3 相等关系与不等关系-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(湘教版)

高一同步周测卷/数学必修第一册 (三)相等关系与不等关系 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知0<x<4,则x(4一x)的最大值为 A克 B.1 C.2 D.4 2.已知a,b,m均为正数，则“a>b”是b十m>2"的 a+m a A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3.已知x=√2026-√/2025，y=√2025 √2024，则x,y之间的大小关系是 A.x>y B.x-y C.x<y D.无法判断 4已知>1，则y=,中的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.8 5.已知不等式2x十m十子>0（心-1）恒成立，则实数m的取值范围是 A.m<-2 B.m>-4 C.m>-2 D.m<-4 6.记maxa,b}为a,b两数的最大值，当正数，y(.x>2y)变化时，t=max2'yx2 1x2 4 的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 数学（湘教版）必修第一册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知c<0<b<a,则 A.bc>ac B.6+c<a3+cl c后>8 D.cc √aB 8.已知实数a,b满足ab=a十b十3，则 A.a十b的取值范围是{a十ba十b≥6} B.ab的取值范围是{abab≤1或ab≥9} C.a+2b的取值范围是{a十2ba+2b≤3-4√2或a十2b≥3+4√2} D.(a一1)b的取值范围是R 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知正数a,b满足2a十=1.则+号的最小值是 10.已知实数x,y满足0≤2x十y≤3，一2≤x一y≤1，则x的取值范围是 ,t= 4x+5y的取值范围是 .(本题第一空2分，第二空3分) 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) (1)已知x≤1，比较x3与x2一x+1的大小； (2)比较2x2+5x+2与x2+4x+1的大小； (3)比较a=√7与b=3-√3的大小 高一同步周测卷三 数学（湘教版）必修第一册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 已知a>0,b>0,c>0,且a十b十c=1,证明： (2)(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c). 数学（湘教版）必修第一册第3页（共4页） 13.(本小题满分20分) 为推动新质生产力的发展，我市某高新企业于2024年年初用98万元购进一台生产 设备，并立即投人生产使用.已知该设备使用后，每年的总收入为50万元，使用x年 后(x∈N+),其x年来所需维修保养费用的总和为(2x2十10x)万元，设该设备产生 的盈利总额为y万元（盈利总额=总收入一总支出）. (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)该设备从第几年开始盈利（盈利总额为正值）？ (3)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备（年平均盈利额=盈利 总额÷使用年数)； ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷三 数学（湘教版）必修第一册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢW ① ②③④⑤⑥ 档次 系数 选择题 利用基本不等式求 易 0.80 积式的最值 不等式与充要性的 选择题 易 0.72 综合 选择题 5 倒数法比较大小 易 0.70 用基本不等式求分 4 选择题 5 中 0.55 式型函数的最值 由不等式恒成立 5 选择题 5 中 0.50 求参 与基本不等式有关 6 选择题 5 中 0.40 的新定义题 选择题 不等式的性质的 6 易 应用 0.72 由条件等式及基本 8 选择题 6 中 0.40 不等式求范围 利用1的代换及基 9 填空题 5 本不等式求最值 V 易 0.80 由不等式的性质求 10 填空题 5 / 中 0.45 参数的取值范围 11 作差、作商法比较 解答题 13 中 0.65 大小 利用基本不等式证 12 解答题 15 中 0.45 明不等式 基本不等式的实际 13 解答题 20 书 0.40 应用 叁考答案及解析 一、选择题 1.D【解析】当0<x<4时，x(4一x)≤ 2.C【傅析】由于牛台-侣品则只>台 a十ma a十ma 「x十(4-2=4，当且仅当x=4-x,即x=2时取 L2 成立，等价于ma一b a矿>0成立，充分性：若a>b,且 等号，所以x(4一x)的最大值为4.故选D. ·数学（湘教版）必修第一册· 参考答案及解析 a,b,m均为正数，则a十m>0,a-b>0,则mCa-b a(a十m） 店>后义<0合≤D正确，放选ABD 6a >0,所以册>兰成立，满足充分性：必要性：若 8.BC【解析】由ab=a十b+3,得(a-1)(b-1)=4, 牛沿名则3>0成立，其中a,6m均为正 得6=1叶。(a≠1)，对于A,a十6=a十1十。 a-1 数，且a十m>0,则可得a-b>0成立，即a>b成立， (a-1)+。2.当a-10时，a-1)+。马 满足必要性，故“a>b是十m>么"的充要条件，故 2≥2√4十2=6，当且仅当a=3时取到等号；当a-1 a十ma 选C. <0时，由1-a十产a≥4，得(a-1)+。十2≤ 3.C【解析】由题得x=√2026-√2025 一4十2=-2，当且仅当a=-1时取到等号，所以a 1 √2026+√/2025'y=V2025-V2024 十b的取值范围是{a十b|a十b≤一2或a十b≥6}，A 错误；对于B,ab=a十b十3，由A可得ab的取值范围 而√/2026+√/2025> 是{ab|ab≤1或ab≥9}，B正确；对于C,a十2b=a十 √/2025+√/2024 8 √2025+√/2024，所以x<y.故选C. 2=a-1)+昌十3，当a-1>0时， 4.C【解析】因为x>1,所以x-1>0,从而y= (a-1)十。气十3≥28+3=42+3，当且仅当a 8 =-1+A+1≥√-1)…高 x一1 -1十2E时取到等号：当a-1<0时，由1-a十产。 1=5,当且仅当一1=马即x=3时等号成立.因 8 ≥4E,得(a-1)十。气+3≤-42+3，当且仅当 此当x=3时，y取得最小值5.故选C. 5C【解折】不等式2x十m十名>0（之-1D恒成 a=1-2√2时取到等号，所以a+2b的取值范围为{a 十2ba十2b≤-4W2+3或a十2b≥4√2+3}，C正确： 立，即m>(2x+品)恒成立，-(2+异） 对于D,(a-1)b=a-1十4=a十3≠4，D错误.故 选BC. -[21D+品-2]小-[2Vx+1…高 三、填空题 9.8【解析】a>0,b>0,2a+b=1,.寻十号= -2=-2,当且仅当2(x+1)=千，即x=0时等 号成立，故m>一2.故选C. (日+)2+6)=4++≥4+2√会 6.B【解析】由=mx号C2可得≥号 4 -8,当且仅当之-老，即b=2a=之时取等号，综上 ≥y(x2w2≥号 y(x-2y,当正数x,y(x⊙ 所述，十号的最小值是8 b 4 2y)时， }{t-2≤13}【解析】因 y(r-2y) 2y(x-2y) 8 为0≤2x十y≤3，一2≤x一y≤1，故两式相加得-2 2y千x2v)平=3多，当且仅当2y=x2y,即3 2 ≤3x≤，即一号≤≤学设4r十5y=m(2x+y =4y时等号成立，故2≥号 4 十n(x-y)=(2m十n)x十(m-n)y,故 2 ≥2√·=8，则4，当且仅当号-，即x ”。解每便3g故十5y=82》 2m十n=4 x 2(x-y),又0≤3(2x十y)≤9，-2≤-2(x-y)≤ 2y=号时等号成立，所以1的最小值为么故 4,所以-24x十5y13. 四、解答题 选B. 11.解：（1)x3-(x2-x+1)=x2(x-1)十 二、选择题 (x-1)=(x-1)(x2十1)， 7.ABD【解析】对于A,,c<0<b<a,∴.bc>ac,A正 由于x≤1，所以x-1≤0， 确；对于B,a>b>0,.a3>b,a3+1c>b+ 所以(x-1)(x2十1)≤0， 1c,B正确：对于C由<0<a,得古>…合 故x3≤x2-x十1. (4分) (2)2x2十5.x十2-(x2+4x十1) <台，C错误：对于D,:a>6>0,6>5>0, =r+x1=(+)+ ·10· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第一册· 因为(+)广+是≥是>0 2c+a+b=c十a+c十b≥2√/(a+c)(c+b),当且 仅当a十c=c十b,即a=b时等号成立。 即2.x2+5x+2-(x2+4.x+1)>0, 故(1十a)(1+b)(1十c)≥8(a十b)(b+c)(c十a)= 所以2x2十5x十+2>x2十4x十1. (8分) 8(1-a)(1-b)(1-c), @图为会 √7(3+3) 3-√(3-5)(3+√5) 当且仅当a=6=c=子时等号成立。 (15分) -万(3十B)>2X3=1, 13.解：(1)y=50x-(2x2+10x)-98 6 6 =-2x2+40.x-98(x∈N+) (4分) 即台>1 (2)令-2x2+40.x-98>0, 得10-√I<.x<10十√5I, 又因为b>0, 因为x∈N+,故3≤x≤17， 所以a>b. (13分) 故从第3年该设备开始盈利。 (10分) 12,解：(1)因为是+c十么+a+号+6 (3)方案①： a ≥2a+2√+2√e 义=-2x十40-98=40-(2x+98)≤40 =2(a十b十c),当且仅当a=b=c时等号成立， 2/2X98=12, 故号号十云≥ab十=1，当且仅当a=6 当且仅当2x=98,即x=7时等号成立. (13分) x 号时等号成立， 到2030年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获 利12×7+30=114万元. (14分) 故号+号后1成立。 (7分) 方案②： c y=-2x2+40x-98=-2(x-10)2+102, (2)(1+a)(1+b)(1+c)=(2a+b+c)(2b+a 当x=10时，yax=102. +c)(2c+a十b), 故到2033年，盈利额达到最大值，该设备可获利 由基本不等式有2a十b+c=a+c+a+b≥ 102十12=114万元. (18分) 2√(a+c)(a+b),当且仅当a十c=a十b,即b=c 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时 时等号成立. 间较短，故方案①比较合理. (20分) 2b+a+c=b+c+b+a≥2√(b千c)(a干b),当且 仅当b十c=b十a,即a=c时等号成立， 11