1.1集合的概念（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念，涵盖元素与集合的从属关系、元素三大特性（确定性、互异性、无序性）、集合表示方法及常用数集符号，通过生活实例抽象定义，设置问题链引导思考，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料结构完整，含学习目标、重点难点、预习问题、探究活动及分层题型，探究环节培养逻辑推理，含参问题发展数学运算，Venn图等直观方式提升数学表达，助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

1.1 集合的概念 （导学案） 1、通过生活实例抽象出集合的定义，分清元素与集合的从属关系，理解集合元素三大基本特征. 2、熟练掌握集合表示方法，熟记自然数集、整数集、实数集等常用数集符号，能根据集合类型选择恰当方式书写集合. 3、会利用集合元素性质判断元素归属、求解简单含参问题，发展逻辑推理与数学运算核心素养. 重点：集合基本概念，元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法 难点：元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用 阅读教材，完成以下问题： 【1】集合的概念 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 【答案】 研究的对象 一些元素 【2】集合中元素的三个特性：__________、_________、_________； 【答案】确定性 互异性 无序性 （1）确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是___.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. 【答案】确定的 （2）互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是___的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为___元素. 【答案】 互不相同 一个 （3）无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无___，即任何两个元素都是可以交换顺序的. 【答案】 先后顺序 【3】集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______. 【答案】 有限集 无限集 （1）无限集：元素________的集合叫无限集（或无穷集）. 【答案】无限多 （2）有限集：元素个数________的集合叫有限集（或有穷集）. 【答案】有限 （3）一般地，我们把不含任何元素的集合称为_______，记作______. 【答案】 空集 【4】集合的四种表示方法：______、______、______、______． 【答案】 列举法 描述法 韦恩图法 符号法 （1）把集合的元素____________________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 提示：运用列举法表示集合，应注意：①元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；②元素不重复；③元素间无顺序；④“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略 【答案】一一列举 （2）描述法： ①定义:一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. ②写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___. 【答案】 共同特征 共同特征 （3）Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 【答案】封闭曲线 （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 _____________ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【5】元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______； 如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______. 【答案】 属于 不属于 探究一、集合的概念 问题1：填一填，你能发现它们有什么共同特点吗？什么是集合？ 【答案】对于给定的数，这个数要么可以填入“整数集合”，要么不可以填入“整数集合”中，两者有且只有一种情形成立。 问题2：下面例子中的研究对象是什么？你能发现它们有什么共同特点吗？什么是集合？ （1）1—10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线距离等于定长的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 【答案】一般地，我们把研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示．把一些元素组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 思考1：（1）“1-10”之间的所有偶数"是确定的集合吗？ （2）“较小的数”能组成集合吗？ 【答案】是，不能． 思考2：集合与集合是同一个集合吗？ 【答案】是． 思考3：1,2,1,3,4这五个数能组成集合吗？集合中有几个元素？ 【答案】4个． 【辨析1】下列元素的全体是否能构成集合？ （1）大于2小于14的偶数； （2）某班身高在1.7m以上的同学； （3）不大于3的所有实数； （4）全体很大的自然数； （5）中国著名的数学家。 【答案】能，能，能，不能，不能． 【辨析2】集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. 、 、 、1 、 【答案】D 【辨析3】用符号“”或“”填空： 0 ； ； 0.5 ； ； ； . 【答案】，， 【知识点拨】 1. 判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征或共同属性.要么是，要么不是。 2. 元素与集合的关系：属于（）、不属于（）。 探究二、集合的表示方法 问题3：我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外，还可以用什么方式来表示集合呢？ 追问1：（1）地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 【答案】 {太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋} （2）方程的所有根组成的集合如何用列举法表示？ 【答案】 {−1,−2} 追问2：不等式的解集该如何用列举法表示？ 【答案】 追问3：你能选用适合的方法描述由奇数组成的集合吗？ 【答案】 追问4：有没有其他直观方式表示集合？ 【答案】venn图法：形式：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合. 作用：直观地表示集合. 【例1】用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合. 解：(1)设小于10的所有自然数组成的集合为， 那么 （2）设方程的所有实数根组成的集合为,那么B={0,1}. 【例2】试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合. 解：(1)设,则是一个实数，且.因此，用描述法表示为 方程有两个实数根，因此，用列举法表示为 (2)设,则是一个整数，即且因此，用描述法表示为 大于10且小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19，因此，用列举法表示为 【知识点拨】 表示方法 定义 注意事项 例如 自然语言 文字叙述的形式描述集合 注意叙述清楚 “地球上的四大洋”组成的集合 “1—10之间的所有偶数”组成的集合 列举法 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 元素之间用“，”隔开，列举时与元素的次序无关. {太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋}； 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 写成的形式 {│为地球上的四大洋} 【题型1：集合概念的判断】 1、用下列所给对象能构成集合的是(     ) A、3的近似数  B、所有小于0的实数 C、某校高一(1)班的游泳小能手 D、全体很大的自然数 【答案】 2、下列说法正确的是(     ) A、某校爱好足球的同学组成一个集合　　　　　　　 B、{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C、集合{1,2,3,4,5}和{5,3,2,4,1}表示同一集合　　　　 D、组成的集合有7个元素 【答案】 【题型2：元素与集合的关系】 1、用符号“”或“”填空： (1)设为所有亚洲国家组成的集合，则中国　　，美国　　，印度　　，英国　　； (2)若，则－1　　； (3)若，则3　　； (4)若，则8　　，9.1　　; (5) 　　, 3.7 　　, 3.14　　, 　　. 【答案】(1)，，，，（2），（3），（4），，， 2、集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. 、 、 、1 、 【答案】 【题型3：集合的表示法】 1、用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. （4）二次函数的函数值组成的集合. （5）反比例函数的自变量的取值组成的集合. 【答案】（1），（2），（3） ，（4），（5） 【题型4：含参综合问题】 1、集合，若，则的值为？ 解：当时，，此时满足题意； 当时，， 当时，满足题意， 当时，不满足集合互异性. 所以，的取值集合为. 2、已知集合中含有两个元素和且，则的值为？ 解：∵，而中含有两个元素1和 ∴(1)若=1，则集合,不符合集合元素的互异性； (2)若，则=1（舍去）或， 当时集合，符合. 综上，的值为0. 3、已知，，若集合,则的值为 【答案】 一、单选题 1．下列每组对象能构成集合的是（    ） A．铜仁一中“迎国庆，大合唱”比赛中，唱的非常好的班级. B．“文明在行动，满意在铜中”专项活动中，表现好的学生. C．高一（16）班，年龄大于15岁的同学. D．铜仁一中校园内，美丽的小鸟. 【答案】C 【分析】根据集合的元素具有确定性,可得选项. 【解析】由于集合中的元素中需具备:确定性,而A选项中:唱得非常好的班级, B选项中:表现好的学生, D选项中:美丽的小鸟,都不具有确定性, 所以A,B,D选项的对象都不能构成集合,而C选项中:大于15岁的同学,元素具有确定性, 故选:C. 2．下列说法正确的是（    ） A．N中最小的数是1 B．若，，则最小值是2 C．若，则 D．的实数解组成的集合中含有2个元素 【答案】B 【解析】根据集合中元素的特点判断ABC，解一元二次方程结合集合元素的互异性判断D. 【解析】N是非负整数集，最小的非负整数是0，故A错误； 若，则a的最小值是1，又，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时， 取最小值2，故B正确； 当时，，且，故C错误； 的实数解为，故实数解组成的集合中含有1个元素，D是错误的. 故选：B 3．已知集合，则A中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由得,取整数，将A中元素一一列举，可得，选D． 4．下列说法正确的有（   ） ①联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合；   ②； ③集合与集合是同一个集合； ④空集是任何集合的真子集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据集合的定义，元素与集合的关系，列举法和描述法的定义以及空集的性质分别判断命题的真假． 【解析】对于①，优秀的篮球队员概念不明确，不能构成集合，错误； 对于②，元素与集合的关系应为属于或不属于，即0∉N*，错误； 对于③，集合是数集，集合{（x，y）|y=x2-1}表示的是满足等式的所有点，不是同一个集合，错误； 对于④，空集是任何非空集合的真子集，错误； 故选A． 5．设集合，集合，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：根据集合B的定义可得，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以；所以. 6．已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，确定出集合的元素，得到答案． 【解析】已知集合， 所以，，又， 所以，1，2，3，4，5， 当，3，5时，成立， 故集合的元素有3个， 故选：B． 7．已知集合，且，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对或分类讨论，结合互异性即可得到正确答案. 【解析】若，则，根据集合中元素的互异性，舍去； 若或3，又，故． 故选：D 8．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是 A．{x|﹣3＜x＜11，x∈Q} B．{x|﹣3＜x＜11} C．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈N} D．{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z} 【答案】D 【解析】试题分析：先确定集合元素的范围是﹣3＜x＜11，同时再确定偶数的形式，利用描述法表示集合． 解：因为所求的数为偶数，所以可设为x=2k，k∈z，又因为大于﹣3且小于11，所以﹣3＜x＜11． 即大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是{x|﹣3＜x＜11，x=2k，k∈Z}． 故选D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】解：对于A：是自然数，所以，A错误； 对于B：是无理数，所以，B正确； 对于C：是有理数，所以，C错误； 对于D：是整数，所以，D正确， 故选：BD 10.中的元素有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】解：因为 所以或或 所以 故选：ABC 三、填空题 11．用描述法表示被3除余2的整数集为 ． 【答案】 【解析】由题意知，要求集合中元素即为3的整数倍再加2，可表示为． 故答案为：． 12．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为 . 【答案】{－1，1，3，5} 【解析】集合中的元素满足x＝2m－3，m∈N*，m<5， 则满足条件的x值：m＝1，x＝－1；m＝2，x＝1；m＝3，x＝3；m＝4，x＝5. 则集合为{－1，1，3，5}. 故答案为：{－1，1，3，5}. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的表示方法，属于基础题目. 13．用符号或填空： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ； （5） ；（6） . 【答案】 【解析】解：（1） （2）不含任何元素，故； （3）为自然数集，； （4）为整数集，； （5）为有理数集，为无理数，故 （6）为整数集，； 故答案为：；；；；； ； 14．设，方程的解集是 ． 【答案】 【解析】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 四、解答题 15．（1）设A表示集合{2，3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|，2}，若5A，且5∉B，求实数a的值； （2）已知集合A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，若（2，3）A，且（2，3）B，试求m，n的取值范围. 【答案】（1）－4；（2）{m|m>－1}，{n|n<5}. 【解析】解：（1）∵5A，且，∴， 即所以a＝－4； （2）∵（2，3）A，∴2×2－3＋m>0，∴m>－1. ∵（2，3）B，∴2＋3－n>0，∴n<5. ∴所求m，n的取值范围分别是{m|m>－1}，{n|n<5}. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 集合的概念 （导学案） 1、通过生活实例抽象出集合的定义，分清元素与集合的从属关系，理解集合元素三大基本特征. 2、熟练掌握集合表示方法，熟记自然数集、整数集、实数集等常用数集符号，能根据集合类型选择恰当方式书写集合. 3、会利用集合元素性质判断元素归属、求解简单含参问题，发展逻辑推理与数学运算核心素养. 重点：集合基本概念，元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法 难点：元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用 阅读教材，完成以下问题： 【1】集合的概念 一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示． 说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 【2】集合中元素的三个特性：__________、_________、_________； （1）确定性——对于一个给定的集合，它的元素必须是___.也就是说，如果给定一个集合，那么一个元素在或不在这个集合中就确定了. （2）互异性——对于一个给定的集合，它的元素一定是___的.也就是说，集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算为___元素. （3）无序性——对于一个给定的集合，它的元素并无___，即任何两个元素都是可以交换顺序的. 【3】集合的分类：按集合中元素的个数划分，集合可以分为______、______. （1）无限集：元素________的集合叫无限集（或无穷集）. （2）有限集：元素个数________的集合叫有限集（或有穷集）. （3）一般地，我们把不含任何元素的集合称为_______，记作______. 【4】集合的四种表示方法：______、______、______、______． （1）把集合的元素____________________出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 提示：运用列举法表示集合，应注意：①元素间用“，”分隔，不能用其它符号代替；②元素不重复；③元素间无顺序；④“{　}”表示“所有”、“整体”的含义，不能省略 （2）描述法： ①定义:一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有___P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法. ②写法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___. （3）Venn图的概念 我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图． 说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． （4）常用数集及其记法： 数集 非负整数集（或自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数 集 复数 集 符号 _____________ N*或（N＋） Z Q R C 注：图表中所列举的字母符号均是集合的形式，不要加{}，这是因为{R}不是实数集，它表示一个集合，该集合中只有一个元素R. 【5】元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a_______集合A，记作_______； 如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作_______. 探究一、集合的概念 问题1：填一填，你能发现它们有什么共同特点吗？什么是集合？ 问题2：下面例子中的研究对象是什么？你能发现它们有什么共同特点吗？什么是集合？ （1）1—10之间的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有的正方形； （4）到直线距离等于定长的所有点； （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考1：（1）“1-10”之间的所有偶数"是确定的集合吗？ （2）“较小的数”能组成集合吗？ 思考2：集合与集合是同一个集合吗？ 思考3：1,2,1,3,4这五个数能组成集合吗？集合中有几个元素？ 【辨析1】下列元素的全体是否能构成集合？ （1）大于2小于14的偶数； （2）某班身高在1.7m以上的同学； （3）不大于3的所有实数； （4）全体很大的自然数； （5）中国著名的数学家。 【辨析2】集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. 、 、 、1 、 【辨析3】用符号“”或“”填空： 0 ； ； 0.5 ； ； ； . 【知识点拨】 1. 判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征或共同属性.要么是，要么不是。 2. 元素与集合的关系：属于（）、不属于（）。 探究二、集合的表示方法 问题3：我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外，还可以用什么方式来表示集合呢？ 追问1：（1）地球上的四大洋组成的集合如何表示？ （2）方程的所有根组成的集合如何用列举法表示？ 追问2：不等式的解集该如何用列举法表示？ 追问3：你能选用适合的方法描述由奇数组成的集合吗？ 追问4：有没有其他直观方式表示集合？ 【例1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合. 【例2】试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合. 【知识点拨】 表示方法 定义 注意事项 例如 自然语言 文字叙述的形式描述集合 注意叙述清楚 “地球上的四大洋”组成的集合 “1—10之间的所有偶数”组成的集合 列举法 把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法 元素之间用“，”隔开，列举时与元素的次序无关. {太平洋，大西洋，印度洋、北冰洋}； 描述法 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 写成的形式 {│为地球上的四大洋} 【题型1：集合概念的判断】 1、用下列所给对象能构成集合的是(     ) A、3的近似数  B、所有小于0的实数 C、某校高一(1)班的游泳小能手 D、全体很大的自然数 2、下列说法正确的是(     ) A、某校爱好足球的同学组成一个集合　　　　　　　 B、{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合 C、集合{1,2,3,4,5}和{5,3,2,4,1}表示同一集合　　　　 D、组成的集合有7个元素 【题型2：元素与集合的关系】 1、用符号“”或“”填空： (1)设为所有亚洲国家组成的集合，则中国　　，美国　　，印度　　，英国　　； (2)若，则－1　　； (3)若，则3　　； (4)若，则8　　，9.1　　; (5) 　　, 3.7 　　, 3.14　　, 　　. 2、集合是由大于-2且小于1的实数构成的，则下列关系正确的是（ ）. 、 、 、1 、 【题型3：集合的表示法】 1、用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. （4）二次函数的函数值组成的集合. （5）反比例函数的自变量的取值组成的集合. 【题型4：含参综合问题】 1、集合，若，则的值为？ 2、已知集合中含有两个元素和且，则的值为？ 3、已知，，若集合,则的值为 一、单选题 1．下列每组对象能构成集合的是（    ） A．铜仁一中“迎国庆，大合唱”比赛中，唱的非常好的班级. B．“文明在行动，满意在铜中”专项活动中，表现好的学生. C．高一（16）班，年龄大于15岁的同学. D．铜仁一中校园内，美丽的小鸟. 2．下列说法正确的是（    ） A．N中最小的数是1 B．若，，则最小值是2 C．若，则 D．的实数解组成的集合中含有2个元素 3．已知集合，则A中元素的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列说法正确的有（   ） ①联盟中所有优秀的篮球运动员可以构成集合； ②； ③集合与集合是同一个集合； ④空集是任何集合的真子集. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 6．已知集合且，则集合中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．已知集合，且，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．由大于﹣3且小于11的偶数所组成的集合是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．中的元素有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．用描述法表示被3除余2的整数集为 ． 12．集合{x|x＝2m－3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为 . 13．用符号或填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 14．设，方程的解集是 ． 四、解答题 15．（1）设A表示集合{2，3，a2＋2a－3），B表示集合{|a＋3|，2}，若5A，且5∉B，求实数a的值； （2）已知集合A＝{（x，y）|2x－y＋m>0}，B＝{（x，y）|x＋y－n≤0}，若（2，3）A，且（2，3）B，试求m，n的取值范围. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $