专题15 椭圆（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以真题研析为核心，构建“定义-方程-性质-综合应用”四层逻辑体系，提炼离心率求解、韦达定理应用等通性通法，强化逻辑推理与运算求解素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |椭圆的方程及性质|3道真题+2道模拟|定义法求轨迹、离心率公式转化、参数关系建立|从定义推导方程，结合几何性质分析参数关系，形成“定义-方程-性质”递进链条| |直线与椭圆的位置关系|5道真题+3道模拟|联立方程判别式判断位置、韦达定理整体代换、弦长面积公式应用|以方程思想为核心，将几何问题代数化，体现数形结合与逻辑推理| |椭圆的综合问题|7道真题+5道模拟|定点定值问题参数消元、最值问题函数构造、探索性问题分类讨论|综合应用前两模块知识，聚焦压轴题解题策略，培养复杂问题转化能力|

专题15 椭圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 定义及方程：借助椭圆第一、第二定义求轨迹、线段长度，根据焦点在 x 轴、y 轴分类求解标准方程。 几何性质：考查范围、对称性、顶点、长半轴、短半轴、焦距，离心率求值与取值范围是高频难点题型。 直线与椭圆综合：联立直线与椭圆方程，利用判别式判断位置关系，结合韦达定理求解弦长、中点弦、三角形面积、定点定值、参数范围等压轴常见题型。 2．素养考向 逻辑推理：将几何条件等价转化为代数关系式，运用分类讨论、方程思想梳理变量关系，推导参数范围。 工具应用：依托数形结合思想分析图形特征，把几何问题代数化运算。 椭圆的方程及性质 （2024·新课标Ⅱ卷T5） 直线与椭圆的位置关系 2026·北京卷T19（斜率问题） 2026·天津卷T18（斜率问题） 2025·全国二卷T16（弦长问题） 2024·新课标Ⅰ卷T16（面积问题） 2024·北京卷T19（求参） 椭圆的综合问题 2026·全国一卷T18（最值问题） 2026·全国二卷T18（曲线与方程） 2025·全国一卷T18（最值问题） 2025·北京卷T19（比较大小） 2025·天津卷T18（证明问题） 2024·全国甲卷T21（证明问题） 2024·天津卷T18（探索问题） 一卷椭圆常作为解答题次压轴，侧重直线与椭圆综合，涉及弦长、面积、定点定值运算；二卷难度稍平缓，多以离心率、轨迹方程设问，入口更友好。 命题导向：立足教材定义与基本性质，摒弃繁杂套路计算，突出数形转化，注重审题逻辑与运算规范性，设置梯度设问分层区分能力。 考查重心：核心为椭圆方程、离心率范围；常联立直线运用韦达定理求解，兼顾几何条件代数转化，综合考查逻辑推理与运算求解素养。 考向一 直线与椭圆的位置关系 典例1．（2026·天津卷T18）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 【解】（1）由于椭圆的离心率为，所以，即， 由于，所以， 将代入椭圆方程，得，即，解得，即， 由题意，所截得的线段长为，所以，解得，从而， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）可知，，所以圆的方程为， 设直线的方程为，因为直线与圆相切，如图所示， 则圆心到直线的距离，解得， 椭圆上顶点，分两种情况讨论： ①当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 则当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时； ②当时，直线的方程为，代入椭圆方程， 化简得，解得或， 当时，，当时，，由于，所以， 则，，此时. 综上所述，的值为. 微点拨：先由离心率得关系式，联立与椭圆，用弦长公式求出椭圆方程；设切线方程，由圆心距得等量关系，联立直线椭圆得韦达式，将通分整体代入化简求定值。 考向二 直线与椭圆的位置关系 典例2．（2026·全国一卷T18）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二：（i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 微点拨：先利用焦点、离心率直接写出椭圆方程；设过左焦点直线并联立椭圆得韦达定理，结合面积比例转化横坐标关系求解直线；构造目标式，换元借助函数单调性求最值。 考向一 椭圆的方程及性质 1.（2023·新课标Ⅰ卷T5）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，因此，而，所以.故选：A 2.（2023·全国甲卷T7）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【解析】方法一：因为，所以， 从而，所以．故选：B. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以．故选B. 3.（2024·新课标Ⅱ卷T5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【解析】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为，故选A 考向二 直线与椭圆的位置关系 4.（2026·北京卷T19）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 【解】（1）由题意可得，则，即，故的方程为； （2）由题意可得，设、， 由关于直线对称的点为，则， 联立，消去得：， 由，故在椭圆内部，故恒成立，有、， 则， ， ，联立， 则，即， 整理得，即， 点到直线的距离，点到直线的距离， 又，则，， 故 ， 即有，若，则，无解，不符； 则，有，解得；故. 5.（2025·全国二卷T16）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 6.（2024·新课标Ⅰ卷T16）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 7．（2024·北京卷T19）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【解】（1）由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 考向三 椭圆的综合问题 8.（2026·全国二卷T18）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一：由（1）知椭圆方程为 ， 由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 9.（2025·全国一卷T18）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 10．（2025·北京卷T19）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 11．（2025·天津卷T18）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）证明：由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 12．（2024·全国甲卷T21）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 【解】（1）设，由题设有且，故，故，故， 故椭圆方程为. （2）直线的斜率必定存在，设，，， 由可得， 故，故， 又， 而，故直线，故， 所以 ， 故，即轴. 13．（2024·天津卷T18）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 一、单选题 1．（2026·福建莆田·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解析】由题意得，，，所以，因为在椭圆上， 则有，且有，则的周长为. 2．（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为中心在原点的椭圆的右焦点为，所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，，故椭圆的方程是.故选：D 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 【答案】B 【解析】设该椭圆的长半轴长，短半轴长和半焦距分别为,依题意，，因,则， 故.故该椭圆的短轴长约为15.1cm． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，即m的取值范围为． 5．（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 6．（2026·江西上饶一模）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，分别过点作直线l的垂线，垂足分别为， 则，，切点为， ∵，，∴O是AB中点， ∴是梯形的中位线， ∴， 又∵圆C的方程为，半径， ∴，∴，即， ∴动点P的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为，则，， ∴，，， ∴动点P的轨迹方程为.故选：D 二、多选题 7．（2026·海南三亚·一模）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（     ） A．与有两个交点 B．的焦点到准线的距离为 C．的离心率为 D．为与的公共点，则的周长为 【答案】AD 【解析】   对于A，联立，整理为，解得， 抛物线中，则，（舍去负根）， 对应，存在两个互为相反数的值，因此两曲线有个交点，A正确； 对于B，抛物线：中，， 焦点到准线的距离等于，不是，B错误； 对于C，椭圆中，，， 所以离心率，C错误； 对于D，是椭圆上的点，由椭圆定义得， 又，所以的周长为，D正确． 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，点为平面上的一个动点，为直线的斜率．定义运算：，则下列说法正确的是（   ） A．若运算为加法，则点的轨迹曲线关于原点对称 B．若运算为减法，则点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C．若运算为乘法，则点的轨迹为焦点在轴上的椭圆的一部分 D．若运算为除法，则点的轨迹为一条直线 【答案】AC 【解析】由题意可得， 对于A，若运算为加法，则， 化简可得，即， 因为为奇函数， 所以点的轨迹曲线关于原点对称，故A正确； 对于B，若运算为减法，则， 化简可得，即， 所以点的轨迹为开口向上的抛物线的一部分，故B错误； 对于C，若运算为乘法，则， 化简可得，即， 所以点的轨迹为焦点在轴上的椭圆的一部分，故C正确； 对于D，若运算为除法，则，解得， 当时，即，此时，不符合题意， 所以点的轨迹是直线去掉点，故D错误. 9．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，则（   ） A．两椭圆有相同的顶点 B．两椭圆的离心率相等 C．若为上的点，为上的点，则的周长与的周长相等 D．四边形的面积与四边形的面积相等 【答案】BCD 【解析】椭圆中，顶点为， 焦点，不妨设短轴顶点为， 椭圆中，顶点为， 焦点，不妨设短轴顶点， 椭圆的顶点，椭圆的顶点，故A错误； 离心率，则，故B正确； 由椭圆的定义可知，椭圆上一点与两焦点围成的三角形周长为， 则的周长为， 的周长为， 故的周长与的周长相等，C正确； ，则； ，则， 则四边形的面积与四边形的面积相等，故D正确． 三、填空题 10．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】由椭圆的定义则，， 则的周长为，即得， 且是双曲线的右顶点，所以，即得， 所以椭圆的离心率为. 11．（2026·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的顶点，，顶点在椭圆上，若某个二面角的大小为，且满足：，则的值为__________. 【答案】或 【解析】由题意可知：、为椭圆的两个焦点，在椭圆上,长轴长， 可知 由正弦定理可得：, 或. 四、解答题 12．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由，得， 由椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为， 可得，即， 再由，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）知，设点，， 当直线的斜率不存在时，，此时交点为和, 不满足，舍去； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立，消去得到， 其中，且； ，，即； 因此，解得； 解得，即， 直线的方程为. 13．（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 【解】（1）由抛物线，得焦点， 因为椭圆过抛物线的焦点，所以. 由双曲线，得焦点， 因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以. 由椭圆的性质，， ∴椭圆的方程为. （2）设，， 联立，消去得， ， ，， 由已知， 所以， 所以， 则， ， ，解得，满足， ∴直线的方程为，故直线恒过定点 14．（2026·山东聊城二模）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 【解】（1）由题意可得，， 解得，，则， 所以椭圆的方程为. （2）由圆，圆心为，半径为， 则到直线的距离为， 则，即． 联立，得， 则， 设，，则，， ∴ ， 则， 当且仅当，即时，． 15．（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【解】（1）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点. 因为 ，所以，即. 因为，所以. 椭圆的方程为，离心率为. （2）由题可知.                                    当直线斜率不存在时，， 所以 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为. 由可得. . 设. 则 因为， 所以 因为，所以. 所以 综上所述，的取值范围为 16．（2026·安徽六安一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解】（1）将代入椭圆可得，， 又为正三角形，，即，则可得， 又，． 离心率，，（舍去）. （2）由题意可知：，结合（1）可得，，则椭圆。 由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在， 设直线MN的方程为：，，， 联立椭圆和直线方程：，消去y可得， 直线和椭圆必有交点，则， ，， ，ND的斜率是互为相反数，． 又，， ， 化简可得， 即 因式分解，则可得或， 当时，所以， 所以直线MN经过点，故不符合题意. 则直线MN的斜率为定值． 17．（2026·天津南开·模拟预测）已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 【解】（1）因为椭圆的左右焦点分别为，， 所以， 又因为该椭圆经过点， 所以， 由可得，或舍去， ， 所以椭圆的方程为； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 所以，化简，得， 可得， ，即， ，所以为定值； （ⅱ）设，即，且， 直线的方程为， 同理得直线的方程为， 因为的平分线与轴交于点， 所以， 由，代入上式，得 ， 因为在，之间， 所以，又， 所以由， 因为， 所以，而， 所以，即的取值范围为． 18．（2026·上海·三模）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (3)过的直线与相交于点、、三点，求证：． 【解】（1）由题意可得，交点在椭圆和双曲线上， 代入可得，故， 椭圆离心率， 双曲线离心率，结合，， 解得，因此曲线的方程为. （2）由（1）可知，曲线的方程为：， 又因为切点在双曲线，所以直线是双曲线的切线， 设切线的斜率为，根据斜截式可得切线的方程：， 又因为切线过点，所以，得出， 所以切线的方程化为，联立切线方程和双曲线可得， 化简可得，即， 进一步整理可得， 所以时，对应直线与双曲线相切， 所以， 化简得，则，即， 由图可知，，所以切线方程为：，即， 联立切线方程和双曲线可得， 化简得，得出， 将代入，得，所以. （3）由题意可得的斜率存在且不为零，所以设方程为， 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 所以，即且， 解得或，即， 联立直线与椭圆方程可得， 整理可得：， 所以， 解得或，即， 所以，所以， 所以. 19．（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【解】（1）由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 20．（2026·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）（i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得，整理得， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 椭圆 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 定义及方程：借助椭圆第一、第二定义求轨迹、线段长度，根据焦点在 x 轴、y 轴分类求解标准方程。 几何性质：考查范围、对称性、顶点、长半轴、短半轴、焦距，离心率求值与取值范围是高频难点题型。 直线与椭圆综合：联立直线与椭圆方程，利用判别式判断位置关系，结合韦达定理求解弦长、中点弦、三角形面积、定点定值、参数范围等压轴常见题型。 2．素养考向 逻辑推理：将几何条件等价转化为代数关系式，运用分类讨论、方程思想梳理变量关系，推导参数范围。 工具应用：依托数形结合思想分析图形特征，把几何问题代数化运算。 椭圆的方程及性质 （2024·新课标Ⅱ卷T5） 直线与椭圆的位置关系 2026·北京卷T19（斜率问题） 2026·天津卷T18（斜率问题） 2025·全国二卷T16（弦长问题） 2024·新课标Ⅰ卷T16（面积问题） 2024·北京卷T19（求参） 椭圆的综合问题 2026·全国一卷T18（最值问题） 2026·全国二卷T18（曲线与方程） 2025·全国一卷T18（最值问题） 2025·北京卷T19（比较大小） 2025·天津卷T18（证明问题） 2024·全国甲卷T21（证明问题） 2024·天津卷T18（探索问题） 一卷椭圆常作为解答题次压轴，侧重直线与椭圆综合，涉及弦长、面积、定点定值运算；二卷难度稍平缓，多以离心率、轨迹方程设问，入口更友好。 命题导向：立足教材定义与基本性质，摒弃繁杂套路计算，突出数形转化，注重审题逻辑与运算规范性，设置梯度设问分层区分能力。 考查重心：核心为椭圆方程、离心率范围；常联立直线运用韦达定理求解，兼顾几何条件代数转化，综合考查逻辑推理与运算求解素养。 考向一 直线与椭圆的位置关系 典例1．（2026·天津卷T18）已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． (1)求的标准方程； (2)斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 微点拨：先由离心率得关系式，联立与椭圆，用弦长公式求出椭圆方程；设切线方程，由圆心距得等量关系，联立直线椭圆得韦达式，将通分整体代入化简求定值。 考向二 直线与椭圆的位置关系 典例2．（2026·全国一卷T18）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 微点拨：先利用焦点、离心率直接写出椭圆方程；设过左焦点直线并联立椭圆得韦达定理，结合面积比例转化横坐标关系求解直线；构造目标式，换元借助函数单调性求最值。 考向一 椭圆的方程及性质 1.（2023·新课标Ⅰ卷T5）设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 2.（2023·全国甲卷T7）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 3.（2024·新课标Ⅱ卷T5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 考向二 直线与椭圆的位置关系 4.（2026·北京卷T19）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为． (1)求的方程； (2)过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求． 5.（2025·全国二卷T16）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 6.（2024·新课标Ⅰ卷T16）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 7．（2024·北京卷T19）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 考向三 椭圆的综合问题 8.（2026·全国二卷T18）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 9.（2025·全国一卷T18）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 10．（2025·北京卷T19）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 11．（2025·天津卷T18）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 12．（2024·全国甲卷T21）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴． 13．（2024·天津卷T18）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（2026·福建莆田·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．8 D．10 2．（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南·模拟预测）如图，剔红开光花卉纹铜龙耳椭圆提盒是故宫博物院珍藏．已知该提盒的盒口的外轮廓线是一个离心率为的椭圆，且该椭圆的长轴长约为22cm，则该椭圆的短轴长约为（取）（    ） A．18.12cm B．15.1cm C．14.3cm D．7.55cm 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西上饶一模）已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·海南三亚·一模）已知曲线：和曲线：，是的两个焦点，下列描述正确的是（     ） A．与有两个交点 B．的焦点到准线的距离为 C．的离心率为 D．为与的公共点，则的周长为 8．（2026·陕西西安·模拟预测）已知点，点为平面上的一个动点，为直线的斜率．定义运算：，则下列说法正确的是（   ） A．若运算为加法，则点的轨迹曲线关于原点对称 B．若运算为减法，则点的轨迹为开口向右的抛物线的一部分 C．若运算为乘法，则点的轨迹为焦点在轴上的椭圆的一部分 D．若运算为除法，则点的轨迹为一条直线 9．（2026·河北·模拟预测）已知椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，椭圆：的两个焦点分别为，，短轴的两个顶点分别为，，则（   ） A．两椭圆有相同的顶点 B．两椭圆的离心率相等 C．若为上的点，为上的点，则的周长与的周长相等 D．四边形的面积与四边形的面积相等 三、填空题 10．（2026·河南新乡·三模）已知是椭圆的左、右焦点，是双曲线的右顶点，过的直线交椭圆于M，N两点，且的周长为20，则椭圆的离心率为______. 11．（2026·上海杨浦·模拟预测）在平面直角坐标系中，若的顶点，，顶点在椭圆上，若某个二面角的大小为，且满足：，则的值为__________. 四、解答题 12．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，离心率. (1)求出椭圆的标准方程； (2)过椭圆的上焦点作直线与椭圆交于，两点，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 13．（2026·重庆·三模）已知椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线：与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点． 14．（2026·山东聊城二模）椭圆（）的离心率为，其左焦点到点的距离是. (1)求椭圆E的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求面积S的最大值. 15．（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 16．（2026·安徽六安一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 17．（2026·天津南开·模拟预测）已知椭圆：，，为原点，椭圆的左右焦点分别为，，并且经过点， (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左右顶点分别为，，直线与椭圆有且仅有一个公共点，点不与，重合，设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与轴交于点，求的取值范围． 18．（2026·上海·三模）如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有，两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线与相切于点，求点的坐标及直线的方程； (3)过的直线与相交于点、、三点，求证：． 19．（2026·甘肃·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 20．（2026·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $