暑假作业07 因式分解（巩固培优）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 本专项以“定义-方法-综合-应用”为逻辑主线，系统构建因式分解方法体系，通过判断口诀、操作规则提炼实用技巧，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心知识点|提公因式“系数-字母-多项式”三步骤、公式法“项数-平方-符号”判断口诀|从因式分解定义出发，建立与整式乘法的互逆关系，递进讲解提公因式法、公式法的原理与操作| |题型|9类分层题型|参数问题用定义逆向思维、综合分解“提-套-分”三步流程|覆盖基础提取到实际应用（如三角形形状判断、整除证明），形成“方法-变式-应用”的完整训练链|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 因式分解 【知识点1 】 1. 定义 (1) 因式分解（也叫分解因式）：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。 (2) 整式乘法：积 → 和（展开）， (3) 因式分解：和 → 积（收回去）， (4) 两者是互逆的恒等变形，不是新运算，只是逆着用分配律 / 逆着用乘法公式。 2. 因式分解的判断 (1) 结果必须是积的形式，不能是“和/差”收尾 (2) 每个因式必须是整式，不能有分式因子 (3) 分解彻底：每个因式都不能再继续分解，在有理数范围内，能再分的必须再分 【知识点2 提公因式法】 1. 公因式的定义：多项式中每一项都含有的因式（可以是一个单项式，也可以是一个多项式）。 2. 找公因式的操作规则 (1) 系数部分：各项系数的最大公约数（有分数时先通分成整数系数再处理，或提分数公因数） (2) 字母部分：取各项共有的字母，指数取该字母在各处的最低次幂​ (3) 多项式因式：如果各项都含有同一个括号整体，它也算公因式的一部分 3. 提公因式法的书写格式（示例）： 4. 两类公因式 (1) 公因式为单项式： (2) 公因式为多项式（核心难点）： 5. 负号优先提出的惯例：当多项式首项系数为负时，习惯上先把“－”或“−1”提出来，使括号内第一项变正： 【知识点3 公式法：提完公因式后再看能不能套】 1. 平方差公式：的判断口诀 (1) 两项（或可看成两项） (2) 每项都能写成“某个式子的平方” (3) 两项符号相反（一正一负） (4) 标准示范： 1 2 2. 完全平方公式：的判断口诀 (1) 三项（或能化成三项） (2) 首项和末项都能写成“平方”形式，且同号（通常都是正） (3) 中间项是首尾平方根乘积的2倍（符号决定用＋还是－） (4) 标准规范： 1 2 题型01 因式分解的参数问题 1．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若将多项式因式分解得，则的值为______． 【答案】 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得， ． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 题型02 提公因式法分解因式 1．（2026·江西上饶·模拟预测）分解因式：______． 【答案】 【分析】先找出多项式各项的公因式，提取公因式后，判断剩余多项式能否在有理数范围内继续分解，本题提取公因式后剩余多项式无法继续分解． 【详解】解：， 在有理数范围内不能分解因式，故答案为：． 2．（25-26九年级下·吉林松原·期中）分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 题型03 平方差公式分解因式 1．（2026·四川德阳·二模）如果，，那么_________． 【答案】4 【详解】解：根据平方差公式，得，将，代入上式，得：， ∴． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式变形为两个整式的平方差形式，再套用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 题型04 完全平方公式分解因式 1．（2026·浙江丽水·二模）多项式因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用完全平方公式对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：∵完全平方公式为， ∴． 2．（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．8或10 D．无法确定 【答案】B 【分析】先整理等式为两个完全平方的和，求出，的值，再分情况讨论边长，结合三边关系排除不合理解，计算周长． 【详解】解：∵ ∴ 即 ∵任何数的平方都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0 ∴， 解得，． 分两种情况讨论： ①若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，不满足三角形两边之和大于第三边，此情况不成立． ②若腰长为，底边为，则三边长为，，．∵，，满足三角形三边关系． ∴的周长为． 题型05 综合运用公式法分解因式 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 题型06 综合各种方法分解因式 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）分解因式（或利用因式分解计算）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 题型07 十字相乘法 1．（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【分析】先把看成一个整体，接着展开，然后利用“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分是三块邻边长为，的长方形． (1)观察图形，代数式可因式分解为_________． (2)图中涂色部分面积之和记作，非涂色部分面积之和记作． ①用含，的代数式表示，； ②若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意可得长方形纸片的面积为，或者表示为，即可求解； （2）①直接观察图形，即可求解；②根据，可得，从而得到，再进一步即可求解． 【详解】（1）解：观察图形得：长方形纸片分为2块是边长为的正方形，1块是边长为的正方形，3块是长为y，宽为的长方形， 所以长方形纸片的面积为， ∵长方形纸片的长为，宽为， ∴长方形纸片的面积为， ∴， 即代数式可因式分解为； （2）解：①根据题意得：； ②∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴，即， ∴． 题型08 分组分解法 1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用． ①分组分解法： 例如：． ②拆项法： 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）： ②（拆项法）： (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为的三条边，，则的周长为____； ②已知：a、b、c为的三条边，满足，试确定的形状，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)①7；②是等边三角形，理由见详解 【分析】（1）①读懂题意，利用分组法分解因式； ②读懂题意，利用拆项法分解因式； （2）①把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质分别列等式，求出a、b、c的值，再求和即可． ②把等式左边化成偶次方的形式，利用非负数的性质得出，即可解答． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解：①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵，∴三边能构成三角形， 因此三角形周长为． ②是等边三角形，理由如下： ∵， 将等式两边同乘2得：， 分组配方得：， 根据平方的非负性，得， 即， 因此是等边三角形． 题型09 因式分解的应用 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）解答下列问题： (1)已知、、是的三边长，且有，试判断三角形的形状． (2)已知关于，的方程组的解中，为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1)是等边三角形 (2) 【分析】（1）先将原式分解因式得出，从而求出，即可得出答案； （2）先解方程组得出，然后根据为非正数，为负数，得出，解不等式组即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由方程组得：， ∵关于，的方程组的解中，为非正数，为负数， ∴， 解得：． 2．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值_． 【答案】(1)C (2) 见解析 (3)2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 1．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用平方差公式分解因式的式子需满足是两个平方项的差，据此对各选项进行判断即可。 【详解】解A、是三项，不符合结构要求，不能用平方差公式分解； B、是三项，不是两个平方项的差，不能用平方差公式分解； C、是三项，不符合平方差公式的结构要求，不能用平方差公式分解； D、是与的平方的差，符合平方差公式的结构，能用平方差公式分解． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）已知，则代数式的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先观察已知条件和所求代数式的关系，将所求代数式配方后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：对所求代数式配方得原式 ， ∵， 将代入上式得原式， 故选：C． 3．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【详解】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 4．（2026·江西九江·二模）对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的解码值．如当时，因式分解的结果为，则的值为，，，由此可以得到整式的解码值为．当时，整式的解码值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先按因式分解规则分解整式，确定因式个数，再根据定义取，计算每个因式的值后求和得到解码值，用到因式分解的提公因式法和平方差公式． 【详解】解：， 分解得到个整式， 根据定义取， 分别计算各整式的值：，，， 解码值为 ． 5．（25-26七年级下·江苏南京·阶段检测）若，则代数式的值_____ ． 【答案】 【分析】先将因式分解后，再把整体代入求值，即可解题． 【详解】解：， ． 6．（2026·湖南邵阳·一模）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：． 7．（2026·湖南邵阳·一模）如果，其中，都是正整数，则称为“双数”，为的最佳拆分点．例如：，8为“双数”，为8的最佳拆分点．若“双数”的最佳拆分点为，“双数”的最佳拆分点为，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，根据“双数”定义，设，，由得方程，整理为．因p和q为正整数，和均为整数，且，两者同时为奇数或同时为偶数，则可得出，解方程组求出p和q，进而可求出比值． 【详解】解：由题意，“双数”的最佳拆分点为，故； “双数”的最佳拆分点为，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于p和q均为正整数，故和均为整数，且， 两者同时为奇数或同时为偶数， 因子对可能为或或； 只有同为偶数， ∴， 解得， ∴． 8．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 9．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习这样的一元二次不等式的解法．今天，一起来研究它的解法．解：原不等式可先化为，再化为，根据平方差公式最后化为，整理得．由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组①或不等式组②． 解不等式组①，得：解不等式组②，得．故原不等式的解集为或． (1)不等式：的解集是________． (2)请根据上面的解法解不等式：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集； （2）先把不等式整理为，根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，可得出不等式组，即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解： ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． （2）解： ∴， ∴不等式可化为不等式组①或不等式组②， 解不等式组①得，， 解不等式组②得，， ∴不等式的解集为或． 10．（25-26七年级下·北京顺义·期中）如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． (1)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是_． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． (2)因式分解：，其中，则_，_． 【拓展延伸】 (3)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为，请写出q的值：_． (4)若可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数k的值． 【答案】(1) (2)1；4 (3) (4)1，4，11 【分析】（1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）由得到，，即可求解； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设，即可得出，再结合、均为整数，为正整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由甲图可得，长方形的面积为， 由乙图可得，长方形的面积为， 故得到的等式是． （2）解：∵，且， ∴，， ∴，或，， ∵， ∴，． （3）解：∵可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，． （4）解：∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式，且， ∴设， ∴， ∵、均为整数， ∴或或或或或或或， 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，不是正整数，不符合题意； 当时，，是正整数，符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，4，11． 1．（2026·重庆·模拟预测）我们规定，若一个四位正整数各个数位上的数字互不相同，且满足千位数字与百位数字的2倍的和等于十位数字与个位数字的2倍的和的一半，则称这个四位数为“二倍数”，例如：四位数5164，因为，所以5164是“二倍数”．按照这个规定，最大的“二倍数”是__________．一个“二倍数”，将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，将的千位数字与个位数字组成的两位数记为，十位数字与百位数字组成的两位数记为，记，，若被除余，且能被整除，则满足条件的“二倍数”为____________． 【答案】 【分析】求最大的“二倍数”时，优先让高位数字尽可能大，结合“二倍数”定义和数位数字互不相等求解；对于满足条件的，先根据数位表示写出，，化简，结合“二倍数”定义得到整除条件，再利用能被整除的数的性质得到各位数字和的整除条件，枚举验证得到符合条件的即可解答． 【详解】解：解：根据“二倍数”定义，要使四位数最大，优先让千位取最大值，十位取最大的（为整数，则为偶数）， ，即， ，，各个数位上的数字互不相等， 当时，，此时“二倍数”为； 当时，，此时不存在“二倍数”； 当时，，此时“二倍数”为； 当时，不符合题意； 当时，不符合题意； ， 按照这个规定，最大的“二倍数”是； 对于满足条件的，有，， ，， ， ， ， ， 被除余， 能被整除， ， 能被整除， 或， ，各个数位上的数字互不相等， 为偶数，即或或或或， 能被整除， ，即能被整除， ， ， 代入， 能被整除， （1）当时， ①时，，，此时不存在整数满足条件，无解； ②时，，，此时不存在整数满足条件，无解； ③时，，，此时不存在整数满足条件，无解； （2）当时， ①时，，不符合题意； ②时，，不符合题意； ③时，，，当，得，四个数字，，，互不相同，符合条件，得； ④时，，数字重复，不符合题意； ⑤时，，，所有均不满足条件，无解； 综上，满足条件的“二倍数”为． 2．（25-26八年级下·四川成都·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数．例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 【答案】 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”，例如，，就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第个“智慧优数”是___． 【答案】 【分析】利用平方差公式将“智慧优数”转化为两数之积，通过变量代换确定两因数需同奇偶且 ，再按奇偶分类枚举、排序得到第个“智慧优数”． 【详解】解：设， 令，，则， 可得， 解得， ，为正整数， ，为同奇偶的整数， ，， ，即， ， ， 解得， ， 当，为偶数： 若，，则， 若，，则， 当，为奇数： 若，，则， 将得到的“智慧优数”从小到大排序为，，， 故第个“智慧优数”为． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 恩恩恩 暑假作业07因式分解 知识复盘卡 【知识点1】 1.定义 ()因式分解（也叫分解因式）：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项 式因式分解。 (2)整式乘法：积→和（展开），m(a+b+c)=ma+mb+mc (3)因式分解：和→积（收回去），ma+mb+mc=m(a+b+c) (④)两者是互逆的恒等变形，不是新运算，只是逆着用分配律/逆着用乘法公式。 2.因式分解的判断 ()结果必须是积的形式，不能是“和/差”收尾 (2)每个因式必须是整式，不能有分式因子 (3)分解彻底：每个因式都不能再继续分解，在有理数范围内，能再分的必须再分 【知识点2提公因试法】 1. 公因式的定义：多项式中每一项都含有的因式（可以是一个单项式，也可以是一个多项式）。 2.找公因式的操作规则 ()系数部分：各项系数的最大公约数（有分数时先通分成整数系数再处理，或提分数公因数） (②)字母部分：取各项共有的字母，指数取该字母在各处的最低次幂 (3)多项式因式：如果各项都含有同一个括号整体，它也算公因式的一部分 3.提公因式法的书写格式（示例)：3x2+6x=3x·x+3x·2=3x(x+2】 4.两类公因式 (1)公因式为单项式：4xy-6x2y2=2x2y(2x-3y) (2)公因式为多项式（核心难点）：a(x-y)+b(x-y)=(x-y)(a+b) 5. 负号优先提出的惯例：当多项式首项系数为负时，习惯上先把“一”或“-1”提出来，使括号内 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 第一项变正：-3x2+6x=-3x2-6x=-3xx-2 【知识点3公式法：提完公因试后再看能不能套】 1. 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的判断口诀 (1)两项（或可看成两项） (2)每项都能写成“某个式子的平方” (3)两项符号相反（一正一负） (④标准示范： ①x2-9=x2-32=(x+3)(x-3) ②(x+1)2-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1 2. 完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2的判断口诀 (1)三项（或能化成三项） (2)首项和末项都能写成“平方”形式，且同号（通常都是正） (3)中间项是首尾平方根乘积的2倍（符号决定用+还是一） (4)标准规范： ①x2+6x+9=x2+2·x3+32=(x+3 ② 4x2-12xy+9y2=(2x2-2(2x(3y)+(3y)2=(2x-3y)2 培优拓展训练 ★巩固提升练 题型01因式分解的参数问题 1.(25-26八年级下山东青岛阶段检测)若将多项式2x2+mx-12因式分解得(x+4)(2x+n),则的值 为一 2.(25-26八年级下·四川成都期中)关于x的二次三项式x2+x-6因式分解的结果是(x+3)(x-2),则 m=_· 题型02提公因式法分解因试 1.(2026江西上饶模拟预测)分解因式：mn2+4mn+2m= 2.(25-26九年级下·吉林松原期中)分解因式：x-x2= 题型03平方差公式分解因试 1.(2026四川德阳二模)如果a+b=3,a2-b2=12,那么a-b= 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.（25-26八年级下·四川成都期中)因式分解：9-4x2= 题型04完全平方公式分解因式 1.(2026浙江丽水·二模)多项式4x2-4x+1因式分解正确的是() A.4x2-4x+1=(2x-1)2 B.4x2-4x+1=（2x-1)(2x+1 C.4x2-4x+1=4xx-1 D.4x2-4x+1=4x2-(4x-1 2.（25-26八年级下·广东揭阳·阶段检测)若Q,b是等腰三角形ABC的两边长，且满足关系式 (a-2)2+b2=8b-16,则ABC的周长是() A.8 B.10 C.8或10 D.无法确定 题型05综合运用公式法分解因试 1.(25-26八年级下，江苏徐州期中)因式分解： (1)4x2-y2; (2)x4-18x2+81: (3)x2(y2-1+1-y2） 2.(25-26八年级下·江苏徐州期中)阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法a2±2ab+b2=(a±b)后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解 决问题： ①将多项式2x2-3x-9因式分解： 22-3x-9=2-3x-8 --2+-得 -- =+别 (变形依据 =(2x+3(x-3. ②求多项式2x2-3x-9的最小值. 0符2-39-】处因为0… 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以当x=3时，2x-3x-9的值最小，且最小值为 8 4 8 【问题】 (1)①中第四步变形依据是 (2)把多项式3x2+5x-2分解因式并求出最小值； (3)已知x-2y=3,求代数式-x2+2y+3x-2的最大值. 题型06综合各种方法分解因式 1.(25-26八年级下山西晋中·期中)分解因式（或利用因式分解计算）： (1)3x2-6xy+3y2; (2)x2+4-16x2; (3)20262-20252: (4)1232-2×123×23+232. 2.(25-26八年级下山东青岛阶段检测)分解因式 (1)m2-4m (2)x2-1+61-x2）+9 生- (4)-2x2+8xy-8y2 题型07十字相乘法 1.(2021七年级上江苏苏州竞赛)因式分解：(2x+3y-3)(2x+3y+7)-11. 2.(25-26八年级下·贵州贵阳·期中)【阅读材料】将一张长方形纸片按如图所示分成6块，其中涂色部分 是三块邻边长为x,y的长方形(0<x<y). x一yx习 (1)观察图形，代数式2x2+3xy+y2可因式分解为 (2)图中涂色部分面积之和记作S,非涂色部分面积之和记作S2 ①用含x,y的代数式表示S,,S2; ②若S2-S,=xy-2x2,求S2的值（用含x的代数式表示）. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型08分组分解法 1.(25-26八年级下·江西九江阶段检测)小逸同学对多项式ax+ay+bx+by进行分解因式，采用的方法如 下：ax+ay+bx+by=(a.x+ay)+(bx+by)=ax+y+b(x+y)=(x+y)a+b).这种分解因式的方法叫作 分组分解法. (1)请结合小逸同学的方法分解因式：ab-ac+bc-b2. (2)已知a,b,C是ABC的三边长，且满足a2-ac-b2+bc=0,请判断ABC的形状并说明理由 2.(25-26八年级下·广东深圳·期中)初二阶段大家学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用 公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等，因式分解也可进行多方面的应用. ①分组分解法： 例如：x2-2xy+y2-4=（x2-2xy+y2-4=(x-y)2-22=（x-y-2)(x-y+2) ②拆项法： 例如：x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2(x+1+2)=(x-1(x+3. (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x-y2+1: ②（拆项法）x2-6x-16: (2)因式分解的综合运用 ①已知：a、b、c为ABC的三条边，a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,则ABC的周长为； ②已知：a、b、c为ABC的三条边，满足a2+b2+c2-ab-bc-aC=0,试确定ABC的形状，并说明 理由. 题型O9因式分解的应用 1.(25-26八年级下·四川成都期中)解答下列问题： (1)已知a、b、c是ABC的三边长，且有a2+2b2+c2-2ba+c=0,试判断三角形的形状 x+y=-7-a (2)已知关于x,y的方程组 x-y=1+3和的解中，x为排正数，y为负数，求a的取值范围。 2.(25-26七年级下·河北石家庄期中)【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题 我们知道借助因式分解可以解决整除问题.嘉琪认为，若n为正整数，那么3+2-3”一定能被24整除.她 的证明过程如下： 证明：3*2-3”=3”(32-1=3”×8. :n为正整数， / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “3”一定能被3整除. 8能被8整除， 3+2-3”一定能被3×8整除，即3"+2-3”一定能被24整除。 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除2+3-2的是(). A.8B.10C.14D.17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：(4n+3)2-(2n+3)能被24整除. (3)拓展：己知n是正整数(4n+3)2-(2n+3)2能被36整除，请直接写出n的最小值 ★能力培优练 1.(25-26七年级下.安徽阜阳·期末)下列能用平方差公式进行因式分解的是() A.x2+x+1 B.x2-2x-1 C.x2-4x+4 D.x2-y2 2.(25-26七年级下·陕西西安期中)已知(x+4)=9,则代数式x2+8x+30的值为() A.12 B.13 C.23 D.27 3.(25-26八年级下辽宁沈阳期中)(-9)226+(-9)22能被下列数整除的是() A.5 B.8 C.10 D.11 4.(2026江西九江二模)对于一个关于x的整式A,我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常 数因式的乘积，将其写成n个整式的乘积，取x的值为n,这n个整式的和记作整式A的解码值，如当 A=x2-4时，因式分解的结果为x-2)(x+2),则x的值为2，x-2=0,x+2=4,由此可以得到整式 A的解码值为0+4=4.当A=x3-x时，整式A的解码值是() A.0 B.5 C.9 D.24 了2公26七年级下江苏肩京阶假检》老224则代数式r-3灯+2y约维 6.(2026湖南邵阳一模)因式分解：a3-6a2+9a=· 7.(2026湖南邵阳一模)如果n=k(k+2),其中n,k都是正整数，则称为“双数”，k为的最佳拆分 点.例如：8=2×(2+2)，8为“双数”，2为8的最佳拆分点.若“双数”m的最佳拆分点为p,“双数”的 最佳拆分点为4，且m-n=12,则9的值为一· 8.（25-26八年级下·辽宁辽阳期中)分解因式： (1)3ma2-3mb2 (2)x+y)2-14(x+y)+49 (3)a2b-2ab+b3 / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4x-x-2+号 9.(25-26八年级下·辽宁沈阳期中)我们学习了一元一次不等式的解法，没有学习x2-x-2>0这样的一 元二次不等式的解法.今天，一起来研究它的解法.解：原不等式可先化为x2-x+ 21 42>0,再 化为-->0，根摇平方差公式设后化为引>0，整鬼得x+川-2小>0。 x+1>0 x+1<0 由“同号相乘得正”，可把原不等式化为不等式组① 1x-2>0 或不等式组② x-2<0 解不等式组①，得x>2:解不等式组②，得x<-1.故原不等式的解集为x>2或x<-1. (1)不等式：(x-5)(x+3)>0的解集是 (2)请根据上面的解法解不等式：x2-4x-5>0. 10.(25-26七年级下北京顺义期中)如图，甲、乙图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为x+a,宽 为x+b. x+a -a- r+h 6 甲 乙 (I)根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是_ 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解.。 (2)因式分解：x2+5x+4=(x+a(x+b),其中a<b,则a=_,b=_· 【拓展延伸】 (3)若x2-6x+q可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式，其中一个因式为x+3,请写出q的值： (4)若2x2+x-6可以分解成关于x的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数）， 直接写出所有正整数k的值， ★7创新拓展练 1,(2026重庆·模拟预测)我们规定，若一个四位正整数M各个数位上的数字互不相同，且满足千位数字 与百位数字的2倍的和等于十位数字与个位数字的2倍的和的一半，则称这个四位数为“二倍数”，例如： 四位数5164，因为5+2×1=6+4x2,所以5164是“二倍数.按照这个规定，最大的二倍数”是 2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ·一个“二倍数”M=abcd,将其千位数字与十位数字调换位置，百位数字与个位数字调换位置，得到一 个新的四位数M',将M的千位数字与个位数字组成的两位数记为A,十位数字与百位数字组成的两位 数记为8，记F(MM,9MQM24-B,若2gM+6FW-a+c被7除余2，且M能被9整 除，则满足条件的“二倍数”M为 2.(25-26八年级下·四川成都期中)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为 智慧数.例如，3=22-1P,5=32-22,7=42-32；因此3,5,7这三个数都是“智慧数”.如果将智慧 数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是，第2026个智慧数是 3.(2026江苏南通模拟预测)定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,的平方差，且m-n>1, 则称这个正整数为“智慧优数”，例如，16=52-32,16就是一个“智慧优数”，可以利用 m2-n2=m+n(m-n进行研究.若将“智慧优数”从小到大排列，则第3个“智慧优数”是·