专题03 等式与不等式综合（含基本不等式）（10年汇编）（三大考点，44题）（全国通用）2017-2026年高考数学真题分类汇编

**基本信息** 高考等式与不等式综合真题汇编，覆盖不等式性质、解不等式、基本不等式三大考点共44题，精选2017-2026年上海、北京、全国卷等真题，聚焦高频考法与解题技巧。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|不等式性质（2019全国Ⅱ卷作差比较）、解不等式（2023新课标Ⅰ卷集合结合）、基本不等式（2021新高考Ⅰ卷椭圆最值）|基础题为主，含多选（2022新高考Ⅱ卷），侧重性质理解与简单应用| |填空|约15题|高次不等式求解（2025上海卷）、基本不等式配凑（2026上海卷最值）|直接考查运算，部分需分类讨论（2020浙江卷参数范围）| |解答|9题|基本不等式综合（2022全国甲卷解三角形求最值）|融合函数、解析几何，强调“一正二定三相等”条件应用，符合高考中档题命题趋势|

专题03 等式与不等式综合（含基本不等式） （三大考点，44题） 考点分类 五年考情（2017-2026） 命题规律 考点01 不等式性质 2026上海卷、2025北京卷、2024上海卷、2022上海卷、2019全国Ⅱ卷、2017山东卷 1. 题型以选择题为主，少量填空题，整体难度偏低，属于基础题型。 2. 核心考查不等式基本性质、作差/作商比较大小，常结合实数范围判断命题正误。 3. 命题形式简洁，多直接给出变量大小关系，侧重对性质的理解与简单应用。 考点02 解不等式 2026上海卷、2025全国二卷、2025上海卷、2025天津卷、2024上海卷、2023新课标Ⅰ卷、2020浙江卷、2020全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2018天津卷 1. 选择、填空均有考查，常与集合运算结合出题，是高考高频基础考法。 2. 重点考查一元二次不等式、高次不等式求解，同时考查不等式恒成立求参数范围问题。 3. 部分试题结合函数综合考查，对分类讨论思想有一定要求。 考点03 基本不等式 2026天津卷、2026上海卷、2025上海卷、2024北京卷、2024上海卷、2023上海卷、2022全国甲卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2021全国乙卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2021天津卷、2021上海卷、2020上海卷、2020山东卷、2020全国Ⅱ卷、2020天津卷、2020江苏卷、2019天津卷、2018江苏卷、2018天津卷、2017天津卷 1. 考查题量最多，包含选择、填空、解答题，有单选、多选形式，难度覆盖基础到中档。 2. 核心考查利用基本不等式求最值、判断不等式恒成立，重点考查“一正、二定、三相等”使用条件。 3. 综合性强，常融合圆锥曲线、解三角形、函数、解析几何等知识命题，注重配凑、换元等解题技巧。 考点01 不等式性质 1. （2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2. （2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3. （2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 4. （2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 5. （2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 6. （2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 7. （2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 8. （2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 考点02 解不等式 1. （2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3. （2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ） A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 4. （2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 5. （2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 6. （2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 7. （2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 8. （2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 9. （2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 10. （2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 11. （2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 考点03 基本不等式 1. （2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2. （2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3. （2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 5. （2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 6. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 7. （2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 8. （2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 9. （2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 10. （2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 11. （2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 12. （2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 13. （2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 14. （2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 15. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 16. （2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 17. （2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 18. （2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 19. （2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 20. （2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______． 21. （2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为__________. 22. （2019·天津·高考真题）设，则的最小值为______. 23. （2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 24. （2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_____________. 25. （2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为___________. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等式与不等式综合（含基本不等式） （三大考点，44题） 考点分类 五年考情（2017-2026） 命题规律 考点01 不等式性质 2026上海卷、2025北京卷、2024上海卷、2022上海卷、2019全国Ⅱ卷、2017山东卷 1. 题型以选择题为主，少量填空题，整体难度偏低，属于基础题型。 2. 核心考查不等式基本性质、作差/作商比较大小，常结合实数范围判断命题正误。 3. 命题形式简洁，多直接给出变量大小关系，侧重对性质的理解与简单应用。 考点02 解不等式 2026上海卷、2025全国二卷、2025上海卷、2025天津卷、2024上海卷、2023新课标Ⅰ卷、2020浙江卷、2020全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、2018天津卷 1. 选择、填空均有考查，常与集合运算结合出题，是高考高频基础考法。 2. 重点考查一元二次不等式、高次不等式求解，同时考查不等式恒成立求参数范围问题。 3. 部分试题结合函数综合考查，对分类讨论思想有一定要求。 考点03 基本不等式 2026天津卷、2026上海卷、2025上海卷、2024北京卷、2024上海卷、2023上海卷、2022全国甲卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2022新高考全国Ⅱ卷、2021全国乙卷、2021新高考全国Ⅰ卷、2021天津卷、2021上海卷、2020上海卷、2020山东卷、2020全国Ⅱ卷、2020天津卷、2020江苏卷、2019天津卷、2018江苏卷、2018天津卷、2017天津卷 1. 考查题量最多，包含选择、填空、解答题，有单选、多选形式，难度覆盖基础到中档。 2. 核心考查利用基本不等式求最值、判断不等式恒成立，重点考查“一正、二定、三相等”使用条件。 3. 综合性强，常融合圆锥曲线、解三角形、函数、解析几何等知识命题，注重配凑、换元等解题技巧。 考点01 不等式性质 1. （2026·上海·高考真题）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 2. （2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3. （2024·上海·高考真题），，，，下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD举反例；B选项由不等式的可加性可判断. 【详解】对于A，若，则，选项不成立，故A错误； 对于B，由不等式的可加性可知，，故B正确； 对于C、D，若，则选项不成立，故C、D错误． 故选：B． 4. （2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 5. （2022·上海·高考真题）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】，但，，A、C错 ，，所以.B正确. ，但，D错. 故选:B. 6. （2022·上海·高考真题），，则的最小值是___________. 【答案】/ 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 7. （2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【分析】本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错． 【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 8. （2017·山东·高考真题）若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且，所以 设，则，所以单调递增， 所以 ，所以选B. 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断. 考点02 解不等式 1. （2025·全国二卷·高考真题）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可. 【详解】即为即，故， 故解集为. 故选：C. 2. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 3. （2020·浙江·高考真题）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（    ） A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0 【答案】C 【分析】对分与两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为，所以且，设，则的零点 为 当时，则，，要使，必有，且， 即，且，所以； 当时，则，，要使，必有. 综上一定有. 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 4. （2020·全国I卷·高考真题）已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果. 【详解】由解得， 所以， 又因为，所以， 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目. 5. （2019·全国II卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 【答案】A 【分析】先求出集合A，再求出交集． 【详解】由题意得，，则．故选A． 【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目． 6. （2026·上海·高考真题）关于的不等式的解集为____________. 【答案】 【分析】由可得:，解不等式可得其解集. 【详解】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7. （2025·上海·高考真题）不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】转化为一元二次不等式，解出即可. 【详解】原不等式转化为，解得， 则其解集为. 故答案为：. 8. （2025·上海·高考真题）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】将不等式化为，即可得答案. 【详解】由题意得不等式即， 即不等式的解集为， 故答案为： 9. （2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 10. （2024·上海·高考真题）已知则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】求出方程的解后可求不等式的解集. 【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为， 故答案为：. 11. （2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】分类讨论：①当时，即：， 整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当时，，则； ②当时，即：，整理可得：， 由恒成立的条件可知：， 结合二次函数的性质可知： 当或时，，则； 综合①②可得的取值范围是，故答案为. 点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 考点03 基本不等式 1. （2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2. （2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3. （2022·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】［方法一］：（指对数函数性质） 由可得，而，所以，即，所以. 又，所以，即， 所以.综上，. ［方法二］：【最优解】（构造函数） 由，可得． 根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 . 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 . 故选：A. 【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解． 4. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 5. （2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意． 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出． 6. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案． 【详解】由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 故选：C． 【点睛】 7. （2020·上海·高考真题）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 8. （2020·山东·高考真题）（多选）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 9. （2020·全国II卷·高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 10. （2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 11. （2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，， ∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 12. （2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 13. （2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 14. （2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 15. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理，方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形，方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解，方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则， 又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 16. （2022·全国甲卷·高考真题）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解. 【详解】[方法一]：余弦定理 设， 则在中，， 在中，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以当取最小值时，. 故答案为：. [方法二]：建系法 令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系. 则C（2t,0），A（1，），B（-t,0） [方法三]：余弦定理 设BD=x,CD=2x.由余弦定理得 ，， ，， 令，则， ， ， 当且仅当，即时等号成立. [方法四]：判别式法 设，则 在中，， 在中，， 所以，记， 则 由方程有解得： 即，解得： 所以，此时 所以当取最小值时，，即.     17. （2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 18. （2021·上海·高考真题）已知函数的最小值为，则______. 【答案】 【详解】因为函数有最小值，所以， 因为，， 若,则由对勾函数的性质可得在R上单调递增，不合题意； 当时，， 因为函数最小值为， 所以，解得. 19. （2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 20. （2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】∵ ∴且 ∴，当且仅当，即时取等号. ∴的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 21. （2019·天津·高考真题） 设，，，则的最小值为__________. 【答案】. 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】由，得，得 ， 等号当且仅当，即时成立． 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 22. （2019·天津·高考真题）设，则的最小值为______. 【答案】 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】 ， 当且仅当，即或时成立， 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 23. （2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________． 【答案】9 【分析】方法一：先根据角平分线性质和三角形面积公式得条件，再利用基本不等式即可解出． 【详解】［方法一］：【最优解】角平分线定义＋三角形面积公式＋基本不等式 由题意可知，,由角平分线定义和三角形面积公式得，化简得，即， 因此 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故答案为：. ［方法二］： 角平分线性质＋向量的数量积＋基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式． 因为，所以，化简得，即，亦即， 所以， 当且仅当，即时取等号． ［方法三］：解析法＋基本不等式 如图5，以B为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．设，．因为A，D，C三点共线，则，即，则有，所以． 下同方法一． ［方法四］：角平分线定理＋基本不等式 在中，，同理．根据内角平分线性质定理知，即，两边平方，并利用比例性质得，整理得，当时，可解得．当时，下同方法一． ［方法五］：正弦定理＋基本不等式 在与中，由正弦定理得． 在中，由正弦定理得． 所以，由正弦定理得，即，下同方法一． ［方法六］： 相似＋基本不等式 如图6，作，交的延长线于E．易得为正三角形，则． 由，得，即，从而．下同方法一． 【整体点评】方法一：利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系，再根据基本不等式“1”的代换求出最小值，思路常规也简洁，是本题的最优解； 方法二：利用角平分线的性质构建向量的等量关系，再利用数量积得到的关系，最后利用基本不等式求出最值，关系构建过程运算量较大； 方法三：通过建立直角坐标系，由三点共线得等量关系，由基本不等式求最值； 方法四：通过解三角形和角平分线定理构建等式关系，再由基本不等式求最值，计算量较大； 方法五：多次使用正弦定理构建等量关系，再由基本不等式求最值，中间转换较多； 方法六：由平面几何知识中的相似得等量关系，再由基本不等式求最值，求解较为简单． 24. （2018·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为_____________. 【答案】 【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 25. （2017·天津·高考真题）若，，则的最小值为___________. 【答案】4 【详解】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）. 【考点】均值不等式 【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1） ，当且仅当时取等号；（2） ， ，当且仅当时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值. 试卷第1页，共3页 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $