精品解析：湖北省武汉市青山区2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

青山区2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试卷 青山区教育科学研究院命制 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 1. 已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算以及除法运算求解即可. 【详解】∵，∴， ∴， ∴复数在复平面内对应的点，位于第二象限. 故选：B. 2. 设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面平行的性质与判定，平面与平面垂直的性质与判定逐个选项分析即可． 【详解】若，则或，A选项错误； 若，，则或相交，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，则可以平行，可以异面，可以相交，故D错误； 故选：C. 3. 已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设确定圆台上下底面半径及高，再应用圆台的体积公式求体积. 【详解】由题设，圆台上下底面半径分别为，高， 所以圆台的体积. 故选：C 4. 若函数，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 D. 的最小正周期为 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦型函数的单调性可判断；用代入检验法可判断；根据正弦型函数图象的对称性可判断；根据正弦型函数的周期公式可判断. 【详解】， 对于：， 所以， 所以， 所以的单调递减区间为，故正确； 对于：， 所以不是的对称轴，故错误； 对于：的周期，故错误； 对于： 由正弦型函数图象可知的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是，故错误； 故选：. 5. 已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由题意得，即点为的重心，所以，即即可求解. 【详解】取的中点为，连接，则， 由有， 即，所以点为的重心， 即， 所以， 故选：A. 6. 如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为,由侧面展开图面积，再作出圆锥的轴截面，由时，面积最大求解. 【详解】设圆锥母线长为l，底面圆O半径为， 所以，解得， 作出圆锥的轴截面，如图所示： 则 ， 因为底面圆周上有两动点，，当时，则面积的最大， 最大值为. 故选：B. 7. 如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围. 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积转化为求三棱锥体积判断A；利用几何法求出异面直线所成角范围判断B；将侧面和侧面展开至同一平面求出最小值判断C；作出截面并求出截面面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，为线段的中点， 对于A，，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，而的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等， 当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，B正确； 对于C，如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，C正确； 对于D，如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为， 所以等腰梯形的面积为，D错误. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.将答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 9. 设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用共轭复数的定义即可判断；对于B，利用共轭复数的定义即可判断；对于C，利用复数共轭复数相乘的性质即可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，则 ，，所以 为真； 对于B，若，则 和 互为共轭复数，所以 为真； 对于C，设 ，， 若 ，则 ，即 ， 所以 ，所以 为真； 对于D，若，，则， 而 ，，所以 为假． 故选：ABC 10. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且有两解，则b的取值范围是 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用大角对大边及正弦定理可判断；根据三角形有两解时的条件可判断；利用正弦定理及倍角公式可得或，继而可判断；根据同角关系式及正弦定理、余弦定理可判断. 【详解】对于：因为，所以， 所以（为外接圆的半径），所以，故正确； 对于：当时，有两解需满足， 即，故正确； 对于：， 所以（为外接圆的半径）， 即，即， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故错误； 对于：， 所以，即， 所以，所以， 所以为钝角三角形，故正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 12. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 【答案】; 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案. 【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 13. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用作平行线作出异面直线CE与PB所成角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在四棱锥中，设F为的中点，连接， 由题意知四边形为正方形，设， 由于E为的中点，故，则即为异面直线CE与PB所成角或其补角， 底面ABCD，底面ABCD，则, 结合，则， 又， 则在中，， 结合，则， 即异面直线CE与PB所成角的大小为， 故答案为： 14. 如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为________． 【答案】 【解析】 【分析】由棱台的结构特征可知，，结合锥体的体积公式分析求解即可. 【详解】设三棱台的高为， 因为，可知， 所以. 设，所以， 设到平面的距离为， 因为，且，所以， 所以三棱锥的体积. 故答案为：. 四、解答题：证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据图象可得，，将代入解析式,结合即可得出解析式； （2）由的范围求出的范围，根据余弦函数的性质求出值域； （3）将函数零点问题转化为在上恰有个解，再由的范围求出的范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【小问1详解】 由函数的图象，可得，， 则，所以． 将点代入函数解析式可得， 解得，因为，所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以， 即在上的值域为； 【小问3详解】 由（1）知，则， 由函数在上恰有个零点， 即在上恰有个解，即在上恰有个解， 因为，所以， 则，解得，故. 17. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角； （3）求点M到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点为，连接, 由于为的中点， 所以且， 又且， 因此且，所以四边形为平行四边形， 故, 平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可证明四边形为平行四边形，即可利用线面平行的判定求解， （2）根据线线垂直可得平面，即可知为直线与平面的夹角，利用三角形的边角关系即可求解， （3）由线面角的大小，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 所以直线与平面的夹角即为直线与平面的夹角， 取的中点为，连接, 由于所以, 又平面平面，所以, 平面， 故平面，所以为直线与平面的夹角， 由于， 所以, 由于为锐角，所以， 故直线与平面的夹角为. 【小问3详解】 由（2）知直线与平面的夹角为， , 故点M到平面的距离为. 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由数量积坐标公式计算结合两角和正弦公式计算求解； （2）应用余弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）先应用正弦定理结合三角恒等变换计算，再应用正弦函数值域计算求解. 【小问1详解】 ，， 即， ，， 又，，， 【小问2详解】 ，， ， ，， 的周长为． 【小问3详解】 在锐角三角形ABC中，， 因为根据正弦定理，所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即，所以， 即，， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，，是边长为6的等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）设二面角的平面角为，直线CN与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质可推出线线平行结合线段成比例即可求得答案； （2）利用面面垂直的性质可得线面垂直，继而可求得三棱锥的体积，结合比例关系即可求得答案； （3）作出二面角的平面角，设，结合题意可求出m的范围，进而作出直线CN与平面所成的角，求出的表达式，结合m的范围，即可求得答案. 【小问1详解】 （1）连接交于O，连接．因为直线平面，平面， 平面平面，所以，因为， 所以，则． 【小问2详解】 取AD的中点E，AC的中点F，连接． 因为是边长为6的等边三角形，则． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面AMD， 所以平面，而，则， 则， 由（1）可知，，所以， 则． 【小问3详解】 因为平面ABCD，EF，平面ABCD，所以． 又因为E，F分别为AD，AC的中点，所以， 而，所以，又，ME，平面MEF， 则平面MEF，又平面MEF，得， 所以是二面角的平面角，． 设，则，得． 过N作交AD于H，连接CH，由于平面ABCD， 所以平面ABCD， 则为直线CN与平面ABCD所成的角，即． ． 因为， 在中，根据余弦定理，， 所以， 则． 因为，所以． 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青山区2024-2025学年度第二学期期末质量检测 高一数学试卷 青山区教育科学研究院命制 满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.将答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 1. 已知复数满足（是虚数单位），复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的图象关于直线对称 C. 的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 D. 的最小正周期为 5. 已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆锥的高，侧面积，，是底面圆上的两个动点，则面积的最大值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 如图，，点P在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线与直线所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. 若为线段中点，过，，三点的平面截正方体所得的截面的面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.将答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 9. 设 ， 是复数，则下列命题中的真命题是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 10. 如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 11. 已知a、b、c分别为内角A、B、C的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且有两解，则b的取值范围是 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 12. 水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为________． 13. 在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________． 14. 如图所示，三棱台中，，且三棱锥的体积，则三棱锥的体积为________． 四、解答题：证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡对应题目的相应位置上. 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 16. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）求在上的值域； （3）若函数在上恰有三个零点，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的夹角； （3）求点M到平面的距离． 18. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． （3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，，是边长为6的等边三角形，平面平面ABCD，点N在棱MD上，直线平面ACN． （1）求的值； （2）若，求三棱锥的体积； （3）设二面角的平面角为，直线CN与平面所成的角为，若的取值范围是，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $