1.1 第1课时 集合的概念 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念，涵盖元素与集合的关系、元素特性及常见数集表示。通过“开学教育通知”实例导入，关联初中数集、点集知识，以问题链搭建学习支架，引导学生从具体情境抽象数学概念。 资料特色在于以生活情境培养数学眼光，通过典例变式训练数学思维，用符号图表规范数学语言。含多选及思维变式题，解题感悟总结方法，达标训练分层设计，助力学生提升抽象能力与理性精神，适合自主学习与课堂教学。

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 第1课时 集合的概念 学案 ⚪目标导航 1.了解集合与元素的概念；2.理解元素与集合的关系，掌握常见数集的表示方法；3.理解集合中元素的特性，并能利用它们进行解题. 一、集合的概念与集合中元素的特性 ⚪走进教材 　　9月1日晚上，学校通知：全体高一学生6点钟开始在班级进行开学教育，之后“偶数班”去一楼大厅领取数学教材. 问题1　这个通知的对象有哪些？ 问题2　这些对象能构成一个集合吗？ 问题3　初中我们接触了哪些集合？ ⚪教材梳理 1.元素 2.集合 ⚪温馨提示 　（1）集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义；（2）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等；（3）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个. 3.集合中元素的特性：　 　，　 　，　 　. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是　 　，我们就称这两个集合是相等的. 5.常见的数集及符号表示 数集 非负整数集 （自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 【典例1】　（多选）下列对象能构成集合的有（　　） A.接近于2 025的所有正整数 B.小于－3的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点M（3，2）与点N（4，3） ⚪解题感悟 判断一组对象能构成集合的条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是满足这个标准； （2）任何两个对象都是不同的； （3）对对象出现的顺序没有要求. 【练习1】　下列说法中正确的是（　　） A.同一平面内，与定点A，B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中的元素的个数为5 C.唐宋八大家可以组成集合 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 二、元素与集合的关系 ⚪走进教材 问题4　如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？为什么？ ⚪教材梳理 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A 　 　 a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 　 　 a不属于集合A 【典例2】　（1）集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（　　） A.∈M B.0∉M C.1∈M D.－∈M （2）已知集合A中的元素x满足2x＋a＞0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为　 　. ⚪解题感悟 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法：对于一些没有直接列出元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 【练习2】　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为　 　. 三、集合中元素的特性 【典例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为　 　. 【思维变式1】　（变条件）若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 【思维变式2】　（变条件）已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值. ⚪解题感悟 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 【练习3】　若集合M中的3个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ⚪达标训练 1.（多选）下列对象能构成集合的是（　　） A.某市拥有小轿车的家庭 B.2024年高考数学试卷中的难题 C.所有的有理数 D.绝对值大于5的实数 2.设集合M中的元素x满足3－2x＜0，则下列关系中正确的是（　　） A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M 3.若集合A含有－x，｜x｜两个元素，则x应满足（　　） A.x＞0 B.x＜0 C.x＝0 D.x≤0 4.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为　 　. 第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 ⚪目标导航 1.了解集合与元素的概念；2.理解元素与集合的关系，掌握常见数集的表示方法；3.理解集合中元素的特性，并能利用它们进行解题. 一、集合的概念与集合中元素的特性 ⚪走进教材 　　9月1日晚上，学校通知：全体高一学生6点钟开始在班级进行开学教育，之后“偶数班”去一楼大厅领取数学教材. 问题1　这个通知的对象有哪些？ 提示：全体高一学生，“偶数班”. 问题2　这些对象能构成一个集合吗？ 提示：能. 问题3　初中我们接触了哪些集合？ 提示：①数集：自然数的集合，有理数的集合. ②点集：圆（同一平面内到一个定点的距离等于定长（不为0）的点的集合），如图1；线段的垂直平分线（同一平面内到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合），如图2. ⚪教材梳理 1.元素 2.集合 ⚪温馨提示 　（1）集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义；（2）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等；（3）组成集合的元素可以有有限个，也可以有无限个. 3.集合中元素的特性：　确定性　，　互异性　，　无序性　. 4.集合相等：只要构成两个集合的元素是　一样的　，我们就称这两个集合是相等的. 5.常见的数集及符号表示 数集 非负整数集 （自然数集） 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 【典例1】　（多选）下列对象能构成集合的有（　BD　） A.接近于2 025的所有正整数 B.小于－3的实数 C.未来10年内的房价趋势 D.点M（3，2）与点N（4，3） 解析：对于A，接近于2 025所有正整数的标准不明确，不能构成集合；对于B，小于－3的实数是确定的，能构成集合；对于C，未来10年内的房价趋势不明确，不能构成集合；对于D，点M（3，2）与点N（4，3）是两个不同的点，是确定的，能构成集合.故选BD. ⚪解题感悟 判断一组对象能构成集合的条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是满足这个标准； （2）任何两个对象都是不同的； （3）对对象出现的顺序没有要求. 【练习1】　下列说法中正确的是（　C　） A.同一平面内，与定点A，B等距离的点不能构成集合 B.由“title”中的字母构成的集合中的元素的个数为5 C.唐宋八大家可以组成集合 D.高中学生中的游泳能手能构成集合 解析：A不正确，同一平面内，与定点A，B等距离的点在AB的垂直平分线上，能构成集合；B不正确，由“title”中的字母构成的集合中的元素为t，i，l，e，共4个；C正确，唐宋八大家是确定的，所以能组成集合；D不正确，游泳能手没有确定的标准，故不能构成集合. 二、元素与集合的关系 ⚪走进教材 问题4　如果体育老师说“男同学打篮球，女同学跳绳”，你去打篮球吗？为什么？ 提示：是男生就去，不是男生就不去.要先确定是否属于男同学构成的集合. ⚪教材梳理 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A 　a∈A　 a属于集合A 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A 　a∉A　 a不属于集合A 【典例2】　（1）集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（　D　　） A.∈M B.0∉M C.1∈M D.－∈M （2）已知集合A中的元素x满足2x＋a＞0，a∈R.若1∉A，2∈A，则实数a的取值范围为　－4＜a≤－2　. [解析]　（1）因为集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，＞1，故A错；－2＜0＜1，故B错；1不小于1，故C错；－2＜－＜1，故D正确.故选D. （2）因为1∉A，2∈A，所以即－4＜a≤－2. ⚪解题感悟 判断元素与集合关系的两种方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出的，那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可. （2）推理法：对于一些没有直接列出元素的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 【练习2】　集合A中的元素x满足∈N，x∈N，则集合A中的元素为　0，1，2　. 解析：由∈N，x∈N，知x≥0，≥0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x＝0，1，2.当x＝0时，＝2∈N；当x＝1时，＝3∈N；当x＝2时，＝6∈N.故集合A中的元素为0，1，2. 三、集合中元素的特性 【典例3】　已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为　－1　. 解析：若a＝1，则a2＝1，此时集合A中两元素相同，与集合中元素的互异性矛盾，故a≠1；若a2＝1，则a＝－1或a＝1（舍去），此时集合A中两元素为－1，1，故a＝－1.综上所述，a＝－1. 【思维变式1】　（变条件）若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？ 解：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1. 【思维变式2】　（变条件）已知集合A含有两个元素1和a2，若“a∈A”，求实数a的值. 解：由a∈A可知，当a＝1时，此时a2＝1，与集合中的元素的互异性矛盾，所以a≠1； 当a＝a2时，a＝0或a＝1（舍去）.综上可知，a＝0. ⚪解题感悟 根据集合中元素的特性求值的三个步骤 【练习3】　若集合M中的3个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　D　） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：由集合中的元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同. ⚪达标训练 1.（多选）下列对象能构成集合的是（　ACD　） A.某市拥有小轿车的家庭 B.2024年高考数学试卷中的难题 C.所有的有理数 D.绝对值大于5的实数 解析：根据集合的概念，B选项中的“难题”标准不明确，不满足集合中元素的确定性，显然A、C、D选项都能构成集合，故选ACD. 2.设集合M中的元素x满足3－2x＜0，则下列关系中正确的是（　B　） A.0∈M，2∈M B.0∉M，2∈M C.0∈M，2∉M D.0∉M，2∉M 解析：本题是判断0和2与集合M间的关系，因此只需判断0和2是否满足3－2x＜0即可.当x＝0时，3－2x＝3＞0，所以0∉M；当x＝2时，3－2x＝－1＜0，所以2∈M，故选B. 3.若集合A含有－x，｜x｜两个元素，则x应满足（　A　） A.x＞0 B.x＜0 C.x＝0 D.x≤0 解析：由集合中元素的互异性，得｜x｜≠－x，故x＞0，故选A. 4.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为　0或1　. 解析：由题意知，t∈N且t＝－x2＋1≤1，故t＝0或1. 学科网（北京）股份有限公司 $