13 概率与统计综合测试-【衡水金卷·先享题】2025-2026年高中数学必修第一册同步周测卷(北师大版)

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· 高一同步周测卷/数学必修第一册（十三） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⅢWV ①②③④⑤⑥ 档次 系数 1 选择题 5 对概率的理解 易 0.80 2 选择题 5 分层随机抽样 易 0.75 3 选择题 5 百分位数 易 0.72 扇形统计图与条形 4 选择题 5 中 0.65 统计图的综合 互斥事件与对立事 5 选择题 5 中 0.55 件的概率 相互独立事件的概 6 选择题 5 率与对立事件的概 中 0.45 率的综合 7 选择题 6 折线统计图 易 0.72 利用概率公式判断 选择题 6 中 0.35 相互独立事件 电路图与相互独立 填空题 5 中 0.65 事件概率的综合 平均数、众数、中位 10 填空题 5 / / 中 0.55 数、集合的综合 频率分布直方图，平 11 解答题 13 均数与古典概型的 中 0.65 综合 平均数与方差的 12 解答题 15 中 0.55 计算 古典概型、相互独立 13 解答题 20 0.40 事件概率的综合 分 叁考答案及解析 一、选择题 2.B【解析】因为A,B,C三种不同型号的智能手机数 1.B【解析】易知ACD错误.对于B,随机事件发生的 量之比依次为4：3：7，且用分层随机抽样的方法抽取 概率是一个固定的值，与试验次数无关，B正确.故 一个容量为N的样本，所以A型号智能手机被抽的 选B. ·51· ·数学（北师大版）必修第一册· 参考答案及解析 4 2 抽样比为4十3十7=分，因为A型号产品有40件，所 8.AC【解析】依题意，依次抛掷两枚质地均匀的骰 子，基本事件总数为6×6=36个，事件A=“x十y 以402 N=号，解得N=140,故选B 7”包含的样本点有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)， (5,2),(6,1),共6个；事件B=“x≤3”包含的样本点 3.C【解析】因为1.0%+3.2%十13.6%十34.2%= 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)， 52%60%,1.0%十3.2%十13.6%十34.2%+48% (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2) =100%>60%,所以60%分位数为5，故C正确.故 (3,3),(3,4),(3,5),(3,6),共18个：事件C= 选C. “ry mod5=1”,包含的样本点有：(1,1)，(1,6)， 4.A【解析】由条形统计图得合唱人数为70，演讲人 (2,3),(3,2),(4,4),(6,1),(6,6),共7个.对于A, 数为30，由扇形统计图得合唱人数占比35%，因此演 讲人数占比为35%×30=15%，舞蹈人数占比为1 P(C)-0A正确：对于BAnC包含样本点1,6， 70 (6,1),事件A与C不为对立事件，B错误；对于C, 20%一10%一35%一15%=20%，用样本估计总体， 事件AB包含的样本点有(1,6)，(2,5)，(3,4)，共3 估计该校参加舞蹈社团的人数为1500×20%=300. 故选A. 个，PA)=品-合PB)=器=PAB)=品 5.C【解析】设摸出红球的概率为P(A),摸出白球的 概率为P(B),摸出黑球的概率为P(C),所以 2,即P(A)P(B)=P(AB),事件A与B相互独立， P(A)+P(B)=0.56,P(A)十P(C)=0.68,且 C正确；对于D,事件BC包含的样本点有：(1,1)， P(A十P(B)十P(C)=1,所以P(C)=1-P(A) -P(B)=0.44,P(B)=1-P(A)-P(C)=0.32 1,6.(2.3.3,2,类4个，前PC)=6PB)= 所以P(B)十P(C)=0.76,即摸出的球是白球或黑 ,P(BO=斋=号，P(BC)=号≠石 球的概率为0.76.故选C. P(B)P(C),事件B与C不相互独立，D错误.故 6.B【解析】设A1,A2分别表示甲两轮答对1个，2个 选AC. 题目的事件，B,B2分别表示乙两轮答对1个，2个 三、填空题 题目的事件，则P(A)=号×(1-子） 6 【解析】记“系统正常工作”为事件A,则概 (1-)×号=号，P(A)=(g）广=是P(B) 率为P(A)=×2x号×号+×号×号-=号， =号×(1-号)+(1-号)×号=号，P(B)= “只有K和A1正常工作”为事件AB,则概率为 (号)广=号，设A=“两轮活动星队’答对3个题 P(AB)=×号×= 10.{-9,5,19} 【解析】设丢失的数据为x,则这七个 目”，则A=AB2UA2B1,因为AB2与A2B1互斥， A:与B,A与B1分别相互独立，所以P(A)= 数的平均数为士3？，众数为4，因为这组数据的平 7 P(AiB2)+P (A:B)=P (A)P (B2)+ 均数与众数的和是中位数的2倍，分以下几种情况 P(A)P(B)×号是×=器此“星 12 讨论：若≤4，则中位数为4，此时士37+4=2×4， 7 队“在两轮克答中答对3个题目的概率是爱散选B 解得x=一9：若4<x<6,则中位数为x,此时士3☑ 二、选择题 十4=2x,解得x=5;若x≥6，则中位数为6，此时 7.BCD【解析】甲、乙的得分从小到大排列如下：甲： 7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3,乙：8.1,8.5,8.6,8.6， 士37+4=2×6，解得x=19.综上可知，丢失数据 7 8.7,9.1,甲得分的中位数为8.9，乙得分的中位数为 的所有可能取值构成的集合为{一9,5,19}. 8.6,甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故C正 四、解答题 确；甲得分的众数为8.9，乙得分的众数为8.6，甲得 11.解：(1)第一至第五组对应的频率分别为0.010×10 分的众数大于乙得分的众数，故B正确：甲得分的平 =0.1:0.015×10=0.15:0.040×10=0.4:a×10= 均数为7+8.3+8.9+8.9+9.2+9.3=8.6，乙得分 10a;0.005×10=0.05, 6 所以0.1+0.15+0.4+10a+0.05=1, 的平均数为8.1+8.5+8.6+8.6+8.7+9.1=8,6， 解得a=0.030, (4分) 6 所以参赛学生的平均成绩为0.1×55十0.15×65十 所以甲得分的平均数等于乙得分的平均数，故A错 0.4×75十0.3×85+0.05×95=75.5分.(6分) 误；由图可以看出甲得分的波动比乙大，故甲得分的 方差大于乙得分的方差，故D正确.故选BCD. ·52· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第一册· (2)由0.1：0.05=2：1， 13.解：(1)设事件A1=“第一轮比赛中甲胜出”，事件 得这6人中参赛成绩在[50,60)的人数为6×号 A2=“第二轮比赛中甲胜出”，事件B1=“第一轮比 赛中乙胜出”，事件B2=“第二轮比赛中乙胜出”， 4人，分别记为a,b,c,d: 由题意得A1,A2,B1,B2相互独立， 在[90,100]的人数为6-4=2人，分别记为x,y. 在这6个人中抽取2个人，共(a,b),(a,c), 且P(A)=,P(A)=p,P(B)=号，P(A)=4 (a,d),(a,x),(ay),(b,c),(b,d),(b,x), 记事件C=“乙恰好有一轮胜出”， (b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y), 则C=B1B2十B1B2, (x,y),15个基本事件， (9分) 又BB2,BB2互斥， 这2名学生比赛成绩均在[50,60)内，共(a,b), (a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),6个基本事 所以当9=名时，PCC=P(BB+BB) 件， (11分) =P(B1B)十P(B1B2) 6 故这2名学生比赛成绩均在[50,60)内的概率为 =P(B)P(B2)+P(B)P(B2) 57 2 51 (13分) 12.解：(1)因为在女生样本中，身高在[160,165]的频 因此，当9=名时，乙恰好有一轮胜出的概率为及 率为品号， (8分) (2)①设事件D=“甲、乙各有一轮胜出”，事件E 所以艺术团女生总体身高在[160,165]范围内的人 “甲、乙两轮都胜出”， 数估计为150×号×号=20（人）. (4分) P(D)=P(A:A2+AA2 )P (BB2+BiB2 =[1-+][1-0+]-品 79 (2)由题意知男生样本的身高平均数为169，方差为 39,女生样本的身高平均数为160，方差为15， 则总样本的平均数为20X16910X160=166, PD=P(A,ABB)=￥x号9若 30 (6分) 49+3p=5 则 总样本的方差为号×[39十(169一16)门十号× 12 1p9一25 [15+(160-166)2]=49, (8分) 3 4 解得p=了，9=5· (15分) 所以=166,62=49. (9分) (3)因为x=160,s=√/15， ②设事件G=“甲两轮都胜出”，事件H=“乙两轮都 胜出”，事件K=“甲、乙两人至少有一人两轮都胜 所以(x-2s,x+2s)即为(160-2√15,160十 出”， 2√15)，约为(152.2,167.8)， 由样本数据知169￠(152.2,167.8)，为偏离值， 则P6)=×号-0 所以剔除169， (12分) 剔除后女生样本(9人)的身高平均数为 P(H)= × 3 160×10-169=159. P(K)=P(GH)+P(GH)+P(GH) 9 方差为号×(4+1+32+2+1+2+0+3”+ 品×+品××器 (20分) 4)婴 (15分) ·53·高一同步周测卷/数学必修第一册 (十三)概率与统计综合测试 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.下列说法一定正确的是 A.一名射击运动员，号称“百发百中”，若他射击四次，不会出现四次都不中靶的情况 B.随机事件发生的概率与试验次数无关 C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元 D.抛掷一枚硬币正面朝上的概率是)，则掷100次硬币一定会出现50次正面朝上 2.已知A,B,C三款不同型号的智能手机数量之比依次为4：3：7，现用分层随机抽样的 方法抽取容量为N的样本，若样本中A型号智能手机有40件，则N为 A.120 B.140 C.160 D.180 3.2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深 刻的思想票房一路攀升.截至2025年2月6日登顶中国国内电影票房榜首.下图为 某平台向公众征集该电影的评分结果，根据表格信息我们可以估计其得分的60%分 位数约为 评分/分 1 3 4 5 人数占比/%1.03.213.634.248.0 A.4 B.4.03 C.5 D.3 4.某校高一组建了演讲、舞蹈、合唱、绘画、英语协会五个社团，高一1500名学生每人 都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调 查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： ↑人数 80 70 合唱 60 绘画 35% 10% 40叶--30 英语协会 演讲 20 20% 舞蹈 0 演讲舞蹈合唱绘画英语社团 协会 则估计该校参加舞蹈社团的学生人数为 A.300 B.225 C.150 D.40 数学（北师大版）必修第一册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 5.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球 是红球或白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是 白球或黑球的概率为 A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82 6.甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲 每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为子·在每轮宽答中，甲和乙答对与否互不 影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对3道题目的概率为 A沿 B岩 C.15 4 14 D. 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.为了丰富校园文化生活，展现学生的才艺风采，激发学生的艺术创造力和表现力，某 校举行了“绽放青春，艺路有你”才艺大赛.甲、乙两位同学才艺表演结束后，6位评委 对甲、乙进行打分（满分10分），得到如图所示的折线统计图，则 分数 9.5 9.3 92 9.0 85 89.-89 ◆一甲 8.5 8.6 -8.7-8.6 乙 8.0 8.3- 8.1 7.5 7.0-- 7.0 1 23456评委编号 A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B.甲得分的众数大于乙得分的众数 C.甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D.甲得分的方差大于乙得分的方差 8.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字x表示第一次抛掷骰子的点数，数字y表 示第二次抛掷骰子的点数，用(x,y)表示一次试验的结果.记事件A=“x十y=7”,事 件B=“x≤3”，事件C=“xy mod5=1”(余数运算a mod b=c(b≠0)表示整数a除 以整数b所得余数为c).则 A.P(C)=36 7 B.A与C为对立事件 C.A与B相互独立 D.B与C相互独立 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 7 答案 高一同步周测卷十三 数学（北师大版）必修第一册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图，用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有 一个正常工作时，系统正常工作，已知K,A4正常工作的概率依次为，号，号则 系统正常工作的概率为 ,只有K和A1正常工作的概率为 .(本题 第一空2分，第二空3分) 10.已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是4,4,6,4,8,11，若这组数据 的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合 为 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 某校举办了一次航天知识竞赛，满分100分，共有100人参赛，将参赛学生的成绩分 成如下五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，第三组[70,80)，第四组[80,90)，第 五组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图 频率 ↑组距 0.040-- a 0.015 0.010 0.005 05060708090100分数 (1)根据频率分布直方图，求α的值及参赛学生的平均成绩；（同一组数据用该组区 间的中点值作代表) (2)从参赛成绩在[50,60)和[90,100]的学生中，采用分层随机抽样方法抽取6名学 生，再从抽取的这6名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生比赛成绩均在 [50,60)内的概率. 数学（北师大版）必修第一册第3页（共4页）】 衡水金卷·先享题 12.(本小题满分15分) 某校艺术团共有150人，男生与女生的比例是2：1.为了解艺术团全体学生的身高， 按性别比例进行分层随机抽样，抽取样本量为30的样本，并观测样本身高数据（单 位：cm).已知男生样本的身高平均数为169，标准差为√39.下表是抽取的女生样本 的数据： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 8 9 10 身高 155158156157160161159162169163 记抽取的第i个女生的身高为x;(i=1,2,3,·,10),样本平均数x=160,标准差s= √15. (1)用女生样本的身高频率分布情况估计艺术团女生总体的身高频率分布情况，试 估计艺术团女生总体身高在[160,165]范围内的人数； (2)用总样本的平均数和方差估计艺术团总体身高的平均数：和方差。2，求，σ 的值； (3)若女生样本数据在(x一2s,x十2s)之外的数据称为偏离值，剔别除偏离值后，计算 剩余女生样本身高的平均数与方差， 参考数据：√/15≈3.9. 13.(本小题满分20分) 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”.竞赛共分两 轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率 分别为，号：在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的颗率分别为力9，假设甲，乙两人在 每轮比赛中是否胜出互不影响. 5 (1)若q=6,求乙恰好有一轮胜出的概率； (2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为品甲、乙两轮都胜出的概率为号 ①求p,q的值； ②求甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率. 高一同步周测卷十三 数学（北师大版）必修第一册第4页（共4页）