专题04 幂指对函数（10年汇编）（上海专用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 幂指对函专题10年上海高考真题与模拟汇编，按指数函数、对数函数等4考点分类，含近年创新题型如2025年指数逻辑推理、对数“对称集”新定义 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|多题|指数单调性、幂函数定义域|结合2025真题考逻辑推理| |填空|多题|反函数解析式、对数定义域|基础送分题稳定| |解答题|含压轴题|指数分类讨论、对数新定义证明|融合导数、充要条件等跨知识点|

专题04 幂指对函数 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 指数函数 2017-2026 年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2020、2023、2026 年均有解答题，2025 年考查逻辑推理型单选 基础题聚焦指数函数单调性、基本运算与方程求解，难度较低；近年变化显著：大量结合分段函数、不等式、二次函数综合考查，解答题侧重分类讨论与最值求解，2025 年创新考查指数单调性的逻辑反向推导，对推理能力要求提升 考点 02 对数函数 2017-2026 年高频考查，题型以填空题、解答题为主；2022、2024、2025 年均有解答题，2025 年出现 3 问压轴解答题 基础题考查定义域、单调性与不等式求解；核心变化为 2025 年首次结合新定义 “对称集”，融合偶函数、充要条件、导数单调性综合考查，解答题从基础计算转向逻辑证明与多知识点融合，压轴题难度大幅提升 考点 03 反函数 2017-2021 年连续考查，题型以单选题、填空题为主；2017-2020 年年年有填空，2021 年考查单选判断 题型稳定，难度偏低，核心考查反函数的定义、存在性判断、解析式求解与反函数性质应用，无复杂综合考查，命题规律无显著变化，为基础送分类考点 考点 04 幂函数 2018、2022、2025 年均有考查，题型为单选题、填空题；2025 年考查单选，2022 年考查定义域判断，2018 年考查性质应用 题型稳定，难度极低，核心考查幂函数的定义、单调性、奇偶性与定义域求解，无综合拓展考查，命题规律无显著变化，为基础必拿分考点 考点01 指数函数 1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 3．（2018·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 【答案】 【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解. 【详解】根据题意，，即， 去分母化简得，所以，因为，所以. 故答案位：. 4．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______； 【答案】 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 5．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________． 【答案】 【分析】分类讨论和，解方程的解，即可得出答案. 【详解】当时，，解得：， 当时，，解得：（舍去）， 所以方程的解为. 故答案为：. 6．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）；（2）时，. 【分析】（1）当时根据函数的解析表达式，利用指数函数的单调性得到，进而解得；当时，利用不等式的基本性质可得,此时无解. （2）根据已知条件，结合函数的解析式，求得的值，进而分段讨论，当时可利用不等式的基本性质得到, 当时利用二次函数的性质求得>400，从而得到答案. 【详解】（1）当时，,即,； 当时，,此时无解. 综上所述，； （2）当时，,解得, 当时， 当时，, 当 时取得最大值. 综上所述当 时取得最大值，. 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，涉及不等式的基本性质，函数的最大值，指数函数的单调性，指数不等式和不等式的求解，属中档难度试题，关键在于分段讨论.难点在于（2）中的求最值部分，当时，关于的函数的单调性比较复杂，先探求范围，求出当时的最值，这样可以避免对复杂函数的单调性的分析. 考点02 对数函数 1．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 【答案】 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 3．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 4．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 5．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题设可得，求解即可. （2）由题设有，讨论、分别求解即可. （3）将题设化为对于任意存在，即可证结论. 【详解】（1）由题设，甲变化为，则， ∴，解得. （2）由题设，，又， ∴， 当，即时，则，恒成立； 当，即时，则，解得：或. 综上，不等式解集为. （3）由题设，，则， ，则， ∵当成立，在上单调递增， ∴， ∴对于任意总存在成立， ∴在R上单调递增，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，利用绝对值的几何意义及区间单调性，结合任意存在，判断函数在实数域上单调性. 考点03反函数 1．（2021·上海·高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义判断． 【详解】在定义域内， 中可能有两个不同的对应同一个，不存在反函数； 是周期函数，多个对应同一个，不存在反函数； 对值域内每一个值在定义域内都只有唯一的与之对应，存在反函数， 是所有对应同一个，它不存在反函数． 故选：C． 2．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________ 【答案】 【分析】求出函数的反函数的解析式，进而可求得结果. 【详解】由可得，故，因此，. 故答案为：. 3．（2020·上海·高考真题）已知，则_______ 【答案】 【分析】先反解出x，再交换x，y的位置即可得到. 【详解】，即其反函数是. 故答案为： 【点晴】本题考查求已知函数的反函数问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 4．（2019·上海·高考真题）函数的反函数为___________ 【答案】 【分析】求解出原函数的值域，得到反函数的定义域，再求解出反函数的解析式，得到结果. 【详解】当时，，即 又     反函数为：， 【点睛】本题考查反函数的求解，易错点为忽略反函数的定义域. 5．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则________ 【答案】 【分析】根据反函数的概念，代值计算即可. 【详解】根据题意，，即，∴. 故答案为：7 6．（2017·上海·高考真题）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________. 【答案】 【分析】由反函数与原函数的互逆关系知，的解就是求原函数的值，根据分段函数的解析式，结合奇偶性求出，从而可得结果. 【详解】由反函数与原函数的互逆关系知， 的解就是求原函数的值， 又,且为奇函数， , ,即为 的解, 故答案为. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、反函数的性质与应用以及分段函数的解析式，考查了转化思想的应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题. 考点04 幂函数 1．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 2．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化分数指数幂为根式，分别求出四个选项中函数的定义域得答案． 【解答】，定义域为， ，定义域为， ，定义域为， ，定义域为． 故选：C． 3．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 【答案】 【分析】由幂函数在上递减得，又由幂函数为奇函数，验证即可求解. 【详解】因为幂函数在上递减，所以， 又幂函数为奇函数，所以. 故答案为： 一、单选题 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，进而根据等比中项，结合对数的运算性质得，再代入计算公比即可. 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 2．（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】等价于，等价于， 可以推出，但无法推出，因为还存在这种可能性，所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·上海·三模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 二、填空题 4．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 5．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______. 【答案】3 【详解】代入，即，解得. 6．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义求出参数，再利用已知函数值求出幂指数得到完整解析式，最后代入计算得到的值. 【详解】已知，且是幂函数： 根据幂函数的定义，可得，解得； 将条件代入得，解得，即函数解析式为； 将代入解析式得. 7．（2026·上海金山·二模）将化成有理数指数幂的形式为___________． 【答案】 【分析】由根式与指数幂换算求解． 【详解】． 故答案为： 8．（2026·上海徐汇·二模）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】由幂函数的性质进行求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上是严格减函数， 所以， 故答案为： 三、解答题 9．（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. （2）. 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 10．（2026·上海·三模）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； （2）因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 11．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可； （2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得. 【详解】（1）将代入，可得，得， 故，该对数函数为定义在上的减函数， 故由可得，解得， 故不等式的解集为 （2）由已知可得， 即，故， 整理可得，故，得， 由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于， 设， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，解得， 当时，，即函数在区间上有两个零点， 故，不等式无解， 综上可得实数的取值范围为 12．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； (2)； (3) 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 【分析】利用赋值即可求证； 利用分离变量求值域，即可求得参数范围； 利用恒等式变形，结合值域分析，即可得证. 【详解】（1）略 （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）略 13．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可； （2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解. 【详解】（1）由可得， 又为严格单调递增函数，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）因为， 所以，， 由可得，， 当时，，在上单调递增，不合题意； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值， 此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点； 当时，，故当或时，， 当时，， 在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值， 故的极小值，又当时，， 所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点. 综上，实数的取值范围. 14．（2026·上海·三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． (1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式  ；②平方关系  ；③求导公式  写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； (2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围； (3)若，，证明：． 【答案】(1) 平方关系：； 倍角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系: ； 倍角公式：； 导数：，； 以上三个结论，证对一个即可． (2) (3) 因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，在上单调递增，即在上单调递增， 设，（），则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立，所以原不等式成立，得证． 【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）结合新定义将所证变为，设函数，即证，先利用导数求得在上单调递增，再设，利用导数得其单调性及，从而，得证. 【详解】（1）略 （2）构造函数，，由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令，， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数k的取值范围为； （3）略 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂指对函数 10年真题1年模拟 考点01 指数函数 1．B 2．D 3． 4． 5． 6．（1）；（2）时，. 考点02 对数函数 1． 2．(1) （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. (3) 3．(1) (2) 4．(1) （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 5．(1)； (2)； （3）由题设，，则， ，则， ∵当成立，在上单调递增， ∴， ∴对于任意总存在成立， ∴在R上单调递增，得证. 考点03反函数 1．C 2． 3． 4． 5． 6． 考点04 幂函数 1．】B 2．】C 3． 1．B 2．A 3．A 4． 5．】3 6． 7． 8． 9．(1) (2) 10．(1) (2) 11．】(1) (2) 12．(1)是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； (2)； (3) 由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 13．(1) (2) 14．(1) 平方关系：； 倍角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系: ； 倍角公式：； 导数：，； 以上三个结论，证对一个即可． (2) (3) 因为， 所以原式变为， 即证， 设函数，即证，， 设，， 时，在上单调递增，即在上单调递增， 设，（），则， 由于在上单调递增，， 所以，即，故在上单调递增， 又，所以时，， 所以，即， 因此恒成立，所以原不等式成立，得证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 幂指对函数 10年真题1年模拟 考点分类 上海考情（2017-2026） 命题规律 考点 01 指数函数 2017-2026 年连续考查，题型覆盖单选题、填空题、解答题；2020、2023、2026 年均有解答题，2025 年考查逻辑推理型单选 基础题聚焦指数函数单调性、基本运算与方程求解，难度较低；近年变化显著：大量结合分段函数、不等式、二次函数综合考查，解答题侧重分类讨论与最值求解，2025 年创新考查指数单调性的逻辑反向推导，对推理能力要求提升 考点 02 对数函数 2017-2026 年高频考查，题型以填空题、解答题为主；2022、2024、2025 年均有解答题，2025 年出现 3 问压轴解答题 基础题考查定义域、单调性与不等式求解；核心变化为 2025 年首次结合新定义 “对称集”，融合偶函数、充要条件、导数单调性综合考查，解答题从基础计算转向逻辑证明与多知识点融合，压轴题难度大幅提升 考点 03 反函数 2017-2021 年连续考查，题型以单选题、填空题为主；2017-2020 年年年有填空，2021 年考查单选判断 题型稳定，难度偏低，核心考查反函数的定义、存在性判断、解析式求解与反函数性质应用，无复杂综合考查，命题规律无显著变化，为基础送分类考点 考点 04 幂函数 2018、2022、2025 年均有考查，题型为单选题、填空题；2025 年考查单选，2022 年考查定义域判断，2018 年考查性质应用 题型稳定，难度极低，核心考查幂函数的定义、单调性、奇偶性与定义域求解，无综合拓展考查，命题规律无显著变化，为基础必拿分考点 考点01 指数函数 1．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2018·上海·高考真题）已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 4．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是______； 5．（2023·上海·高考真题）已知函数，且，则方程的解为______________． 6．（2020·上海·高考真题）已知：，，且， （1）若，求的取值范围； （2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值. 考点02 对数函数 1．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为_______. 2．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 3．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 4．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 5．（2022·上海·高考真题）已知函数，甲变化：；乙变化：，. (1)若，，经甲变化得到，求方程的解； (2)若，经乙变化得到，求不等式的解集； (3)若在上单调递增，将先进行甲变化得到，再将进行乙变化得到；将先进行乙变化得到，再将进行甲变化得到，若对任意，总存在成立，求证：在R上单调递增. 考点03反函数 1．（2021·上海·高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·高考真题）已知函数的反函数为，则________ 3．（2020·上海·高考真题）已知，则_______ 4．（2019·上海·高考真题）函数的反函数为___________ 5．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则________ 6．（2017·上海·高考真题）定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________. 考点04 幂函数 1．（2025·上海·高考真题）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 2．（2022·上海·高考真题）下列函数定义域为的是（　　） A． B． C． D． 3．（2018·上海·高考真题）已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则______ 一、单选题 1．（2026·上海·三模）已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·上海徐汇·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2026·上海·三模）已知，则下列结论中不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 4．（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 5．（2026·上海杨浦·二模）若幂函数的图像经过点，则实数______. 6．（2026·上海闵行·二模）已知，若是幂函数，且，则______. 7．（2026·上海金山·二模）将化成有理数指数幂的形式为___________． 8．（2026·上海徐汇·二模）若幂函数在区间上是严格减函数，则实数的取值范围是________. 三、解答题 9．（2026·上海虹口·三模）设． (1)解不等式：； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 10．（2026·上海·三模）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 11．（2026·上海长宁·二模）已知（其中，）. (1)若函数的图象过点，求不等式的解集； (2)若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围. 12．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 13．（2026·上海金山·二模）已知函数，其中． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围． 14．（2026·上海·三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线．1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰·伯努利等得到“悬链线”方程，其中c为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数，它们与正、余弦函数有许多类似的性质． (1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式  ；②平方关系  ；③求导公式  写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明； (2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数k的取值范围； (3)若，，证明：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $