11 函数的应用（二）、建立函数模型解决实际问题-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(人教A版)

高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十一） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 W.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) Ⅲ ①② ③④⑤⑥ 档次 系数 利用函数零点存在 1 选择题 定理判断零点所在 易 0.80 区间 选择题 5 求函数的零点 易 0.72 图象法判断零点的 3 选择题 5 易 0.70 个数 由分段函数的零点 4 选择题 5 中 0.55 个数求参 指数型函数的实际 5 选择题 5 中 0.45 应用 6 指数、对数函数零点 选择题 中 0.30 的综合 二分法与函数图象 选择题 6 易 0.80 的关系 8 选择题 嵌套函数的零点 6 中 0.35 问题 9 填空题 二分法的应用 易 0.72 对数型函数的实际 10 填空题 5 中 0.35 应用 ) 由方程存在实数解 解答题 13 中 0.65 求参 12 解答题 15 二次函数零点分布 中 0.55 拟合函数的实际 13 解答题 20 中 0.35 应用 叁考答亲及解析 一、选择题 在的区间是(1,2).故选B. 1.B【解析】因为∫(x)的定义域为(0，十∞)，且 2.D【解析】由题意可知，g(x)=lg(x一1)的定义域 f(x)在(0，十∞)内图象连续，f(1)=n2-1<0, 为1+) =-5,得g(x)·1-3 f(2)=ln4一>0.所以函数f(x)的一个零点所 ×2=g(x)-6=-5,即g(x)=lg(x-1)=1,解得 ·41· ·数学（人教A版）必修第一册· 参考答案及解析 x=11.故选D. 3.B【解析】由题意可转化为函数y1=x-2(x> 8.ACD【解析】因为f(x)= lnxx之0，画出 2,x<0 0),y2=lnx(x>0)的图象交点问题，在同一平面直 ∫(x)的图象如下所示： 角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，由图得 两个函数图象有2个交点，故原函数零点有2个.故 选B. 2 y1=k-2l(6>0)/ y2=l山x(x>0) -3 210 23x -1 函数g(x)=f(x)一m的零点个数，即y=f(x)与 y=m的交点个数，当m=1时，由图可知y=m与y =f(x)有2个交点，故函数g(x)有2个零点，故A 4.B【解析】当x>1时，由ln(x-1)=0,得x=2,而 正确；当m=0时，y=m与y=f(x)有1个交点，即 函数y=ln(x-1)在(1，十o)上单调递增，又f(x)有 函数g(x)有1个零点，故B错误；若函数g(x)有3 三个零点，因此方程x2+2x十a=0在(-∞，1]上有 个零点a,b,c(a<bKc),则0<m<1,因为f(日) 两个不等实银：于是任心郑名一35 f(e)=1,则由图可知a<0<1<b<1<c<e,且 e <1,所以a的取值范围为[-3,1).故选B. |lnb=|lnc,即-lnb=lnc,所以ln(bc)=0,则 5,B【解析】设x天后“进步”的值是“退步”的值的2 bc=1,所以abc的取值范围为(-∞，0)，故C正确； 价，则8=2，睡时=g2,g10 由[f(x)]- 号f(x)+1=0,即[r(x)-2]: lg0.99=x(lg1.01-lg0.99)=x(lg101-lg99) [f(x)-2]=0,即fx)=2或f(x)=2,由图可 1g2 =g2,x=g101-1g9≈35.故选B. 得f(x)=号有3个实数根，f(x)=2有2个实数 6.C【解析】由已知条件得f(x)的零点可以看成y= 2与y=4一x的交点的横坐标，g(x)的零点可以看 根，所以方程[f(x)了-号f(x)+1=0有5个根， 成y=e与y=4一x的交点的横坐标，h(x)的零点可 故D正确.故选ACD 以看成y=lnx与y=4一x的交点的横坐标，在同一 三、填空题 坐标系分别画出y=2,y=e,y=lnx,y=4-x的 9.1.875【解析】根据“二分法”的定义，最初确定的区 函数图象，如下图所示，可知c>a>b.故选C. 间是(1,2)，又方程的近似解是x≈1.8，故后4个区 间分别是(1.5,2)，(1.75,2)，(1.75,1.875)，(1.75， 1.8125),故它取的4个值分别为1.5,1.75,1.875， 1.8125,其中第3个值为1.875. 10.1.92 【解析】易知pH=-lgc(H+)=-lg(12× 10-3)=-lg12-lg10-3=-1g(3×4)+3=-lg3 y=lnx -2lg2+3=-1g3-2(1-lg5)+3=1+21g5 1g3≈1+2×0.699-0.477=1.921≈1.92. 四、解答题 [at-3 二、选择题 11.解：(1)由题意得 7.BCD【解析】根据二分法的定义，知函数f(x)在区 间[a,b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0,即 函数的零点是变号零点，才能将区间[a,b们一分为 a一16 解得 (3分) 二，逐步得到零点的近似值.对于A,因为零点左右两 b=2 侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的 近似值，故A错误；对于B,C,D,三个函数图象均符 合二分法求函数零点近似值的条件，故B,C,D正确 所以F(x) (6分) 1 故选BCD. x立，x4 ·42· 高一周测卷 ·数学（人教A版）必修第一册· (2)F(x-2025)--号=0存在实数解， 所以实数a的取值范围为(0,2)： (15分) 13.解：(1)③. (4分) 即F(x-2025)=f+名：有解， (根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快， 符合指数函数性质，故选③) 即函数y=F(x-2025)的图象与函数y=t+ 1 2t (2)将表格数据代入y=m×m十s, 得m×n十s=12,m×n2十s=48,m×n3十s=156, 的图象有交点， (m=6 所以r+合≥宁 1 (10分) 解得n=3, (s=-6 1 解得t≤-1或t≥立 故函数为y=6×3-6, 则第4天时的舆论场指数为6×31一6=480. 故t的取值范围为(-∞，一1]U (10分) (13分) (3)若本次舆情不是严重的， 12.解：当f(x)存在两个零点时，设这两个零点分别为 则6X3*-6≤t×9恒成立， T1x2' 原式等于6×3r-6≤t×32r, △=a2-4(a2-4)>0, 1)由题意知1十x2=a>0, 故两边同时除以3，得到子产<， (14分) （x1x2=a2-4>0, 不妨设=子∈(o,号] 解得2<a<4E 故原式等于6k一6k≤t, 3 整理得6k2一6k十t≥0， 所以实数a的取值范围为(2，y) 3 (5分) 由于66-6k+1在∈(0，号]上单调递减， (2)由题意知f(2)=22-2a十a2-4<0, 解得0<a<2, 故只需要当=子时，6-6k+≥0成立即可， 所以实数a的取值范围为(0,2) (10分) (3)由题意知X2)=2-2a十公-4<0. 代入得2 4 3 -2+>0,解得>青， f(0)=0-0十a2-4≤0， 4 解得0<a<2, 故t的最小值为3· ·43·高一同步周测卷/数学必修第一册 (十一)函数的应用（二）、建立函数模型解决实际问题 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=ln(2x)-1的一个零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) a b g(x) 3 ad-bc.若函数g(x)=lg(x-1),则函数h(x)= +5的零 2 点为 A.1 B品 C.2 D.11 3.函数f(x)=x-2一lnx的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 x2+2x+a,x1 4.已知函数f(x)= ,若f(x)有三个零点，则a的取值范围为 ln(x-1),x>1 A.(-3,1) B.「-3,1) C.(-3,1] D.[-3,1] 5.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日 积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1十1%)365看作是每 天的“进步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把(1一1%)365看作是每天 “退步”率都是1%，一年后是0.9935≈0.0255，这样，一年后的1“进步值”是“退步 值的哈0吗181倍，那么当进步“的值是退步”的值的2倍，大约经过多少天： (参考数据：lg101≈2.0043,1g99≈1.9956,1g2≈0.3010) A.19 B.35 C.45 D.55 数学（人教A版）必修第一册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 6.已知函数f(x)=2x十x一4，g(x)=e十x一4，h(x)=lnx十x-4的零点分别是a,b, c,则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.c<a<b 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有 A. B. C. (In x,x>0 8.已知函数f(x)= ,令函数g(x)=f(x)一m,则 2r,x<0 A.当m=1时，函数g(x)有2个零点 B.函数g(x)不可能有1个零点 C.若函数g(x)有3个零点a,b,c(a<b<c),则abc的取值范围为(-∞，0) D.方程[f(x)]2- 之f(x)+1=0有5个根 班级 姓名 分数 题号 2 3 4 6 7 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.某同学在借助题设给出的数据求方程1gx=2一x的近似数（精确到0.1）时，设f(x) =1gx十x2,得出f(1)<0,且f(2)>0,他用“二分法”取到了4个x的值，计算其 函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第三 个值为 10.溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用pH来表 示溶液的酸碱度.pH的计算公式为pH=一lgc(H+),其中c(H)表示溶液中氢离子 的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是12×103摩尔/升，则该溶液 的pH约为 .(结果保留2位小数，参考数据：lg3≈0.477，lg5≈0.699) 高一同步周测卷十一 数学（人教A版）必修第一册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 如图所示是函数F(x)的图象，由指数函数f(x)=a与幂函数g(x)=x“拼接” 而成 (1)求F(x)的解析式； (2)若方程F(x一2025)一一21=0存在实数解，求t的取值范围. 2 4 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=x2一ax十a2一4，在下列条件下，求实数a的取值范围. (1)f(x)有两个正零点； (2)f(x)的一个零点大于2，另一个零点小于2； (3)f(x)的一个零点大于2，另一个零点不大于0. 数学（人教A版）必修第一册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大 数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量 化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前 天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于t×9,则认为本次舆情是严重 的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1,2,3 天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 奥论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①y= 4x十b+c:②y=plog,x十g;③y=mX十s,其中含x的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型；（直接写结果，不用证明） (2)运用(1)中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求t的最小值， 高一同步周测卷十一 数学（人教A版）必修第一册第4页（共4页）