专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ 考点4 指数函数、对数函数、幂函数&考点5 函数与方程-【区块练】2021-2025年五年高考真题分类汇编数学

考点4 1.解析　∵a>0，as>a，∴as－1>1＝a0， 当a∈(0,1)时，y＝ax定义域上严格单调递减， 此时若s－1<0，则一定有as－1>1＝a0成立，故D正确，C错误； 当a∈(1，＋∞)时，y＝ax定义域上严格单调递增，要满足as－1>1＝a0，需s>1，即A、B错误. 故选D. 答案　D 2.解析　法一　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x>y>z，A有可能； 令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能； 令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能. 故选B. 法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5. 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x. 故选B. 答案　B 3.解析　由函数y＝4.2x单调递增可知，0<a<1<b，又c＝log4.20.2<0，故b>a>c，故选B. 答案　B 4.解析　因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝2x1，y2＝2x2，且x1≠x2，则2x1≠2x2，所以y1＋y2＝2x1＋2x2>2＝2，所以>>0，所以log2>log2＝，故选B. 答案　B 5.解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f＝2x在区间上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝2－在区间上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是. 故选D. 答案　D 6.解析　令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1， 因为－1－＝－2， 而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0， 所以－1－＝－>0， 即－1>1－， 由二次函数性质知g<g， 因为－1－＝－2，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0， 即－1<1－，所以g>g， 综上，g<g<g， 又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a. 故选A. 答案　A 7.解析　将log83＝b转化为指数，得到8b＝3.再结合指数的运算性质，8b＝(23)b＝23b＝3，因为2a－3b＝＝，所以4a－3b＝，故本题选C. 答案　C 8.解析　对数函数的单调性可比较a，b与c的大小关系，由此可得出结论. a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b， 即a<c<b.故选C. 答案　C 9.解析　根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. 答案　64 考点5 1.解析　由指数函数、幂函数的单调性可知y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减， 显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0， 所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3,0.5). 故选B. 答案　B 2.解析　由题意知f(x)＝g(x)，则a(x＋1)2－1＝cos x＋2ax，即cos x＝a(x2＋1)－1.令h(x)＝cos x－a(x2＋1)＋1.易知h(x)为偶函数，由题意知h(x)在(－1,1)上有唯一零点，所以h(0)＝0，即cos 0－a(0＋1)＋1＝0，得a＝2，故选D. 答案　D 3.解析　(数形结合法)　因为函数y＝2sin的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin在[0,2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin与y＝sin x在[0,2π]上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 答案　C 4.解析　当x∈(0,1)时，g(x＋1)＝g′(x)＝ex，则x∈(1,2)时，g(x)＝ex－1，…，x∈(n，n＋1)(n∈N)时，g(x)＝ex－n，画出函数y＝g(x)，x∈(n，n＋1)(n∈N)的图象，如图a所示，此时，不存在直线y＝kx＋b(k，b∈R且k，b≠0)与y＝g(x)的图象有无穷个交点，故①不成立；当x∈(0,1)时，h(x＋1)＝h′(x)＝10x9，则x∈(1,2)时，h(x)＝10(x－1)9，…，x∈(9,10)时，h(x)＝A(x－9)，h(x)的示意图如图b所示，当n＝9时，h(x)＝A(x－9)，x∈(9,10)，令y＝10！(x－9)，则该直线与h(x)在(9,10)上的图象重合，此时这一段有无穷个交点，故②成立.综上，选D. 答案　D 5.解析　因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－<x<.所以f(x)＝x3－x＋1在，上单调递增，在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确. 因为f(x)的极小值f＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R上有且只有一个零点，故B错误. 因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称中心，故C正确. 假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上，若x0＝－1，则切点坐标为(－1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC. 答案　AC 6.解析　①当a＝0时，f(x)＝2|x|－2＋1＝2|x|－1，令f(x)＝0，得2|x|＝1，x＝±，即f(x)有两个零点，不满足题意.②当a≠0时，令ax＝m，则2－|ax－2|＋1＝2－|m－2|＋1，由2－|m－2|＋1＝0可得2＝|m－2|－1，则|m－2|－1≥0，解得m≥3或m≤1.(i)若m≥3，则由2＝|m－2|－1可得2＝m－3，化简得＝＝1－＋＝92＋，令 g(m)＝92＋，m≥3，则g(m)在[3,9)上单调递减，在(9，＋∞)上单调递增，又g(3)＝，g(9)＝，当m→＋∞时，g(m)→1，作出g(m)的大致图象如图所示.(ⅱ)若m≤1，因为x＝0不是f(x)的零点，所以m≠0.由2＝|m－2|－1可得2＝1－m，化简得＝＝1＋＋＝2，令h(m)＝2，m≤1且m≠0，则h(m)在(－∞，－1)，(0,1]上单调递减，在(－1,0)上单调递增，又h(－1)＝0，h(1)＝4，当m→－∞时，h(m)→1，当m→0时，h(m)→＋∞，作出h(m)的大致图象如图所示.数形结合可知，若f(x)恰有一个零点，则<<4，解得－<a<－1或1<a<，即a的取值范围为(－，－1)∪(1，). 答案　(－，－1)∪(1，) 7.解析　因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)＝cos ωx－1＝0，则cos ωx＝1有3个根， 令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0,2ωπ]， 结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3. 故答案为[2,3). 答案　[2,3) 8.解析　设A，B，则x2－x1＝， ωx2＋φ－(ωx1＋φ)＝π－＝， ω(x2－x1)＝，∴ω＝4， f＝sin＝0，＋φ＝kπ(k∈Z)，φ＝－π＋kπ(k∈Z)， k＝2时，φ＝－π，f(x)＝sin满足条件. ∴f(π)＝sin＝－. 答案　－ 9.解析　f(T)＝f(0)＝cos φ＝，且0<φ<π，故φ＝，f＝cos＝0⇒ ω＋＝＋kπ(k∈Z)⇒ω＝3＋9k(k∈Z)，又ω>0，故ω的最小值为3. 答案　3 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题 1.(2025·上海卷)设a>0，s∈R.下列各项中，能推出as>a的一项是(　　) A.a>1，且s>0 B.a>1，且s<0 C.0<a<1，且s>0 D.0<a<1，且s<0 2.(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x 3.(2024·天津卷)若a＝4.2－0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 4.(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A.log2< B.log2> C.log2<x1＋x2 D.log2>x1＋x2 5.(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f＝2x在区间单调递减，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 6.(2023·全国甲卷·文)已知函数f(x)＝e－(x－1)2.记a＝f，b＝f，c＝f，则(　　) A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 7.(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A.25 B.5 C. D. 8.(2021·新高考Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D. a<b<c 二、填空题 9.(2024·全国甲卷·理)已知a>1且－＝－，则a＝________. 一、选择题 1.(2025·天津卷)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) C.(0.5,1) D.(1,2) 2.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)＝a(x＋1)2－1，g(x)＝cos x＋2ax.当x∈(－1,1)时，曲线y＝f(x)与y＝g(x)恰有一个交点.则a＝(　　) A.－1 B. C.1 D.2 3.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin的交点个数为(　　) A.3 B.4 C.6 D.8 4.(2024·上海卷·春)现定义如下：当x∈(n，n＋1)(n∈N)时，若f(x＋1)＝f′(x)，则称f(x)为延展函数.当x∈(0,1)时，g(x)＝ex，h(x)＝x10.已知g(x)和h(x)均为延展函数，给出下列结论：①存在直线y＝kx＋b(k，b∈R且k，b≠0)与y＝g(x)的图象有无穷个交点；②存在直线y＝kx＋b(k，b∈R且k，b≠0)与y＝h(x)的图象有无穷个交点.则下列说法正确的是(　　) A.①②都成立 B.①②都不成立 C.①成立②不成立 D.①不成立②成立 5.(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(　　) A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y＝f(x)的对称中心 D.直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线 二、填空题 6.(2024·天津卷)若函数f(x)＝2－|ax－2|＋1恰有一个零点，则a的取值范围为________. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f＝cos ωx－1(ω>0)在区间有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________. 8.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________. 9.(2022·全国乙卷)记函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)＝，x＝为f(x)的零点，则ω的最小值为________________. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $