9 对数函数-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(湘教版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (九)对数函数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知函数f(x)=log。(3x一5)一3(a>0,且a≠1)的图象恒过点P(m,n),则m-n= A.-5 B.-1 C.1 D.5 2.已知集合M={xy=√1-lnx},N={yly=2x+1},则M∩N= A.(e,+∞) B.(0,e) C.(1,e] D. 3.已知x=ln2.8,y=log52,z=log32,则 A.I<y< B.<x<y C.<y< D.y<< 4.如图①②③④中，不属于函数y=logx,y=logx,y=logx的一个是 -① ③ ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 5.若定义运算a⑥6=b,a<b ,则函数f(x)=log2x⊕logx的值域是 (a,a≥b A.[0,+∞) B.(0,1] C.[1,十∞) D.R 数学（湘教版）必修第一册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 6.猪血木又名阳春红檀，原产于广东阳江阳春市、广西平南县和巴马县，是中国特有的 单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物.猪血木不仅实现了人 工繁育，在阳江阳春市储备苗木近10万株，还被引种到广州、深圳、韶关、云浮等地. 某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的 猪血木数量超过2000株至少需要经过n(n∈N)年，则n= (参考数据：1g2≈0.3，lg11≈1.04) A.9 B.8 C.7 D.6 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.为了得到函数y=1g(100x)的图象，可将函数y=1gx的图象 A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的100倍 B纵坐标不变，横坐标缩短为原来的0 C.向下平移两个单位长度 D.向上平移两个单位长度 8.已知函数f(x)=1og2(x2-4ax+1),则 A.f(x)的图象恒过原点 B.若a=0,则f(x)是增函数 C若(x)的定义域为R,则u的取值范围为(2，】 D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围为 -∞，-)U(2+) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.若函数f(x)=ln(ax一1)在(2，+o)上单调递增，则实数a的取值范围为 10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且Hx1>x2∈[0，十∞)，f(x1)一f(x2)> 2(x1一x)恒成立，若f(2)=8,则满足f(lnm)≤2(lnm)2的实数m的取值范围 是 ·高一同步周测卷九 数学（湘教版）必修第一册第2页（共4页）】 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分)》 设函数f(x)=log(2+x)十log.(2-x),且f(0)=2. (1)求实数a的值及函数f(x)的定义域； (2)求函数f(x)在区间[0，√]上的最小值. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(log2x一2)1og4(2x). (1)当x∈[1,64]时，求该函数的值域； (2)求不等式f(x)>5的解集； (3)若f(x)≤mlog4x对于x∈[4,16]恒成立，求m的最小值. 数学（湘教版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 已知函数y=f(x)与y=e的图象关于直线y=x对称， (1)若函数g(x)=f(e十1)一mx是偶函数，求实数m的值； (2若关于x的方程f[十-2】-f年2十合)有实数解，求实数长的取值 范围； (3)已知实数a,b满足ae=1,bLf(b)一1]=e,求f(a)+f(b)的值. 一同步周测卷九 数学（湘教版）必修第一册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（九） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) 9 ③④ ⑥ 档次 系数 对数型函数图象过 选择题 易 0.80 定点问题 对数函数定义域与 选择题 易 0.72 集合的综合 选择题 比较大小 中 0.60 对数函数图象的 4 选择题 5 中 0.55 识别 与对数函数有关的 5 选择题 5 中 0.45 新定义题 对数函数的实际 6 选择题 5 中 0.30 应用 对数函数图象的 选择题 6 易 变换 0.72 对数函数性质的综 8 选择题 中 0.35 合应用 由对数型函数的单 9 填空题 5 中 0.65 调性求参 10 填空题 解对数不等式 分 0.35 对数型函数的定义 11 解答题 13 中 0.60 域及最值 对数函数与二次函 12 解答题 15 中 0.45 数复合的函数问题 对数函数与指数函 13 解答题 20 0.25 数的综合 昏考答案及解析 一、选择题 (0,e],而y=2+1>1,所以N=(1,十oo),所以M 1.D【解析】令3x-5=1,解得x=2,又f(2)=log1 ∩N=(1,e].故选C. 一3=一3，所以函数f(x)的图象恒过点(2，一3)，即 3.D【解析】由题得x=ln2.8>lne=1,y=log2< m=2,n=一3，所以m-n=5.故选D. 1 2.C【解析】由1-lnx≥0，得0<x≤e,所以M= log:5=1,z=log:2<1og3=1,而1og:2=1og5< ·33· ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 1og3=log:2,所以J<x.故选D. 4.B【解析】~1og4号<1log4子=log4号，即当x [e 【解析】由f(x)-f(x2)>2(x 号时，log+x<1ogx,.③是y=log+x,④是y x),得f(x1)-2x>f(x2)-2x,令g(x)= f(x)一2x,则g(x1)>g(x2),所以函数g(x)在 log-x,又y=log+x=-log5x与y=logx关于x轴 [0,十o)上单调递增，因为f(x)是定义在R上的 对称，.①是y=logx.故选B. 偶函数，所以f(一x)=f(x),所以对任意的x∈ 5.A【解析】令log2x<log4x=-log2x,即log2x<0, R,g(-x)=f(-x)-2(-x)2=f(x)-2x2= 解得0<x<1,所以f(x)=logx①log÷x= g(x),所以函数g(x)为R上的偶函数，且g(2)= log,0<<1 所以当0<x<1时，f(x)=logx f(2)-2×2=8-8=0,由f(lnm)≤2(lnm)2, log2x,x≥1 可得f(lnm)-2(lnm)2≤0，即g(lnm)≤ ∈(0，十o∞)，当x≥1时，f(x)=log2x∈[0，十∞)， g(2),即|lnm|≤2，所以-2≤lnm≤2，解得m 综上所述，当x>0时，f(x)∈[0，十∞)，即函数 f(x)的值域为[0，十o).故选A. ∈[e] 6.B【解析】由题意得1000(1十10%)”>2000，则 四、解答题 (侣)》广>2，解得m>log2.因为1o2-g名 11.解：(1)因为f(x)=log.(2+x)+log.(2-x)(a> 11 1g10 0,a≠1)， g是8而62六0品-7.5所以>1.5 1g2 由f(0)=2,得21og2=2, 则log2=1,解得a=2. (3分) 又n∈N*,则n=8.故选B. |2+x>0 又2->0解得-2<1<2， (5分) 二、选择题 7.BD【解析】y=lg(100x)=2十lgx,可将函数y 所以f(x)的定义域为(-2,2). (6分) lgx的图象向上平移两个单位长度得到y=lgx十2 (2)由(1)得f(x)=log2(2+x)+1og2(2-x) 的图象，也可将函数y=lgx的图象上各点的纵坐标 =1og2(2十x)(2-x)=1og2(4-x2), (8分) 不变，横坐标缩短为原来的得到y一1g(100x)的 因为x∈[0w3], 令t=4-x2,t∈[1,4]， (10分) 图象.故选BD. 令g(t)=log2t,则函数g(t)在t∈[1,4]上单调 8.AC【解析】对于A,因为f(0)=log21=0,所以 递增， f(x)的图象恒过原点，故A正确；对于B,若a=0,则 故g(t)i=g(1)=0, f(x)=log2(x2+1),因为f(-√5)=f(5)= l1og4=2,可知f(x)不是增函数，故B错误；对于C, 即t=1,x=√3时，f(x)取最小值0， 故f(x)的最小值为0. (13分) 若f(x)的定义域为R,则x2-4ax十1>0对任意x∈ 12.解：(1)因为f(x)=(log2x-2)log1(2x) k恒成立，则△=16a2-4<0,解得-号<a<号，所 =(21ogx-2)(logx+2), 以a的取值范围为(-子，合)，故C正确：对于D, 令t=log1x, 若f(x)的值域为R,则y=x-4ax十1的取值取遍 由x∈[1,64]，可知t∈[0,3]， 所有正数，则4=16d-4≥0，解得a≤-2或a≥ 函数()转化为y=(21-2)(+),te[0,3]. 之，所以。的取值范围为(-©，-]U (2分) [号十e),放D错误，放选AC 因为y=(2-2)(什号)=2r-t-1 三、填空题 =2(-)-号 9.[2,十o∞）【解析】设1=ar-1,根据对数函数的 所以函数在[0，]上单调递减，在（仁，3]上单调 单调性可知，y=lnt在t∈(0，十∞)上单调递增，而 递增， f(x)=ln(ax-1)在x∈(2，十oo)上单调递增，根 9 据复合函数的单调性可知，t=ax一1在x∈ 所以当=时，y取到最小值为一名· (2,十∞)上单调递增，显然a≠0，结合一次函数的单 当t=0时，y=-1:当t=3时，y=14, 调性、对数函数的定义域可知0>0 2a-1≥0，解得a 则当t=3时，y取到最大值14， 故当x∈[1,64]时，函数f(x)的值域为 ·34· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· [-g4] (4分) 所以实数m的值为子 (6分) (2)由题得(21og1x-2)(1og1x+)-5>0, k k (2)由题得1n(x十1十2-nx千2十n3, 令t=log1x∈R, 则(21-2)(+号）-5>0， 即(x+1)+23x+6k>0), k2 即2r-t-6>0, 依题意，关于x的方程x十)+23x十6k>0) 解得t>2或K-立， 3 有实数解， (6分) 即关于x的方程(3-k)x2-2kx-3k十6=0有实数 当t>2时，即log1x>2,解得x>16; 解， (8分) 当K- 名时，即1g<-号，解得0<<日， .1 当k=3时，方程为-6x一9十6=0，解得x=一2： 1 (8分) 符合题意； (9分) 故不等式f(x)>5的解集为 0<x< 8或x> 当k≠3时，△=4k2-4(3-k)(6-3k)=4(-2k2+ 15k-18)≥0， 16. (9分) 解得号<≤6，且≠3， (11分) (3)由题得(2ogx-2)(logx+)<mog:x对 所以实数k的取值范围为[三，6] (12分) ∈[4,16]恒成立， e 令t=log1x∈[1,2]， (3)由bLf(b)-1]=e,得1nb-1=方， 即(2：-2)（计合）<m:在t∈[1,2]上恒成立， 即h-则=et, e 所以m≥2- 1-1在[1,2]上恒成立， 而ae“=1, 所以m≥(2：--1） 因此ae=1=云ci,a>0,h>0, (12分) 令h(x)=xe,x>0,显然h(x)>0, 易得函数y=24--1在[1,2]上单调递增， 设任意0<x<x2, 所以当t=2时，y=之， 则4<1,1-x2<0,e1-9<1, 所以m≥号，m的最小值为号 于是0得-<1 (17分) (15分) 因此h(x1)<h(x2), 13.解：(1)因为函数y=f(x)与y=e的图象关于直线 即函数h(x)=xe在(0，十o∞)上单调递增， y=x对称， 所以f(x)=lnx, 则g(x)=f(e+1)-mx=ln(e2十1)-m.x,函数 g(x)的定义域为R, 即h(a)=h(分)， 由函数g(x)是偶函数，得g(一x)一g(x)=0, 即ln(e+1)十mx-n(e+1)十mx=0,(4分) 于是a=分，即a山=e, 整理得2mx=lne十是 所以f(a)十f(b)=lna十lnb=lnab=lne=1. e十1=x, (20分) 而x不恒为0， 因此2m=1,即m=之 1 ·35·