均数估 选择题 易 0.75 计总体平均数 平均数与方差的 3 选择题 5 易 0.72 性质 4 选择题 折线统计图 分 0.55 选择题 扇形统计图 中 0.45 统计知识的综合 6 选择题 5 中 0.35 应用 频率分布直方图的 7 选择题 6 中 0.50 应用 样本数字特征的 选择题 6 中 0.35 综合 平均数与众数的 9 填空题 5 易 0.90 计算 平均数、方差与基本 10 填空题 5 中 0.40 不等式的综合 利用平均数与方差 11 解答题 13 中 0.60 选择方案 频率分布直方图，方 12 解答题 15 中 0.45 案设计问题 百分位数，分层随机 13 解答题 20 抽样中的均值与方 分 0.35 差等的综合 叁考答案及解析 一、选择题 、 2.C 【解析】由已知得x=100-10-15-25-20-10 1.C【解析】因为29位学生的预赛成绩的中位数是第 15名，所以知道中位数即可判断是否在前15.故 =20,估计总体的平均数为20×品30×品十40 选C. ·59· ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 ×品+0×荒+60×器+70×品=16故选C 40,D正确.故选ACD. 100 100 8.ACD【解析】对于A,因为中位数为3，众数为5，所 3.C【解析】根据题意，x1,x2,x3,x1的平均数是x= 以这7个数从小到大排列后，第4个数是3，所以1， 4,方差s2=2,则2x1十3,2x2十3,2x十3,2x1十3的 2,3中一定有一个数出现2次，5出现3次，所以这7 平均数为2×4十3=11，方差为22×2=8.故选C. 个数中一定没有出现7，则A正确：对于B,因为中位 4.A【解析】由折线统计图可知，甲、丙的平均数的水 数为4，极差为3，所以这7个数可以是4,4,4,4,4,4， 平线高于乙、丁的平均数水平线，即甲、丙的成绩相对 7,则B错误；对于C,若出现1个7，则这7个数从小 较好；显然，比较甲、丙的折线图可知，甲的成绩相对 到大排列后，后4个数之和最小为19，前3个数之和 于平均成绩的波动幅度小于丙的成绩相对于平均成 绩的波动幅度，即甲的成绩更稳定，所以这四人中甲 最小为3，从而这7个数的平均数最小为号>3，即这 的成绩好又发挥稳定，故选A 7个数的平均数不可能为3，故不会出现7，则C正 5.C【解析】对于A,由图可得中国有机燕麦消费者中 确；对于D,设这7个数分别为x1,x2,x3,x1,x,x6, 女性与男性占比分别为69.2%，30.8%，而30.8%× x7,则x1十x2十x3十x1十x5十x6十x7=21,(x1-3)2 2=61.6%69.2%,故A错误：对于B,中国有机燕 十(x2-3)2+(x3-3)2+(x1-3)2+(x-3)2十 麦消费者月收入不高于15000元的占比为1一4% (x6-3)2+(x7-3)2=21.若x1=7,则x2十x4十x 11.1%=84.9%<85%,故B错误；对于C,中国有机 十x5+x6+x=14,(x2-3)2十(x3-3)2+ 燕麦消费者中年龄在31~40岁的占比为57.7%，故 (x1-3)2+(x5-3)2十(x6-3)2十(x7-3)2=5, C正确：对于D,中国有机燕麦消费者收入构成占比 从而x2,x,x1,x,x6,x7这6个数可能是4,4,4,4， 中的5个百分数的中位数是11.5%，故D错误.故 4,3或4,4,4,4,3,2或4,4,4,3,2,2或4,4,3,2,2,2 选C. 或4,3,2,2,2,2或3,2,2,2,2,2或5,4,3,3,3,3或 6.C【解析】由于x,-x,-1=2(2≤i≤10)，故x2=x1 5,3,3,3,3,2或43,3,3,3,1或3,3,3,3,2,1，这与 十2，x=x1十4，…，xg=x1十16，x10=x十18，对于 x2十x3十x1十x:十x:十x?=14矛盾，即这7个数中 A,原来的极差为x10一x1=18,去掉1，x1o后，极差 一定没有出现7，则D正确.故选ACD. 为x,一x2=14,极差变小，故A错误；对于B,原来的 三、填空题 平均数为4十x2十…十x0.101十90 10 10 =x1十9，去掉 9.36【解析】因为37出现4次，其余出现次数不超过 3次，可知众数为37，由题意可得 x1x0后的平均数为2十十…十工=8十72 8 3637+35+37+39十a+37+37+38+38=37,解 10 十9，平均数不变，故B错误；对于C,原来的方差为 得a=36 (x1一2x1-9)2十(x2-x1-9)2+…十(x10-x1-9)2 1 2 10 10.126【解析】对x十y=方，>0，有3x千3 =33,去掉x1,x16后的方差为 2 2 4 (x2-x1-9)2十(x4-x1-9)2十…十(xg-x1-9)8 3Vzy 8 5 =21,方差变小，故C正确；对于D,10×25%=2.5, 2 2 -1 从小到大排列，选第3个数作为第25百分位数，即 -1=9.且当x=y=6时，有3x子33/后 x,8×25%=2,故从小到大排列，选择第2个和第3 =9,所以1，x2,x,无1，x5的平均数为9.由于这5 个数的平均数作为第25百分位数，即工，由于 个数据的方差为4，故(x1-9)2十(x2-9)2+ 2 (x4-9)2+(x1-9)2十(x6-9)2=20.由于这5 x,<飞，去掉1，x0后第25百分位数变大，故D 个数据两两不同，所以只可能有{x一9，x2一9，x 2 错误.故选C 9,x1-9,x5-9}={0,-1,1,一3,3}，从而{x1,x2, 二、选择题 x3,x1,x5}={6,8,9,10,12},这就得到最大数据为 12,极差为12一6=6. 7.ACD【解析】对于A,由10×(0.010+0.015+ 0.035十a+0.010)=1,得a=0.030,A正确：对于B, 四、解答题 由频率分布直方图知，每组的频率依次为0.10， 1,解：()由表可知甲的优秀率为言， (2分) 0.15,0.35,0.30,0.10,故这100个脐橙果径的平均 乙的优秀率为 5 数为x=55×0.10十65×0.15十75×0.35十85× (4分) 0.30十95×0.10=76.5，B错误；对于C,前三组的频 率和为0.10十0.15+0.35=0.6，因此这100个脐橙 (2)甲运动员6次射击成绩的平均数为1=名× 果径的第60百分位数为80，C正确；对于D,果径不 (10+9+7+8+10+10)=9, (5分) 少于80mm的频率为0.30十0.10=0.40，故这100个 脐橙中果径不少于80mm的个数约为100×0.40= 所以甲运动员6次射击成绩的方差为=吉×[3× ·60· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 10-9)2+(9-9)+(1-9)+(8-9)产门=号， 13.解：(1)由表可知这40个用户评分按从小到大排列 如下：63,66,72,73,74,74,75,76,76,76,77,78,78， (7分) 78,79,79,80,81,81,81,82,82,83,83,84,84,85 乙运动员6次射击成绩的平均数为x2= 1×(10寸 85,86,86,88,88,89,89,91,92,93,95,96,97 因为40×21%=8.4,40×95%=38， 6+10+10+9+9)=9, (9分) 所以这40个用户评分的第21,95百分位数分别为 所以乙运动员6次射击成绩的方差为=司 第9项数据和第38项和第39项数据的平均数， [3×(10-9)2十(6-9)2+2×(9-9)2]=2， (4分) (11分) 分别为76,9596=95.5， 2 因为x1=x2,ss号， 据此估计该地区所有用户评分的第21,95百分位数 所以甲、乙两名运动员的平均成绩相同， 分别约为76和95.5. (6分) 但是甲运动员的射击成绩更稳定，所以甲运动员的 (2)设丢失数据为m, 射击成绩更好 (13分) 12.解：(1)，(0.005×3+2a十0.03+0.015)×(35 则x=（92+84+86+78+89+74+78+77十89 25)=1, (1分) 十m)=83, a=0.02. (2分) 解得m=83, (2)每日人均业务量的平均值为：(30×0.005十40× 0.005+50×0.02+60×0.03+70×0.02+80× 所以=六×[(92-83)+(84-83)+(86-83) 0.015+90×0.005)×10=62, (4分) +(78-83)2+(89-83)2+(74-83)2+(78-83) 方案①人均日收入为：100十62×2=224元，(5分) 十(77-83)2+(89-83)2+(83-83)2]=33， 方案②人均日收入为：200十(62-50)×4=248元， 由题意知评分在(83-√33,83+√33)，即 (6分) (77.26,88.74)内的满意度等级为“A级”，(10分) 248元>224元， 样本中评分在(77.26,88.74)内的有5人， .选择方案② (8分) 则可估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的 (3)40÷400=0.1,即该销售员收入超过了90% 的公司销售人员， 百分比约为品×100%=50%. (13分) 由频率分布直方图可知： (3)由题意x1=83,x2=89,s7=33,s=12, 前5组的频率和为(0.005×2+0.02+0.03+0.02) 因为老系统的总数据占两个系统所有数据总和 ×10=0.8, (9分) 前6组的频率和为(0.005×2十0.02十0.03十0.02 的子 +0.015)×10=0.95, (10分) 2 所以x=3x1十3x2=87, (18分) 0.8<0.9<0.95, 则第90百分位数为75+0,95-0.8 0.9-0.8 ×10≈81.7， g=号×[33+(83-87)2]+号×[12+(89 (12分) 87)2]=27， 故他每日的平均业务量至少应达82单. (15分) 即新老系统所有评分的方差为27」 ·61·高一同步周测卷/数学必修第一册 (十五)用样本估计总体 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.某校举办了一次数学竞赛，共有29人参加比赛，他们在预赛中所得的积分互不相同， 只有预赛成绩在前15位的学生才能进入决赛.若该比赛项目中的某同学知道自己的 预赛成绩后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位学生预赛成绩的 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.方差 2.采用随机抽样抽到一个容量为100的样本，由样本数据得到如下的频数分布表： 分组 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75 频数 10 15 x 25 20 10 若用每组的中点值来代表该组数据，则估计总体的平均数为 A.42 B.44 C.46 D.48 3.已知一组数x1,x2,x3,x4的平均数是x=4,方差s2=2,则数据2x1十3,2x2+3,2x 十3,2x4十3的平均数和方差分别为 A.11,4 B.8,8 C.11,8 D.4,2 4.如图为甲、乙、丙、丁四名射击运动员在赛前的某次射击选拔赛中，各射击10次成绩 的折线图和表示平均数的水平线，经过计算，四人成绩的方差关系为：=吃， 导，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 成绩/环 成绩/环 成绩/环 成绩/环 10 10 10 6 4 4 顺序 顺序 顺序2 顺序 12345678910 12345678910 012345678910 012345678910 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 5.随着消费者对食品安全和健康饮食的关注度的提升，中国有机燕麦作为有机食品中 营养价值较高的产品，受到消费者青睐，下图为中国有机燕麦消费者调研样本构成， 根据该图，下列说法正确的是 样本年龄构成 样本性别构成 Sample age composition Sample sex composition 0.4% 收入构成占比 1.3% 2.3% 日22岁及以下 口男 口女 Proportion of incame composition ☐23~30岁 20000元以上 4.0% 25.8% 口3140岁 30.8% 15001~20000元■ 11.1% ☑41~50岁 10001~15000元 33.0% 57.7% 口51~60岁 69.2% 5000~10000元 40.4% ■60岁以上 5000元以下 ◆ 11.5% 数学（湘教版） 必修第一册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题· A.中国有机燕麦消费者中女性不超过男性的2倍 B.超过85%的中国有机燕麦消费者月收入不高于15000元 C.超过半数的中国有机燕麦消费者年龄在31~40岁 D.中国有机燕麦消费者收入构成占比中的5个百分数的中位数是33.0% 6.已知一组数据x1,x2,x3,…,x10满足x,一x;-1=2(2≤i≤10)，若去掉x1,x10后组成一 组新数据，则新数据与原数据相比 A.极差变大 B.平均数变大 C.方差变小 D.第25百分位数变小 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品.现从某基地所采摘的所有脐 橙中随机抽取了100个脐橙，测量这些脐橙的果径（单位：mm),将其分成以下几组： [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100], 频率 所得数据如频率分布直方图所示，则关于样本数0.035 组距 ------- 据的说法中，正确的是 a A.a的值为0.030 B.这100个脐橙果径的平均数为65 0.015 C.这100个脐橙果径的第60百分位数为80 0.010 D.这100个脐橙中果径不少于80mm的个数约 05060708090100果径/mm 为40 8.某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁4名同学连续7周每周阅读的天数（每周阅读天数 可以是1,2,3,4,5,6,7)进行统计，根据统计所得数据对这4名同学这7周每周的阅 读天数分别做了如下描述： 甲：中位数为3，众数为5； 乙：中位数为4，极差为3； 丙：中位数为4，平均数为3； 丁：平均数为3，方差为3. 那么可以判断一周阅读天数一定没有出现7天的是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）》 9.某地气象局测得该地连续10天的最高气温分别为36,37,35,37,39，a,37,37,38,38 (单位：℃)，若该组数据的平均数与众数相等，则a= 10.为了调查柳高高二年级历史类班级对学习数学的热爱程度，对一教三楼的5个班级 进行问卷调查，得到这5个班级中每班热爱数学程度偏低的学生人数为x1,x2,x3, 4,c(具体数据丢失)，已知这5个数据的方差为4，平均数为3千3十3 2+2 -1 的最小值（其中x十y= 5,x,y>0),且这5个数互不相同，则其中最大的数据为 ,数据的极差为 .（本题第一空2分，第二空3分) 高一同步周测卷十五 数学（湘教版）必修第一册第2页（共4页）】 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 甲、乙两名运动员参加射击选拔赛，两人在相同条件下各射击100次，组委会从两人 的成绩中各随机抽取6次成绩（满分10分，8分及以上为优秀）.如下表所示： 甲射击成绩 10 9 8 10 10 乙射击成绩 10 6 10 10 9 9 (1)利用样本估计总体的思想，估计甲、乙两人射击成绩的优秀率； (2)分别求出甲、乙6次射击成绩的平均数与方差，以此为依据，判断哪位运动员的 射击成绩更好？ 12.(本小题满分15分) 某公司招聘销售员，提供了两种日工资结算方案： 方案①：每日底薪100元，每销售一单提成2元； 方案②：每日底薪200元，销售的前50单没有提成，从第51单开始，每完成一单提 成4元. 该公司记录了销售员的每日人均业务量，现随机抽取一个季度的数据，将样本数据 分为[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]七组，整理得 到如图所示的频率分布直方图 频率 ↑组距 0.030-- 0.015 0.005 025354556的7乃8595亚务量/单 (1)求直方图中a的值： (2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘销售员做出 日工资方案的选择，并说明理由；（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替） (3)假设该销售员选择了你在(2)中所选的方案，已知公司现有销售员400人，他希 望自己的收入在公司中处于前40名，求他每日的平均业务量至少应达多少单？ 数学（湘教版）必修第一册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 随着手机和网络的普及，外卖行业得到迅速的发展.某外卖平台为了解某地区用户 对其提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分，系统自 动将评分按从大到小顺序排列如下： 用户编号评分 用户编号评分 用户编号 评分 用户编号评分 01 97 11 86 21 81 31 76 02 96 12 86 22 81 32 76 03 95 13 85 23 81 33 76 04 93 14 85 24 80 34 75 05 92 15 84 25 79 35 74 06 91 16 84 26 79 36 74 07 89 17 83 27 78 37 73 08 89 18 83 28 78 38 72 09 88 19 82 29 78 39 66 10 88 20 82 30 77 40 63 (1)估计该地区所有用户评分的第21,95百分位数； (2)若从这40个用户中抽取一个容量为10的样本，有一个数据不小心丢失了，抽到 的其他9个用户的评分分别为92,84,86,78,89,74,78,77,89，且这10个数据的平 均数x=83,记这10个数据的方差为s2,若用户的满意度评分在(x一s,x十s)内，则 满意度等级为“A级”，试用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个数据，估计该 地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比； (3)平台为拓展客流，开发了一个新的评价系统.把(2)中样本的平均数和方差作为 老评价系统的数据，且老系统的总数据占两个系统所有数据总和的？，新系统得出 的评分平均数为89分，方差为12.据此计算新老系统所有评分的方差 参考数据：√30≈5.48，√33≈5.74，√35≈5.92. 一同步周测卷十五 数学（湘教版）必修第一册第4页（共4页）