8 实数指数幂和幂函数、指数函数-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(湘教版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (八)实数指数幂和幂函数、指数函数 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.“m=1”是“f(x)=6r为指数函数”的 A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.已知幂函数f(x)=(m2一m-5)xm为偶函数，则f(m)= A号 c D.2 3.已知a=1.92.8,b=1.93,c=8,则 A.a<b<o B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 4.在同一直角坐标系中，函数f(x)=a(a>0且a≠1)，g(x)=x(x≥0)的部分图象可 能是 B D. 5.已知函数f(x)=2a-1)<0 -x2+(4a-3).x+3a-1,x≥0 满足对任意x1≠x2,都有 (x1一x2)[f(x1)一f(x2)]<0成立，则实数a的取值范围是 A.(g1) R(分] c.[号，] D.(3] 数学（湘教版）必修第一册第1页（共4页) 衡水金卷·先享题 6.某催化剂的活性指标K(单位：kgPP/gCat)与反应温度t(单位：℃)满足函数关系：K =e十b(其中a,b为常数，e=2.71828…是一个和π类似的无理数).若在20℃时的 活性指标为11kgPP/gCat,在40℃时的活性指标为83kgPP/gCat,则该催化剂在 50℃的活性指标为 A.125 kgPP/gCat B.225 kgPP/gCat C.245 kgPP/gCat D.250 kgPP/gCat 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列关于幂函数y=x的说法正确的是 A.幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1) B.幂函数图象不过第四象限 C.当a=2,3,一1时，幂函数是增函数 D.当α为奇数时，幂函数为奇函数 8已知函数)-多则 A.不等式f(x)川<3的解集是（一1,1） B.Hx∈R,都有f(一x)=f(x) C.f(x)是R上的单调递减函数 D.f(x)的值域为(-1,1) 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知a立+a立=4，则a十a1的值为 ,a2十a2的值为 .(本题第一空 2分，第二空3分) 10.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上存在x。∈[a,b]满足f(x)=fb)二fa,则称 b-a x为函数y=f(x)在区间[a,b]上的一个“均值点”.已知函数y=32x一3r+1一m在 [0,1]上存在“均值点”，则实数m的取值范围是 ·高一同步周测卷八 数学（湘教版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满份13分)》 化简下列各式： (1)8寸-(-π)0+√(3-π)； (2)8+(传) -(3-π)°+(3X2)5； 3)0.064)+-(-8)°+(0)+1-0.1. 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=(2m十m)xm为幂函数，且在区间(0，十∞)上单调递增，令g(x)= f(x)-(3a+1)·f(x)+3. (1)求函数f(x)的解析式； (2)当a=1时，求函数g(x)在区间[1,4]上的值域； (3)若存在xo∈[1,4]，使得g(xo)≤0能成立，求实数a的取值范围. 数学（湘教版）必修第一册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设常数a∈R,已知f(x)=2a-x十2x. (1)当a=0时，求函数f(x)的单调递增区间： (2)当a=2时，求不等式f(x)<f(x+1)的解集； (3)若存在x∈R,使f%-x≥4+4+11成立，求证：2≥6. 一同步周测卷八 数学（湘教版）必修第一册第4页（共4页)】高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（八） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① 9 ③④ ⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 指数函数的概念 易 0.80 由幂函数为偶函数 选择题 易 0.72 求解析式 由指数函数的单调 3 选择题 5 中 0.65 性比较大小 指数函数图象的 4 选择题 5 中 0.55 识别 由指数型分段函数 5 选择题 5 中 0.45 单调性求参 与指数函数有关的 6 选择题 5 中 0.30 实际应用题 7 选择题 6 幂函数的性质综合 易 0.80 指数函数与分式函 选择题 6 中 0.35 数的综合应用 与指数运算有关的 9 填空题 5 易 0.75 条件求值 指数函数的新定 10 填空题 5 / 中 0.35 义题 11 解答题 13 指数的运算 / 中 0.60 由幂函数的单调性 求解析式，幂函数与 12 解答题 15 / / 中 0.45 二次函数的综合，不 等式有解问题 指数函数与基本不 解答题 20 0.25 等式的综合 考答案及解析 一、选择题 数函数”的充分而不必要条件，故选C. 1.C【解析】当m=1时，f(x)=62是指数函数：若 2.B【解析】由函数f(x)=(m2-m一5)xm是幂函数， f(x)=(6m)r是底数为6m的指数函数，则6m>0, 得m2一m-5=1,解得m=-2或m=3,当m=3时， 且6m≠1，解得m≠0，故“m=1”是“∫(x)=6m为指 f(x)=x3是奇函数，不符合题意；当m=一2时， ·29· ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 f(x)=x2是偶函数，符合题意，因此m=-2,f(x) =x2,所以fm）=-2)=(一2)=子故选B 1o[-￥，-2] 【解析】根据题意由y=32x一3+1一 m,可得f)二f0)=二m-13-m)=2,又 3.A【解析】因为y=1.9在定义域R内单调递增，则 1-0 1-0 1.928<1.93,即a<b;又因为y=x在定义域R内 因为函数y=32x一3+1一m在[0,1]上存在均值 单调递增，则1.93<2=8，即bc,综上所述，a<b 点，即方程324-3+1-m=2在[0,1]上有解，设t c.故选A. =3*∈[1,3]，则有t-3t-m=2在[1,3]上有解， 4.C【解析】对于A和B,指数函数f(x)=a过定点 即m=t-3t-2,因此函数y=m与y=t-3t-2 (0,1),且单调递增，则a>1,所以幂函数g(x)=x (t[1,3])的图象有交点，而二次函数y=t-3t 递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合：对 -2([1,3])的对称轴为t=2,其在[1,3]上 于C和D,指数函数f(x)=a过定点(0,1)，且单 调递减，则0<a<1,所以幂函数g(x)=x“递增，且 增加的越来越慢，故C符合，D不符合.故选C 的值城为[号，一2]，所以可得实数m的取值范 5.B【解析】由题意，对任意x≠，都有 用是[--2] (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立，则函数 四、解答题 02a-1<1 11.解：(1)原式=(2)-京-1十π-3 f(x)在R上单调递减，所以 4a-3≤0 2 解得子 7 =21十π-4=π一2 (4分) 1≥3a-1 <a<号，即实数a的取值范围是(}，号]故选B (2)8号+（号）-(3-π）°+(3时×2) 6.C【解析】由题意可得11=e2+b,83=ee十b,两 =(2)号十(31)-2-1十(37)5×(2T)5 式相减可得eo一e2a一72=0，所以 =22十32-1十32×2 (e20u-9)(e20a十8)=0，所以e2=9或e20a=-8(舍 =4+9-1+9×8 去)，即e=3,所以b=2,所以该催化剂在50℃的 =84. (8分) 活性指标为e5十2=35十2=245.故选C. 二、选择题 (3)(0.064)÷-(-)°+(3)广+-0.1 7.BD【解析】对于A,当α<0时，幂函数的图象不过 点(0,0)，A错误；对于B,当x>0时，y=x2>0 =0.4)门+-1+[（号）']+ -0.1 (α∈R),所以幂函数的图象不可能经过第四象限，B d1-1+是+0.1-0 1 (13分) 正确；对于C,当a=一1时，幂函数y=x1在 (一∞，0)，(0，十∞)上皆单调递减，C错误；对于D, 12.解：(1)因为幂函数f(x)=(2m十m)xm在区间 若a为奇数，则（一x)=一，即幂函数为奇函数，D (0,十o∞)上单调递增， 正确.故选BD 则/2m+n=1 8AD【解折】对于A)多号1一名由 2 m>0 1<专得-号<1-名<台即号< 解得m=立， 故f(x)=x立 (4分) 号，得受<2+1<3，解得-1<<1即原 1 (2)当a=1时，可得g(x)=P(x)-4f(x)十3， 令t=f(x), 不等式的解集为（一1,1），故A正确；对于B,f(一x) 因为x∈[1,4]，所以t∈[1,2]， 2 1一21片≠f故B错误：对于C 即可得y=-4t+3=(t-2)2-1, 所以函数y=(t-2)2一1在区间[1,2]上单调 f1)=1-号=号<号=1-号=2).所以/ 递减， 在R上单调递减不成立，故C错误：对于D,由0 当t=2时，ymim=一1，当t=1时，ymax=0. 所以函数g(x)在区间[1,4]上的值域为[一1,0]. 2 2 2千1<2知-1<1-2-1<1，即函数f(x)的值域 (9分) 为（一1,1），故D正确.故选AD (3)令t=f(xo), 三、填空题 因为x6∈[1,4]，所以t∈[1,2]， 9.14194【解析】a十a1=(a立十a立)2-2a立· 因为g(x0)≤0， 即转化为t-(3a十1)t十3≤0， a支=14，a2+a2=(a十al)2-2a·al=196-2 =194. 可得3a≥t计-1，其中t[1,2], t ·30· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 所以3a≥(+子-1） (2)若a=2,则f(x)=22-x十2， 因为f(x)<f(x+1), 由基本不等式可得1什号-1≥2√，三-1=25 即22-x+2<21-x+2r+1, (7分) 整理可得22x>2,则2x>1, -1,当且仅当=，即一5时等号成立， 解得>， (9分) 所以a≥2B-1 3一 所以不等式f(x）<f(x+1)的解集为（分，十∞）： 综上可知，实数a的取值范围为 「2E-1,+∞) (10分) 3 (15分) (3)因为f(号-x)≥4+4+11， 13.解：(1)若a=0,则f(x)=2+2的定义域为R, 即2+号十22-≥4+4x+11, (12分) 且f(-x)=2十2x=f(x),可知∫(x)为偶函 令t=2十2，由(1)可知t=2十2x≥2， 数， (1分) 则2+号十2兰=2号·t,4+4=t2-2,(14分) 设x1,x2∈[0，十∞)，且x1<x2 则f(x1)一f(x2)=(21十2)-(2十22) 可得2·≥2+9，即2学≥t什9 t =(21-2)(21+9-1) (2分) 21+x2 原题意等价于2≥1+号在[2，十c©)内有解， 因为0≤x1<x2, 则2t≥(+） (17分) 则12122,21+2>1>0， 则21-22<0,2+2-1>0， 可得f(x1)-f(x红)<0， 又因为+号>2√·号-6，当且仅当=号，即1 即f(x1)<f(x2), =3时等号成立， 所以函数f(x)在[0，十∞)内单调递增， (4分) 所以2号≥6，得证. (20分) 结合偶函数对称性可知函数f(x)在(-∞，0]内 单调递减， 所以函数f(x)的单调递增区间为[0，十∞). (5分) ·31·