上海市七宝中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题

七宝中学2025学年第二学期高二数学期末考试 出卷人：李佳伟 审卷人：汤华翔 一、填空题（共12小题，6*4+6*5=54分） 1. 设集合，，用列举法表示______． 2. 已知变量之间具有线性相关关系，根据10对样本数据求得经验回归方程为.若，则__________. 3. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 4. 已知，，，那么____________． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________． 6. 已知函数，则__________. 7. 已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，则，的方差为__________. 8. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考公式：，其中． 9. 衣柜里的樟脑丸因挥发而体积不断减少，当衣柜里的若干颗樟脑丸因挥发后剩余的总体积少于1颗新丸的体积时，将失去所期待的防虫防蛀效果.如果樟脑丸放置的时间（天数）和剩余的体积的关系式为（其中常数，是1颗新丸的体积），1颗新丸放置30天后，剩余的体积变为原来的，且樟脑丸之间互不影响，那么要使衣柜能保持120天期待中的防虫防蛀效果，则应该在衣柜里一次性放置至少______颗樟脑丸. 10. 已知，其中，若存在使得，则k的最大值为________． 11. 已知集合，其中且，记，且对任意，都有，则的值是___________. 12. 设，不等式对所有的成立，则的最大值是______. 二、选择题（共4小题，4*2+5*2=18分） 13. 若a>b，则下列不等式正确的是（ ） A. B. a3>b3 C. a2+1>b2>1 D. ac2>bc2 14. 在2022年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的数学成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（ ） A. 该省考生数学成绩的中位数为75分 B. 若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分 C. 从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人 D. 若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试数学成绩的平均分约为70.5. 15. 一枚质地均匀的骰子连续投掷n次，设事件M：点数既有奇数又有偶数，事件N：出现点数为偶数的次数不超过1次．有以下两个命题：①若，则M与N互斥；②若，则M与N相互独立．则（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 16. 函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（ ） ①；②；③；④. A. ②④ B. ①③ C. ②③ D. ①④ 三、解答题（共5小题，14*3+18+18=78分） 17. 已知全集，集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数a的取值范围． 18. 已知函数为偶函数. （1）求的值； （2）已知函数，若对任意，存在，使方程成立，求实数的取值范围. 19. 为了解短视频输入法的选词逻辑，随机选取某博主短视频的1500条弹幕作为样本语料库A，其中汉字“最”一共出现了40次，统计“最”字与其后紧跟字词的搭配情况，数据如表： “最”与其后面一个字词的搭配情况 频数 “最好” 8 “最新” 5 “最后” 3 “最爱” 2 其他 a 假设用频率估计概率. （1）求a的值，并估计该博主弹幕里“最”字出现的概率； （2）在语料库A中随机抽取3个“最”字，设其中搭配“最好”的次数为，求的分布列、数学期望和方差； （3）另选取该博主800条弹幕作为语料库B进行统计，“最”字出现了32次，其中“最厚”出现了2次，若输入拼音“zuihou”时，结合两个语料库的频率判断，“最后”和“最厚”中哪一个词语应该排在输入法更靠前的位置？（结论不要求证明） 20. 函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． （1）求证：为奇函数； （2）当a变化时，求函数不动点个数； （3）若存在，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 21. 已知r是给定的正整数，设G是以满足下列条件①②③的函数为元素构成的集合： ①定义域为； ②； ③，其中 对给定的整数m，n（其中记 （1）当时，求集合 （2）若且不是3的倍数，证明：； （3）从集合G中随机取出一个函数，证明：对任意随机事件“”发生的概率都不超过 七宝中学2025学年第二学期高二数学期末考试 出卷人：李佳伟 审卷人：汤华翔 一、填空题（共12小题，6*4+6*5=54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】16 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】16 【8题答案】 【答案】30 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】49 【11题答案】 【答案】或 【12题答案】 【答案】 二、选择题（共4小题，4*2+5*2=18分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（共5小题，14*3+18+18=78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）1 （2） 【19题答案】 【答案】（1），“最”字出现的概率估计为； （2） 0 1 2 3 ，. （3）“最后”应该排在输入法更靠前的位置 【20题答案】 【答案】（1），故， 其中，则， 其中的定义域为，故为奇函数. （2）当时，函数没有不动点；当时，函数有1个不动点；当时，函数有2个不动点. （3） 【21题答案】 【答案】（1） （2）若，则所求证结论显然成立； 若，则对任意的， 由题意得且， 则． 设中有个等于，有个等于2， 则． 因此 所以若不是3的倍数则即． （3）记＂从集合中随机取出一个函数属于＂为事件，则所求概率记为， 则. 下面计算： 由题意得，集合中共有个不同函数， 设中有个等于，有个等于2，则． 解方程组，得． 由于， 故当不能被3整除或时或时，上述方程组无解，此时； 当能被3整除且时，方程组有解，此时符合题意的函数共有个，因此． 下面计算： 对函数，若它也满足，则， 而． 因此，三者中有一个等于2，两个等于，所以共有种可能． 因此． 因此 由前面分析可知当不能被3整除或时或时，成立； 当能被3整除且时，． 由于，因此， 所以． 综上所述，从集合中随机取出一个函数， 它既属于又属于的概率不超过． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $