第7章 专题探究5 数学文化与探究创新-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学必修第一册(北师大版2019)

专题探究5数学文化与探究创新 黑题 专题强化 限时：90min 题组1集合中的创新问题 4.(2024·安徽芜湖高二月考)已知集合A中含 1.(2024·江苏常州高三模拟)设全集为U,定义 有三个元素x,y,z,同时满足①x<y<z:②x+ 集合A与B的运算：A*B=|xIx∈AUB且x y>;③x+y+:为偶数，那么称集合A具有性质 使A∩B,则(A*B)*A= P.已知集合Sn={1,2,3,…,2n(neN°，n≥ A.A B.B 4),对于集合S。的非空子集B,若Sn中存在 C.A(C,B) D.BO(CA) 三个互不相同的元素a,b,c,使得a+b,b+c,c+ 2.对集合A=1,2,3,…,n}的每一个非空子集， a均属于B,则称集合B是集合S的“期待子集”. 定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按 (1)试判断集合A={1,2,3,5,7,9是否具有 照递减的次序重新排列该子集，然后从最大 性质P,并说明理由； (2)若集合B=13,4,a具有性质P,证明：集 的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如： 合B是集合S,的“期待子集”： 集合11,2,4,6}的“交替和”为6-4+2-1=3， (3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集 集合{3,8}的“交替和”为8-3=5，集合6}的 合M是集合Sn的“期待子集”. “交替和”为6，则集合A所有非空子集的“交 替和”的和为 ( A.n·2 B.n·2- C.n(n+1)·2" D.n(n+1)·2- 3.(多选)(2024·湖北荆州沙市中学 高一月考)对非空有限数集A= {a1,a2,…,an},定义运算“min”:minA表示 集合A中的最小元素现给定两个非空有限数 集A,B,定义集合M=xlx=1a-b1,a∈A,b∈ 题组2函数中的创新问题 B},我们称minM为集合A,B之间的“距 5.设S,T是R的两个非空子集，如果存在一个 离”，记为d则下列命题为真命题的是 从S到T的函数y=f(x)满足：①T={f(x)Ix eS:②对任意x1,eS,当x,<x2时，恒有 ( f代x,)<f(x2),那么称这两个集合“保序同构” A.若minA=minB,则dn=0 以下集合对不是“保序同构”的是( B.若minA>minB,则dB>0 A.A=N*,B=N C.若dB=0,则A∩B≠⑦ B.A={x-1≤x≤3，B=xlx=-8或0<x≤10 D.对于任意有限数集A,B,C,均有dm+ C.A=x10<x<I,B=R dac≥dac D.A=Z,B=Q 数学文化与探究创新黑白题149 6.(多选)(2024·江苏无锡高一月考)在数学 8.(2024·河北邯郸高一期中)若函 中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非 数f(x)与g(x)对于任意x1,x,e 常重要的不动点定理，它可应用到有限维空 [c,d],都有f(x,）·g()≥m,则称函数 间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔 f(x)与g(x)是区间[c,d]上的“m阶依附函 不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳 威尔(L.E.J.Brouwer),简单的讲就是对于满足 数，已知西数e)与g=-20 一定条件的图象不间断的函数(x),存在一 是区间[1,2]上的“3阶依附函数”，则a的取 个点xo,使f(x)=x,那么我们称该函数为 值范围是 “不动点”函数，x。为函数的不动点，则下列说 9.(2024·云南昆明高一月考)由于函数y=x+ 法正确的是 (>0)的图象形状如勾，因此我们称形如“y= A八)=o0为不动点"函数 x+二(k>0)”的函数叫做“对勾函数”，该函数 B.f(x)=+5+x-3的不动点为2 有如下性质：在区间(0，√k)上单调递减，在区 2x2-3,x≤1， C.f(x)= 恰好有两个不动点 12-xl,x>1 间（瓜，+∞）上单调递增 D.若定义在R上仅有一个不动点的函数f代x) 2x-16,xe[1,4], 4 (1)已知函数f(x)=2x 满足ff(x)-x2+x)=f(x)-x2+x,则f(x)= x2-x+1 利用题干性质，求函数f八x)的单调区间和 7.(多选)(2024·江苏南京高一期末)设f(x), 值域； g(x)都是定义域为区间D的函数，若存在k> (2)若对于Hxe[1,+∞)，都有g(x)= 0,使得对任意x,x∈D,都有1f(x,) +4r+5≥m恒成立，求m的取值范围。 x+1 f八x)川≤k1g(x,)-g()川成立，则称fx)在D 上相对于g(x)满足k~条件.下列命题正确 的是 ( A.若f(x)=c,g(x)=xf(x)在区间[2,4]上相 对于8满足“条作，测上的最小值为 B.若fx)=sinx,g(x)=,则f（x)在区间 (0,+)上相对于g(x)满足2·条件 C设a为实数，若fx)=a,g(x)-x) 在区间[2,3]上相对于g(x)满足4条件， 则：的最大值为号 D.若fx)=x,g(x)=log(9+1)f(x)在D上 相对于g(x)满足1·条件，则DC(-x,0] 必修第一册：BS黑白题150(3)记事件A为甲输,事件B为乙输,事件C为丙输,记事件M:甲 d+dncdc不成立,故D为假命题.故选AC 赢.记事件N:丙赢.则甲赢的基本事件包括BCBC.ABCBC.ACBCB 4.(1)解:集合A=1.2.3.5.7.9不具有性质P.理由如下; BABCC.BACBC.BCACB.BCABC.BCBAC 甲的概率为P(M) (i)从集合A中任取三个元素x.y:均为奇数时,x+y+:为奇数,不满 ()7x()-.出对称性可知,乙赢的概率和甲赢的概 足条件③; (i)从集合A中任取三个元素x.y.:有一个为2.另外两个为奇数 时,不妨设y=2.s,则有:-x2.即:-xy.不满足条件② 综上所述,可得集合A= 1.2.3.5.7.9不具有性质P 12.解;(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1.2.3.4的概率的 (2)证明:由3+4+a是偶数,得实数a是奇数。 估计值如表. 当ac3c4时,由a+3>4.得1<a<3.即a=2.不符合题意;当3<4 空气质量等级 12 3 4 时,由3+4a.得4<a<7.即a=5或a=6(舍去). 概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09 因为3+4+5=12是偶数,所以集合B=13.4.51,令a+b=3.b+c 4. ta=5.解得a=2.b=1.c=3 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为x(100x20+ 显然a.b.c=$.=11.2.3.4.5.6.7.8 300×35+500×45)=350 所以集合B是集合S.的“期待子集” 13.解:(1)记“该校男生支持方案一”为事件A.“该校女生支持方案 (3)证明:充分性: “为事件B,由于所有学生对活动方案是否支持相互独立,所以由 当集合V是集合S.的“期待子集”时,存在三个互不相回的&.。 表中数据可知抽取的男生总人数为200+400=600.支持方案一的 使得atb,b+c.e+a均属于M. -200. 不妨设a<b<c.令x=atb,y=atc.:=b+c.则x<y<.即满足条件①; 有200人,则估计该校男生支持方案一的概率P(A)= 因为x+y--=(a+b)+(a+c)-(b+c)=2a>0.所以x+y>:.即满足条 取的女生总人数为300+100=400,支持方案一的有300人,故估计 件②; 该校女生支持方案一的概率P(B)-4003 300 3 因为xty+=2(athtc).所以x+v+:为偶数,即满足条件③ 所以当集合M是集合S。的“期待子集”时,集合M具有性质P (2)记“从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取 必要性: 1人.这3人中恰有2人支持方案一”为事件C.则事件C包含“一 当集合具有性质P,则存在x.y,:.同时满足①x<y<2;②x+y>; 名男生支持,一名男生不支持,一名女生支持”“两名男生支持,一 ③x+:为偶数,令--.6--y.c--,则由条件 名女生不支持”,由(1)可知P(c)-2x(1-)×寸寸寸) 2 2 ①得a<be,由条件②得a--→o.由条件③得a.b.c均 1×(1-)-33 2 2 为整数,因为:-c---y+(-y)-y--y>o.所以o< (3)p。>P 2 2 2 azb<c<:.且a.b.c均为整数,所以a.b.ceS..因为atb=x,a+c=y. 专题探究5 数学文化与探究创新 b+e=z.所以a+b.b+c.e+a均属于M.所以当集合M具有性质P时 集合AV是集合S.的“期待子集” 综上所述,集合M具有性质P的充要条件是集合V是集合S.的 1. B 解析:因为A+B=xIxAUB且xAOB =[BO( A)] “期待子集”. [A(fB)].所以CA-B)A= AO[f(A*B)])U[(AB)C 5. D解析:对于A=N*.B=N.存在函数/fx)=x-I.xEN'.满足; ($A)]=(AnB)U[BO(f.A)]=B.故选B. ①B=f(x)lxeA;②对任意x.xA.当x<x。时,恒有/fx.) 2. B 解析:由题意得:集合A=|1.2.3...,a的非空子集中,除去集合 fx),所以选项A是“保序同构”.对于A=xl-1<x<3l,B=xl nl,还有2“-2个非空集合,将这2”-2个子集分成两类: /-8x=-1. 第一类:包含。的子集;第二类:不包含n的子集 x=-8或0<x10|,存在函数/(x)= 满足: 在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系:f:A.→AUnl, 其中A.是第二类子集,显然这种对应是一一映射. ①B=fx)lxeA;②对任意x.A.当xx:时,恒有/f(x) 设A.的“交替和”为,则An的“交替和”为a一k,这一对集合的 nx),所以选项B是“保序同构”;对于A=x10<x<11.B=R.存在 “交替和”的和等于a.所以A的所有非空集合的“交替和”总和为 函数(t)→tan(-).,满足:①B-)(x)1xeAì;②对任意x, 对=A.当i.。时,恒有/(x)f(x),所以选项C是“保序同构” 3. AC 解析:对于A.若minA=minB.则A.B中最小的元素相同,则 对于A-Z.B=Q.不存在函数/(t).不是“保序同构”,所以选项D不 =0.故A为真命题;对于B.取集合A=1.2|.B=0.2|,满 是“保序同构”.故选D 足min A>minB.而di=0.故B为假命题;对于C.若ada=0.则A.B 中存在相同的元素,所以交集非空集,故C为真命题;对于D.取集 合A=l1.21.B=2.3.C=l3.4,可知d=0,dc=0,dc=1.则 fx)为“不动点“函数,A正确,对于B.由f(x)=x.得x+5+x-3= 参考答案 黑白题089 x.即V45-3,即+5-9,解得x=+2,经检验符合题意,因此(x) 48].由“3阶依附函数”定义可知/(x)·g()>3对于任意x. 的不动点为+2.B错误.对于C.当x51时f(x)=2x}-3.由f(x)=x. 得2x-3=x.解得x=-1;当x1时,f(x)=12-xl.由/(x)=x.得12- xl=x.无解.因此函数/(x)只有一个不动点.C错误.对于D.设该不 即g()= 动点为t.即/t)=1.由/f(x)-x”x)=f(x)-°+x. 得(x)-?x=t即(x)=-x4,于是-1l=t.解得t=0或 =1. 所以a的取值范围为[2.+x).故答案为[2.+). 当t=0时/f(x)=x-x,由f(x)=x.得x}-x=x,解得x=0或x=2,此$ 4 时/(x)有两个不动点,不符合题意.当t=1时./(x)=x2-x+1.由 x)=x.得x--+1=x.解得x=1.f(x)只有一个不动点,符合题意. 因此/(x)-r*-x+1.D正确.故选AD 递减,在区间[2.7]上单调递增.而1=2x-1在区间[1.7]上单调递 7. AC 解析:对于A.由题知Vx,[2.4].均有1f(xi)-f(x)1 [],当1e[2,7]时,: 增,又当te[1.2]时,: [4]. lg(x)-g()1成立,当xi=x。时显然成立,不妨设xi>x,则 因此(s)在区回[1.]上单调递减,在区回[ [4】上单 -x2 /+v 增因为(x)_)()-1v()0、)(4)- 调通减区间是[1]单调增区问是[4]域是[-1.8] #(3) n-等=2.而 ()-()- x+1 #-(5-1) 吾2{())-=()- 递增,则当a=2时,y=5.于是当x=1时,g(x)取得最小值5.因为 (V6-②)(v6.25-1.4)v3.24=1.1$1.8=1.982.此时 对Vx[1.+).都有g(x)n成立,则m5.所以n的取值范围 )2 -*) .故不符合要求. 是(-x,5]. 故B错误对于C.由题知Vx.t=[2.3],均有 全书综合检测 l(x)-f(x)1klg(x)-g(x)1成立,当x.=x.时显然成立,当 &{}二4 1. A 解析:方程--3x-4=0,解得x=4或x=-1.即A=|-1,4.又集 x.*x时.la(x,-)(x+x)14 合V=-4.-1.0.1.4.则 A=1-4.0.11.故选A. 2.B 解析:命题“3x1.-x>0”为存在量词命题,其否定为Vx>1. la(x+)1c4 $:()短成立又对(4. 1五 *-0.故选B. 9),+e(4.6),所以4 (6-2i>0. 3.D 解析:要使函数/(x)有意义,须使 1+40. '解得-4<x<3,即函 即。 数fx)=log(6-2x)+x+4的定义域为[-4.3).故选D 在非空数集D上,1/(.)-/{x)1lg(x.)-g(x)1恒成立,当x,= 2 x.时显然成立,不妨设x.>x,则ax.-x.log(91+1)-log(92+1). 所以log(92+1)-x.log(9ì+1)-x.成立.令/fx)=log3(9+1)- 5.C 解析:函数f(x)= 2+2 x.则函数fx)=log(9+1)-x在非空数集D上单调递增,因为/f(x) 2”-(x),所以)(x)为奇涵数,函数图象关于原点对称,故排 2-2 log(9+1)-x=1bg-3 除D;义(0)-2-20 220_0,排除A;当x0时,2>2→0.所以2-2> (0.1].y=3”单调递增,y-x-在区间(0.1)上单调递减,所以y- 0.2+2->0.又2-2-(2+2-)=-2$20所以0<2-2 3--单调递减,所以(x)在区间(-x,0]上单调递减,故D错误 2*42,所以f(x)<1.故排除B.故选C. 6. B 解析:因为c=log3=(0.1),b=logs3=(0.1),a= 故选AC. ()}。 ln3 单调递减,所以当x=[1.2]时,/(x)=[3.4].令,=x3,则当xe - log3 n3 ln5 [1.2]时.te[1.8].因为h(t)=?-2t+a=(t-1)+a-1.所以当:e ln6 [1.8]时,h(t)E[a-1,a+48],即当xe[1.2]时,g(x)=[a-l.a+ a.故选B. 必修第-册·BS 黑白题090