2026年人教版七升八暑假作业1 相交线与平行性

**基本信息** 以“概念-性质-判定-应用”为逻辑主线，融合图形记忆法与推理训练，系统构建相交线与平行线知识体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|系统概念总结|三线八角“F/Z/U”型记忆法、判定与性质“角定线/线定角”区分|从相交线（邻补角/对顶角）到平行线（定义-公理-判定-性质），构建角线关系推导链条| |基础训练|40题（如第2、7题）|命题改写“如果…那么…”形式、平移性质直接应用|单一概念辨析到简单性质应用，强化基础认知| |能力提升|20题（如第43题）|角平分线与平行综合推理、垂直与角度计算技巧|多知识点交叉应用，培养逻辑推理能力| |拓展探究|10题（如第61题）|辅助线添加（过点作平行线）、动态问题分类讨论|复杂图形转化，提升几何直观与创新意识|

暑假作业1 相交线与平行线 答案与解析 1．【解答】解：A、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意； B、是由“基本图案”经过平移得到，故此选项符合题意； C、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意； D、不是由“基本图案”经过平移得到，故此选项不合题意； 故选：B． 2．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠1＝36°， ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣36°＝144°， 故选：D． 3．【解答】解：A．足球在草地上滚动方向变化，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； B．拉开抽屉符合平移的定义，属于平移，故本选项正确； C．把打开的课本合上，不符合平移的定义，不属于平移，故本选项错误； D．钟摆的摆动是旋转运动，不属于平移，故本选项错误； 故选：B． 4．【解答】解：选项D中的∠1与∠2是同旁内角． 故选：D． 5．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠2＝180°． ∵∠2＝75°， ∴∠1＝180°﹣∠2＝180°﹣75°＝105°． 故选：A． 6．【解答】解：A、∠1和∠2不属于内错角，故A不符合题意； B、∠1和∠2不属于内错角，故B不符合题意； C、∠1和∠2属于内错角，故C符合题意； D、∠1和∠2属于同旁内角，不属于内错角，故D不符合题意； 故选：C． 7．【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠3＝∠1＝70°， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝110°； 故选：B． 8．【解答】解：由题意知，∠CDA＝180°﹣∠CDE＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠CDA＝50°， 故选：C． 9．【解答】解：由题知， 因为△DEF由△ABC沿AC方向平移得到， 所以CF＝AD． 因为AC＝7，CD＝4， 所以AD＝AC﹣AD＝7﹣4＝3， 所以CF＝AD＝3． 故选：B． 10．【解答】解：如图， ∵CP⊥AB， ∴CP≤AC， ∵AC＝3， ∴CP≤3， ∴PC≤3， ∴CP长的最大值为3， 故选：C． 11．【解答】解：∵将△ABC沿BC方向平移3厘米后得到△DEF， ∴B、E、C、F四点在同一条直线上，且CF＝3厘米， ∵EC＝4厘米， ∴EF＝EC+CF＝4+3＝7（厘米）， 故答案为：7． 12．【解答】解：A、∠1和∠3不是同位角也不是内错角，不能判定AC∥DE，故A不符合题意； B、此说法正确，故B符合题意； C、由∠2+∠4＝180°判定AC∥DE，由∠2＝∠4不能判定AC∥DE，故C不符合题意； D、∠EDC＞∠1，此说法显然错误，故D不符合题意． 故选：B． 13．【解答】解：如图， 由条件可知∠3＝∠1， ∵AB∥DE， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2＝180°﹣68°＝112°． 故选：B． 14．【解答】解：如图所示， ∵a∥b， ∴∠1+∠3＝180°． ∵∠1＝127°， ∴∠3＝180°﹣127°＝53°， ∴∠2＝180°﹣90°﹣53°＝37°． 故选：C． 15．【解答】解：由条件可知∠AOE＝∠EOF﹣∠AOF＝90°﹣32°＝58°， ∵AB∥CD， ∴∠OGC＝122°， ∴∠DGE＝∠OGC＝122°； 故选：B． 16．【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠DOE＝90°， ∵∠1＝40°， ∴∠BOD＝∠1＝40°， ∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝40°+90°＝130°， 故选：B． 17．【解答】解：根据题意需找到满足条件a2＞b2，但不满足结论a＞b的a，b的值如下： 选项A：∵a＝﹣4，b＝3， ∴a2＝（﹣4）2＝16，b2＝32＝9，可得a2＞b2，满足命题条件，又a＝﹣4＜3＝b，不满足命题结论a＞b， ∴可以说明该命题是假命题； 选项B：a＝4，b＝3，满足a2＞b2，也满足a＞b，不能说明命题是假命题； 选项C：a＝4，b＝﹣3，满足a2＞b2，也满足a＞b，不能说明命题是假命题； 选项D：a＝﹣3，b＝4，a2＝9＜16＝b2，不满足命题条件，不能说明命题是假命题． 故选：A． 18．【解答】解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°， ∵∠1＝52°， ∴∠AOD＝90°﹣∠1＝38°， ∵∠2+∠AOD＝180°， ∴∠2＝180°﹣∠AOD＝142°， 故选：B． 19．【解答】解：由题知， ∵AB∥CD，∠2＝145°， ∴∠AEF＝∠2＝145°， ∴∠1＝180°﹣∠AEF＝180°﹣145°＝35°． 故答案为：35°． 20．【解答】解：添加∠1＝∠2， ∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：∠1＝∠2（答案不唯一）． 故答案为：∠1＝∠2． 21．【解答】解：∵点A在直尺上对应的刻度为12cm．将该三角板沿着直尺边缘平移，使△ABC移动到△A'B'C'的位置，点A′在直尺上对应的刻度为0cm， ∴AA′＝12cm， ∴BB′＝AA′＝12cm． 故答案为：12． 22．【解答】解：∵∠BOD＝120°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝60°， ∴直线AB、CD的夹角大小是60°， 故答案为：60°． 23．【解答】解：当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的值也减少30°，其理由是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 24．【解答】解：∵直线AC，BD相交于点O，如果∠BOC＝130°，如图， ∴∠AOB+∠BOC＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣130°＝50°， 故答案为：50． 25．【解答】解：测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 26．【解答】解：∵直线a、b被直线c所截，∠1＝∠3，或∠2＝∠4，或∠2+∠5＝180°， ∴a∥b． 故答案为：∠1＝∠3（或∠，2＝∠4或∠2+∠5＝180°）． 27．【解答】解：根据平方根的定义当条件a2＝9成立时，结论a＝3不一定成立， 所以该命题是假命题． 故答案为：假． 28．【解答】解：当a＝﹣2时，|a|＝﹣a， 说明命题“|a|＝a”是假命题， 故答案为：﹣2（答案不唯一）． 29．【解答】解：根据命题与定理的相关知识，把命题的题设和结论，写成“如果…那么…”的形式为： 如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等； 故答案为：如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等． 30．【解答】解：由题意可知， ∠1+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠1＝46°， ∴∠3＝44°， ∵m∥n， ∴∠4＝∠3＝44°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣44°＝136°， 故答案为：136． 31．【解答】解：直线AB和CD相交于点O，射线OE平分∠DOB， ∵∠BOD＝∠AOC＝40°， ∵OE平分∠DOB， ∴， ∵∠COD＝180°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣20°＝160°． 故答案为：160． 32．【解答】解：∵直线a∥b， ∴∠B＝∠2， 又∵AC⊥AB，∠1＝60°， ∴∠B＝30°， ∴∠2＝30°， 故答案为：30°． 33．【解答】解：∵EO⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠BOD＝35°， ∴∠AOC＝∠BOD＝35°， ∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝125°． 34．【解答】解：（1）DE∥BC， 理由：∵D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝60°，∠B＝60°， ∴∠ADE＝∠B， ∴DE∥BC． （2）∵DE∥BC， ∴∠DEC+∠C＝180°， ∵∠C＝70°， ∴∠DEC＝180°﹣∠C＝180°﹣70°＝110°， ∴∠DEC的度数是110°． 35．【解答】解：（1）EF∥AD，理由如下： ∵∠BGF+∠AGF＝180°，且∠BGF+∠BAD＝180°， ∴∠AGF＝∠BAD， ∴EF∥AD． （2）由（1）得EF∥AD，∠AGF＝∠BAD， ∴∠F＝∠CAD， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠AGF＝∠F． 36．【解答】证明：∵∠A＝∠GBC， ∴AE∥BF， ∴∠E＝∠EGF． ∵CE∥DF， ∴∠EGF＝∠F， ∴∠E＝∠F． 37．【解答】证明：∵DF∥AB， ∴∠BEF＝∠DFE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DFE＝∠A， ∴∠BEF＝∠A， ∴AC∥EF（同位角相等，两直线平行）， ∴∠EFB＝∠C（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：DFE（两直线平行，内错角相等），BEF，AC，EF（同位角相等，两直线平行）． 38．【解答】∵∠A＝∠ADE（已知）， ∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）， ∴∠ABE＝∠E（两直线平行，内错角相等）． ∵∠C＝∠E（已知）， ∴∠C＝∠ABE（等量代换）， ∴BE∥CD（同位角相等，两直线平行）． 39．【解答】（1）证明：∵DE∥AC， ∴∠C＝∠1， 又∵∠1＝∠2， ∴∠C＝∠2， ∴AF∥BC； （2）解：∵AC平分∠BAF， ∴∠BAC＝∠2． 在△BAC中，∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∵∠BAC＝∠2，∠C＝∠2，∠1＝∠2，2∠B＝∠C， ∴∠1+∠1+∠1＝180°， ∴∠1＝72°． 40．【解答】证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知）； ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； ∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等）； 又∵∠1＝∠2 （已知）， ∴∠FPA＝∠EAP， ∴AE∥PF（内错角相等，两直线平行）； ∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）． 41．【解答】解：如图， 由平行线的性质可知，∠1＝∠3＝52°， ∴∠2＝180°﹣52°﹣90°＝38°． 故选：B． 42．【解答】解：A．对顶角相等，故本选项符合题意； B．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项不符合题意； C．两个锐角的和可能是钝角、可能是锐角、也可能是直角，故本选项不符合题意； D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，故本选项不符合题意． 故选：A． 43．【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠C+∠ADC＝180°． ∵∠C＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣30°＝150°． ∵∠ADB：∠BDC＝1：2， ∴∠BDC＝∠ADC＝， ∴∠DBC＝180°﹣30°﹣100°＝50°． 故选：D． 44．【解答】解：∵AB⊥CD， ∴∠AOD＝∠BOD＝∠BOC＝90°， ∵射线OE平分∠AOD，∠COF＝60°， ∴， ∴∠BOF＝90°﹣∠COF＝30°， ∴∠EOF＝∠DOE+∠BOD+∠BOF＝45°+90°+30°＝165°． 故选：D． 45．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，则∠ABE+∠BEF＝180°， ∵∠ABE＝125°，∠CDE＝145°， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝55°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠CDE+∠DEF＝180°， ∴∠DEF＝180°﹣∠CDE＝35°， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝55°+35°＝90°． 故选：C． 46．【解答】D解：如图，作EF∥a， ∵a∥b， ∴EF∥b， ∴∠FEB＝∠1＝20°， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AEF＝90°﹣20°＝70°， ∵EF∥a， ∴∠2＝∠AEF＝70°． 故选：D． 47．【解答】解：∵AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF， ∴AD＝BE，DE＝AB＝3cm， ∵DG+GE＝DE＝AB＝3cm，AG+GC＝AC＝4cm， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为AD+DG+AG+GE+GC+EC＝（AD+EC）+（DG+GE）+（AG+GC）＝5+3+4＝12（cm）． 故选：B． 48．【解答】解：∵AB∥PQ， ∴∠ABE+∠BGP＝180°， ∵∠ABE＝140°， ∴∠BGP＝180°﹣140°＝40°， ∵CD∥PQ， ∴∠CDF+∠DGP＝180°， ∵∠CDF＝160°， ∴∠DGP＝180°﹣160°＝20°， ∴∠BGD＝∠BGP+∠DGP＝40°+20°＝60°， 故选：A． 49．【解答】解：∵AB∥CD，∠CAE＝110°， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAE＝180°﹣110°＝70°，∠AEC＝∠DCE， ∵CE平分∠ACD，点E在AB上， ∴， ∴∠AEC＝∠DCE＝35°． 故答案为：35°． 50．【解答】解：由条件可知AD∥BC， ∴∠CFE＝180°﹣50°＝130°， 由折叠的性质得∠C′FE＝∠CFE＝130°， ∴∠C′FC＝360°﹣130°﹣130°＝100°， ∴∠C′FG＝180°﹣∠C′FC＝80°． 故答案为：80． 51．【解答】解：如图，过点B作BF∥AE， ∵BA⊥AE，∠ABC＝140°， ∴BA⊥BF，即∠ABF＝90°， ∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝140°﹣90°＝50°， ∵CD∥AE， ∴CD∥BF， ∴∠BCD+∠CBF＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠CBF＝180°﹣50°＝130°． 故答案为：130． 52．【解答】解：连接AD，如图， ∵将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置， ∴BE＝CF＝AD， ∵BF＝13，EC＝5， ∴BE+CF＝BF﹣EC＝8， ∴BE＝CF＝4， ∴AD＝4，即A，D之间的距离为4． 故答案为：4． 53．【解答】解：∵∠BOC＝110°， ∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝70°， ∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝35°， ∵OE⊥OD， ∴∠DOE＝90°， ∴∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝55°， 故答案为：55． 54．【解答】解：由平移的性质可得：AD＝BE＝acm，DE＝AB＝8cm， ∵CE＝BC﹣BE＝（10﹣a）cm， ∴阴影部分的周长为： AD+CE+AC+DE＝a+（10﹣a）+6+8＝24（cm）． 故答案为：24． 55．【解答】解：∵OE⊥OF， ∴∠EOF＝90°， ∵∠AOF＝26°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣26°﹣90°＝64°， ∵OB平分∠DOE， ∴∠DOE＝2∠BOE＝2×64°＝128°， ∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣128°＝52°， ∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣52°＝38°． 56．【解答】解：（1）AD∥EF，理由如下： ∵∠1+∠BDE＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠2＝∠ADE， ∵∠2+∠4＝180°． ∴∠ADE+∠4＝180°， ∴AD∥EF； （2）∵AD∥EF， ∴∠BAD＝∠3＝90°， ∵∠2+∠4＝180°，∠4＝140°， ∴∠2＝40°， ∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°． 57．【解答】（1）证明：∵△DEF是△ABC沿射线BA方向平移得到的， ∴EF∥BC， ∴∠B＝∠EFC； （2）∵△DEF是△ABC沿射线BA方向平移得到的， ∴AC＝DF，AD＝CF＝3， ∴四边形DBCF的周长＝（AB+BC+AC）+AD+CF＝（AB+BC+DF）+AD+CF＝20+3+3＝26． 58．【解答】（1）解：利用角平分线定义和三角形外角性质，进行判定，可知真命题的个数为3， 故答案为：3； （2）证明如下：（答案不唯一） 已知：①②，求证：③． ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A． 同理∠4＝∠2+∠E， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠ABC＝2∠2，∠ACD＝2∠4， ∴2∠4＝2∠2+∠A． ∵∠4＝∠2+∠E， ∴2∠4＝2∠2+2∠E， ∴2∠2+∠A＝2∠2+2∠E， ∴∠A＝2∠E． 已知：①③，求证：②．证明如下： ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A， 同理∠4＝∠2+∠E， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠2． ∵∠A＝2∠E， ∴∠ACD＝2∠2+2∠E． ∵∠4＝∠2+∠E， ∴2∠4＝2∠2+2∠E， ∴∠ACD＝2∠4， ∴CE平分∠ACD． 已知：②③，求证：①． 证明如下： ∵∠ACD是△ABC的外角， ∴∠ACD＝∠ABC+∠A． 同理∠4＝∠2+∠E， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠4． ∵∠A＝2∠E， ∴2∠4＝∠ABC+2∠E． ∵∠4＝∠2+∠E， ∴2∠4＝2∠2+2∠E， ∴∠ABC+2∠E＝2∠2+2∠E， ∴∠ABC＝2∠2， ∴BE平分∠ABC． 59．【解答】解：（1）∵∠AOF＝68°，OF平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOF＝136°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝136°﹣90°＝46°； （2）∵∠AOF：∠COE＝4：3， ∴可设∠COE＝3x，∠AOF＝4x， ∵OF平分∠AOC， ∴∠COF＝∠AOF＝4x， ∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝4x﹣3x＝x， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOF+∠EOF＝90°， 即4x+x＝90°， ∴x＝18°，即∠EOF＝18°． 60．【解答】（1）证明：∵DE∥AB， ∴∠A＝∠DEC． ∵∠DEC+∠AFD＝180°， ∴∠A+∠AFD＝180°． ∴DF∥AC． （2）解：∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠B． ∵DF∥AC， ∴∠FDB＝∠C． ∵∠FDE+∠FDB+∠EDC＝180°，∠B+∠C＝130°， ∴∠FDE＝180°﹣（∠FDB+∠EDC）＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣130°＝50°． 61．【解答】证明：（1）如图1， 过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥CD（平行线的传递性）． ∴∠2+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝180°+180°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°． 故答案为：平行线的传递性；两直线平行，同旁内角互补． （2）如图2， 过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠AEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠A+∠AEF+∠FEC+C＝360°， ∴∠FEC+∠ECD＝180°， ∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴AB∥CD（平行线的传递性）， （3）如图3， 过点E作EF∥AB， ∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（平行线的传递性）， ∴∠DEF＝∠EDC（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BEF+∠DEF＝∠ABE+∠ECD（等式的性质）， 即∠BED＝∠ABE+∠ECD， 故∠E与∠B、∠D之间的数量关系为：∠E＝∠B+∠D 62．【解答】解：（1）∵PE∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥PE， ∴∠CPE＝180°﹣∠PCD＝180°﹣140°＝40°，∠EPA＝180°﹣∠PAB＝180°﹣126°＝54°， ∴∠APC＝∠CPE+∠APE＝94°， 故答案为：94°； （2）∠GPH＝α+β． 证明：过点P作PQ∥AB，则∠GPQ＝∠PGB＝α， ∵AB∥CD， ∴CD∥PQ， ∴∠HPQ＝∠PHD＝β， ∵∠GPH＝∠GPQ+∠HPQ， ∴∠GPH＝α+β． （3）∠GPH＝β﹣α，∠GPH＝α﹣β； 证明：如图3，点P在F的下方时， 过点P作PQ∥AB， ∴∠QPG＝∠PGB＝α， ∵AB∥CD， ∴CD∥PQ， ∴∠QPH＝∠PHD＝β， ∴∠GPH＝∠QPG﹣∠QPH， ∴∠GPH＝α﹣β； 如图4，点P在E的上方时， 过点P作PQ∥AB， ∴∠GPQ＝∠PGB＝α， ∵AB∥CD， ∴CD∥PQ， ∴∠QPH＝∠PHD＝β， ∴∠GPH＝∠QPH﹣∠GPQ， ∴∠GPH＝β﹣α． 63．【解答】解：感知探究， 证明：过点E作EF∥AB， 则∠AME+∠MEF＝180°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠FEN+∠CNE＝180°， ∴∠AME+∠E+∠CNE＝360°， 类比迁移： ∠BMF＝∠MFN+∠FND． 证明：如图②，过F作FK∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FK∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN+∠FND． 故答案为：∠BMF＝∠MFN+∠FND； 结论应用： 如图③，过C作CG∥AB， ∴∠GCA＝180°﹣∠BAC＝60°， ∵AB∥DE， ∴CG∥DE， ∴∠GCD＝∠CDE＝80°， ∴∠ACD＝20°， 拓展延伸： ∠AEC+2∠AFC＝360°， 理由如下： 过点E作EM∥CD，过点F作FN∥AB， 则∠7+∠3+∠4＝180°，∠1＝∠5， ∵AB∥CD， ∴EM∥AB，FN∥CD， ∴∠6+∠1+∠2＝180°，∠4＝∠8， ∴∠6＝180°﹣∠1﹣∠2， ∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠7＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣2∠4，∠6＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠1， ∴∠6+∠7＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠4＝360°﹣2（∠1+∠4）， ∠5+∠8＝∠1+∠4， ∴∠6+∠7+2（∠5+∠8）＝360°﹣2（∠1+∠4）+2（∠1+∠4）＝360°， 即∠AEC+2∠AFC＝360°． 64．【解答】解：如图，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF． （1）∵∠A＝20°，∠C＝40°， ∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠C＝40°， ∴∠AEC＝∠1+∠2＝60°； 故答案为：60°； （2）∴∠1+∠A＝180°，∠2+∠C＝180°， ∵∠A＝x°，∠C＝y°， ∴∠1+∠2+x°+y°＝360°， ∴∠AEC＝（360﹣x﹣y）°； 故答案为：（360﹣x﹣y）°； （3）∠A＝α，∠C＝β， ∴∠1+∠A＝180°，∠2＝∠C＝β， ∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣α， ∴∠AED＝∠1+∠2＝180°﹣α+β． 65．【解答】解：（1）赞同他的想法，理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AP平分∠BAC，CP平分∠ACD， ∴，， ∴； （2）①∵CP⊥AC， ∴∠ACP＝90°， ∵∠2＝22°，∠2+∠ACD＝∠ACP， ∴∠ACD＝68°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠BAC＝112°， ∵AP平分∠BAC， ∴； ②∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵AP平分∠BAC， ∴， ∴2∠1+∠ACD＝180°， ∵∠ACD＝90°﹣∠2， ∴2∠1+90°﹣∠2＝180°， ∴2∠1﹣∠2＝90°； （3）∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACD＝2∠2， ∵AP⊥AC， ∴∠CAP＝90°， ∴∠BAC＝90°+∠1， ∴90°+∠1+2∠2＝180°， ∴∠1+2∠2＝90°， 故答案为：∠1+2∠2＝90°． 66．【解答】（1）解：∵∠1＝42°，∠BCA＝90°， ∴∠3＝180°﹣∠BCA﹣∠1＝180°﹣90°﹣42°＝48°， ∵a∥b， ∴∠2＝∠3＝48°； （2）解：理由如下：过点B作BD∥a．如图所示： 则∠2+∠ABD＝180°， ∵a∥b， ∴b∥BD， ∴∠2+60°﹣∠1＝180°， ∴∠2﹣∠1＝120°； （3）解：∠1＝∠2，理由如下：过点C作CP∥a，如图所示： ∵AC平分∠BAM， ∴∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°， 又∵a∥b， ∴CP∥b，∠1＝∠BAM＝60°， ∴∠BCP＝∠BCA﹣∠PCA＝90°﹣30°＝60°， 又∵CP∥a， ∴∠2＝∠BCP＝60°， ∴∠1＝∠2． 67．【解答】解：（1）①如图所示，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠HPM＝∠AMP＝18°，∠HPN＝∠CNP＝45°， ∴∠MPN＝∠HPM+∠HPN＝63°， 故答案为：63； ②∠MPN＝∠AMP+∠CNP，理由如下： 如图所示，过点P作PH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥PH∥CD， ∴∠HPM＝∠AMP，∠HPN＝∠CNP， ∴∠MPN＝∠HPM+∠HPN＝∠AMP+∠CNP． 故答案为：∠MPN＝∠AMP+∠CNP； （2）由（1）可得∠Q＝∠AMQ+∠CNQ＝50°， 设∠CNQ＝x，则∠AMQ＝50°﹣x， ∵MP平分∠AMN，NQ平分∠CNP， ∴∠CNP＝2∠CNQ＝2x，∠AMN＝2∠AMQ＝100°﹣2x， ∵AB∥CD， ∴∠AMN+∠CNM＝180°， ∴∠PNM+2x+100°﹣2x＝180°， ∴∠PNM＝80°， 故答案为：80； （3）是定值，＝． 由（1）可得∠E＝∠AME+∠CNE，∠F＝∠CNF+∠AMF，∠MPN＝∠AMP+∠CNP， 设∠AME＝x，∠CNF＝y， ∵∠AME＝∠AMP，∠CNF＝∠CNP， ∴∠AMP＝3x，∠CNP＝3y， ∴∠E＝x+3y，∠F＝3x+y，∠MPN＝3x+3y， ∴＝． ∴是定值，＝． 68．【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠AEF． ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠AEF， ∴EF∥GH； （2）解：如图所示，过点P作PQ∥AB，过点M作MT∥AB， ∴∠GPQ＝∠AGP，∠TMG＝∠AGM， ∵AB∥CD， ∴PQ∥MT∥CD， ∴∠FPQ＝180°﹣∠PFD．∠HMT＝∠CHM， ∵EF∥GH， ∴∠FHG＝180°﹣∠PFD， ∴∠FPQ＝∠FHG． ∵HM平分∠FHG，GM平分∠AGP， ∴，， ∴， ∠FPG＝∠FPQ﹣∠QPG＝∠FHG﹣∠AGP， ∴∠FPG＝2∠HMG； （3）解：，理由： 如图2所示，由于2∠FHM＝3∠AGP，则设∠FHM＝3x，∠AGP＝2x，则 ∠FHG＝2∠FHM＝6x． 由（2）可得∠P＝∠FHG﹣∠AGP＝6x﹣2x＝88°， 解得 x＝22°， ∴∠FHG＝132°，∠AGP＝44°， ∴∠GHD＝48° ∵HN平分∠GHD， ∴． ∵AB∥CD， ∴∠AGH＝180°﹣∠FHG＝48°，∠ANH＝∠DHN＝24°， ∴， ∴． 69．【解答】解：（1）∵∠AED＝60°，∠CAB＝45°， ∴∠AGE＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠BGD＝∠AGE＝75°； （2）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下： 延长DF交MN于点H， ∵AB∥MN， ∴∠DPB＝∠PHE． ∵∠DFE＝90°， ∴∠PHE+∠FEH＝90°， 则∠DPB+∠FEH＝90°． ∵∠DEF＝60°， ∴∠FEH＝180°﹣∠DEM﹣60°＝120°﹣∠DEM， ∴∠DPB+120°﹣∠DEM＝90°， 则∠DEM﹣∠DPB＝30°． （3）当BC∥DE时，如图所示， ∵BC∥DE， ∴∠BCE＝∠E＝60°， ∴∠ACE＝90°+60°＝150°； 当AC∥DE时，如图所示， ∵AC∥DE， ∴∠ACE＝∠E＝60°； 当AB∥CE时，如图所示， ∵AB∥CE， ∴∠BCE＝∠B＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°； 当AB∥DC时，如图所示， ∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴∠BCE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°； 当AB∥DE时，如图所示， ∵AB∥DE， ∴∠BMC＝∠DEC＝60°， ∴∠ACE＝60°﹣45°＝15°， 综上所述，∠ACE可能的度数为150°或60°或135°或45°或15°． 70．【解答】解：（1）如图1中，过点E作EJ∥PQ， ∵PQ∥MN，PQ∥EJ， ∴EJ∥MN， ∴∠α＝∠DEJ，∠JEA＝∠BAC＝45°， ∴∠DEF＝α+∠BAC， ∵∠DEF＝60°， ∴α＝60°﹣45°＝15°， ∵∠DFE＝30°， ∴β＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：15，150； （2）如图2中，同法可证∠EHB＝∠PEH+∠MBH． ∵PQ∥MN， ∴∠QEA＝∠BAC＝45°， ∴∠AEP＝180°﹣45°＝135°， ∵∠CBA＝45°， ∴∠CBM＝180°﹣45°＝135°， ∵HE，HB分别平分∠AEP，∠CBM， ∴∠PEH＝∠PEA＝67.5°，∠MBH＝∠CBM＝67.5°， ∴∠EHB＝∠PEH+∠MBH＝135°； （3）如图3﹣1，当BC∥DE时， 此时∠CAE＝∠DFE＝30°， ∴∠BAM+∠BAC＝∠MAE+∠CAE，∠BAM＝∠MAE+∠CAE﹣∠BAC＝45°+30°﹣45°＝30°， ∴t＝2； 如图3﹣2，当BC∥EF时， 此时∠BAE＝∠ABC＝45°， ∴∠BAM＝∠BAE+∠EAM＝45°+45°＝90°， ∴t＝6； 如图3﹣3，当BC∥DF时， 此时，AC∥DE，∠CAN＝∠DEG＝15°， ∴∠BAM＝∠MAN﹣∠CAN﹣∠BAC＝180°﹣15°﹣45°＝120°． ∴t＝8． 满足条件的t的值为2或6或8． 第 1 页 共 32 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑假作业1 相交线与平行线 一、知识梳理 （一）相交线 1.1两条直线相交 两条直线相交形成四个角，它们之间存在两种特殊关系. 1.1.1邻补角 定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，互为邻补角. 性质：邻补角互补，和为. 如图，与、与、与、与均互为邻补角. 1.1.2对顶角 定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，两个角有 公共顶点，互为对顶角. 性质：对顶角相等. 如图，与、与是对顶角. 两条直线相交，产生2对对顶角、4对邻补角. 1.2垂线 1.2.1垂直的定义 两条直线相交所成的四个角中有一个是直角时，称这两条直线互相垂直. 其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 符号表示：，读作“垂直于” 1.2.2垂线的性质 存在唯一性：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上，也可在直线外）. 垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 1.2.3点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 如图，线段PO的长度是点P到直线AB的距离. 1.3三线八角 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称“三线八角”. 角的类型 位置特征 图形记忆法 同位角 在截线同侧，被截两直线同一方 形如字母“F” 内错角 在截线两侧，被截两直线之间 形如字母“Z” 同旁内角 在截线同侧，被截两直线之间 形如字母“U” 具体对应关系（如图，直线、被直线所截）： 同位角：与、与、与、与 内错角：与、与 同旁内角：与、与 （二）平行线 2.1平行线的定义与基本事实 2.1.1定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.记作. 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交（垂直是特殊情况）或平行. 2.1.2平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2.1.3平行公理的推论（传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：如果，，那么. 2.2平行线的判定 由角的关系推导出直线的平行关系（角线）. 判定方法 文字语言 符号语言 判定1 同位角相等，两直线平行 若∠1=∠3，则. 判定2 内错角相等，两直线平行 若∠2=∠3，则. 判定3 同旁内角互补，两直线平行 若∠4+∠3=180°，则. 补充判定方法： 平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 2.3平行线的性质 由直线的平行关系推导出角的关系（线角）. 性质 文字语言 符号语言 性质1 两直线平行，同位角相等 若，则∠1=∠3. 性质2 两直线平行，内错角相等 若，则∠2=∠3. 性质3 两直线平行，同旁内角互补 若，则∠4+∠3=180°. 2.4判定与性质的核心区分 判定：由角的关系推出线平行（角定线） 性质：由线平行推出角的关系（线定角） （三）命题、定理与证明 3.1命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题由题设（条件）和结论两部分组成. 形式：通常可写成“如果……那么……”的形式. “如果”后面接的部分是题设（已知事项）. “那么”后面接的部分是结论（由题设推出的事项）. 示例：命题“对顶角相等”可改写为： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 题设：两个角是对顶角. 结论：这两个角相等. 3.2命题的分类 类型 定义 判断方法 真命题 题设成立时，结论一定成立的命题 推理证明 假命题 题设成立时，不能保证结论一定成立的命题 举反例即可 3.3定理与证明 定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可作为继续推理的依据. 证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. （四）平移 4.1平移的定义 在平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移. 4.2平移的两要素 平移的方向，平移的距离 . 4.3平移的性质 性质 内容 形状大小 平移前后的图形形状、大小完全相同 . 对应线段 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 . 对应角 对应角相等. 对应点连线 连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等，长度等于平移距离. 二、基础训练 1．下列汽车标志的图案设计时，利用了图形的平移的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，将一双筷子想象成两条直线，就得到一个相交线的模型．若∠1＝36°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．36° C．54° D．144° 3．下列生活现象中，属于平移的是（　　） A．足球在草地上滚动 B．拉开抽屉 C．把打开的课本合上 D．钟摆的摆动 4．如图，∠1与∠2是同旁内角的是（　　） A． B． C． D． 5．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律．如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，连接BC．若∠2＝75°，则∠1的度数是（　　） A．105° B．85° C．75° D．52.5° 6．下列图形中，∠1和∠2属于内错角的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，直线AB∥CD，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．110° C．20° D．160° 8．如图，AB∥CD，∠CDE＝130°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．65° C．50° D．40° 9．如图，将△ABC沿AC方向平移得到△DEF，若AC＝7，CD＝4，则CF的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 11．如图，将△ABC沿BC方向平移3厘米后得到△DEF，若EC的长为4厘米，则EF＝　7　厘米． 12．如图，下列说法正确的是（　　） A．若∠1＝∠3，则AC∥DE B．若∠AED+∠4＝180°，则AB∥DF C．若∠4＝∠2，则AC∥DE D．若∠1＝∠EDC，则AB∥DF 13．如图，AB∥DE，BC∥FE．若∠1＝68°，则∠2的度数是（　　） A．68° B．112° C．122° D．158° 14．如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点A和其中一端点B分别在两条平行直线a和b上，若∠1＝127°，则∠2的度数是（　　） A．53° B．47° C．37° D．27° 15．如图，AB∥CD，点O在直线AB上，OE⊥OF，OE交CD于点G，点F位于直线AB下方，若∠AOF＝32°，则∠DGE的度数为（　　） A．110° B．122° C．136° D．148° 16．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD．若∠1＝40°，则∠BOE等于（　　） A．50° B．130° C．140° D．180° 17．对于命题“若a2＞b2，则a＞b．”下面四组关于a、b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A．a＝﹣4，b＝3 B．a＝4，b＝3 C．a＝4，b＝﹣3 D．a＝﹣3，b＝4 18．如图，OA⊥OB，垂足为O，直线CD经过点O．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．152° B．142° C．132° D．128° 19．如图，AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，若∠2＝145°，则∠1的度数是　 　． 20．如图，若仅添加一个条件使AD∥CE成立，则可添加条件：　 　．（写出一个即可） 21．如图，将一块三角板的直角边AC紧贴直尺边缘，点A在直尺上对应的刻度为12cm．将该三角板沿着直尺边缘平移，使△ABC移动到△A'B'C'的位置，点A′在直尺上对应的刻度为0cm，则BB'的长是 　 　 cm． 22．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOD＝120°，那么直线AB、CD的夹角大小是　 　°． 23．如图是一把剪刀示意图，当剪刀口∠AOB减少30°时，∠COD的值也减少30°，其理由是　 　． 24．直线AC、BD相交于点O，如果∠BOC＝130°，那么直线AC与直线BD的夹角为 　度． 25．如图，测量运动员跳远成绩选取的是AB的长度，其依据是 　 　． 26．如图，直线a，b被c，d所截，要使直线a∥b，需要添加的一个条件为　 　． 27．已知命题“如果a2＝9，那么a＝3”，则该命题是　 　命题．（填“真”或“假”） 28．请你取一个a的值，说明命题“|a|＝a”是假命题，那么a＝　 　． 29．将“同角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：　 　 ． 30．如图，已知直线m∥n，将三角尺的直角顶点放在直线n上，若∠1＝46°，则∠2＝　 　度． 31．如图，直线AB和CD相交于点O，射线OE平分∠DOB，∠AOC＝40°，则∠COE＝　 　． 32．如图，直线a∥b，AC⊥AB，AC交直线b于点C，∠1＝60°，则∠2的度数是　 　． 33．如图，直线AB，CD相交于点O，且EO⊥CD．若∠BOD＝35°，求∠AOE的度数． 34．如图，D，E分别是AB，AC上的点，∠ADE＝60°，∠B＝60°，∠C＝70°． （1）DE与BC平行吗？请说明理由． （2）求∠DEC的度数． 35．已知：如图，AD平分∠BAC，点E在BC上，点F在CA的延长线上，EF交AB于点G，且∠BGF+∠BAD＝180°． （1）判断EF与AD的位置关系，并说明理由． （2）求证：∠AGF＝∠F． 36．如图，已知：点A、B、C、D在同一直线上，CE与BF交于点G，∠A＝∠GBC，CE∥DF，求证：∠E＝∠F． 37．如图，已知：D、E、F分别是线段AC、AB、BC上的点，DF∥AB，∠DFE＝∠A．求证：∠EFB＝∠C．把以下解答过程补充完整． 证明：∵DF∥AB， ∴∠BEF＝∠　 ．（　 　） 又∵∠DFE＝∠A， ∴∠　 ＝∠A． ∴ ∥ ．（　 　 ） ∴∠EFB＝∠C．（两直线平行，同位角相等） 38．如图，已知∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．求证：BE∥CD．请将以下的推理过程补充完整． 证明：∵∠A＝∠ADE（已知）， ∴AC∥DE（　 　 ）， ∴　 （两直线平行，内错角相等）． ∵∠C＝　 （已知）， ∴∠C＝　 （　 　）， ∴ （　 　 ）． 39．如图，在三角形ABC中，点D、E分别在AB，BC上，且DE∥AC，∠1＝∠2． （1）求证：AF∥BC； （2）若AC平分∠BAF，2∠B＝∠C，求∠1的度数． 40．如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠1＝∠2，求证：∠E＝∠F． 证明：∵∠BAP+∠APD＝180°（已知）， ∴AB ∥CD （　 　 ）， ∴∠BAP＝　 （　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠FPA＝　 ， ∴AE ∥PF （　 　 ）， ∴∠E＝∠F（　 　 ）． 三、能力提升 41．将直角三角板和直尺按如图所示方式摆放．若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．52° B．38° C．48° D．26° 42．下列命题中的真命题是（　　） A．对顶角相等 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．两个锐角的和是钝角 D．垂直于同一直线的两条直线互相垂直 43．如图，AD∥BC，∠C＝30°，∠ADB：∠BDC＝1：2，则∠DBC的度数是（　　） A．30° B．36° C．45° D．50° 44．如图，直线AB与直线CD相交于点O，AB⊥CD．射线OE平分∠AOD，∠COF＝60°，则∠FOE＝（　　） A．120° B．135° C．150° D．165° 45．随着人工智能技术的进步，机器狗正变得越来越“聪明”．如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠CDE＝145°，此时∠BED的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 46．如图，一块含30°角的直角三角板的两个顶点分别在直线a和b上，若直线a∥b，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．50° C．60° D．70° 47．如图在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，AC与DE相交于点G，连接AD，则阴影部分的两个三角形周长之和为（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．20cm 48．如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝140°，∠CDF＝160°，则∠BGD的度数是（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 49．如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，点E在AB上．若∠CAE＝110°，则∠AEC＝　35°　 ． 50．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF（点E，F分别在AD，BC上）所在直线折叠后，D，C分别落在D′，C′的位置上，ED'与BC交于点G，若∠DEF＝50°，则∠C′FG的度数为　80　 °． 51．如图，某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，如果BA⊥AE，CD∥AE，∠ABC＝140°，那么∠BCD＝　130　 °． 52．如图，将三角形ABC沿水平方向向右平移到三角形DEF的位置，若BF＝13，EC＝5，则A，D之间的距离为　4　 ． 53．如图，点O是直线AB上一点，∠BOC＝110°，OD平分∠AOC，OE⊥OD于点O，则∠AOE＝ 　 度． 54．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8cm，BC＝10cm，AC＝6cm，将△ABC沿BC方向平移acm（0＜a＜10）得到△DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD，则阴影部分的周长为　 　cm． 55．如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝26°，求∠COF的度数． 56．如图，已知∠1+∠BDE＝180°，∠2+∠4＝180°． （1）判断直线AD和直线EF的位置关系，并说明理由； （2）若∠3＝90°，∠4＝140°，求∠BAC的度数． 57．如图，将△ABC沿射线BA方向平移至△DEF． （1）求证：∠B＝∠EFC； （2）若△ABC的周长为20，AD＝3，求四边形DBCF的周长． 58．如图，从①BE 平分∠ABC、②CE平分∠ACD、③∠A＝2∠E中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题． （1）这3个命题中，真命题的个数为　 ； （2）选择一个真命题并证明． 如图，已知　 　， 求证：　 　． 证明： 59．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝68°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝4：3，求∠EOF的度数． 60．如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，F是AB上一点，且∠DEC+∠AFD＝180°． （1）求证：DF∥AC； （2）若∠B+∠C＝130°，求∠FDE的度数． 四、拓展探究 61．完成下列问题： （1）填空： 已知：如图1，AB∥CD．求证：∠A+∠E+∠C＝360°． 证明：过点E作EF∥AB， ∴∠A+∠1＝180°（ ）． ∵AB∥CD（已知）， ∴EF∥CD（ 　 　 ）． ∴∠2+∠C＝180°（ 　 　 ）． ∴∠A+∠1+∠2+∠C＝180°+180°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°． （2）已知：如图2，∠A+∠E+∠C＝360°． 求证：AB∥CD． （3）已知：如图3，AB∥CD，探索∠E与∠B、∠D之间的数量关系，并证明你的结论． 62．完成以下问题 （1）【问题情境】如图1，AB∥CD．∠PAB＝126°，∠PCD＝140°，求∠APC的度数，小明的思路是：过点P作PE∥AB，通过平行线性质可求得∠APC的度数是　94°　 ； （2）【问题迁移】如图2，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别是E，F．已知AB∥CD，G，H分别是AB，CD上的点，点P在线段EF上运动，记∠PGB＝α，∠PHD＝β，当点P在E，F两点之间运动时，∠GPH与α，β之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，若点P在E，F两点外侧运动（与点E，F不重合），请直接写出∠GPH与α，β之间的数量关系． 63．【感知探究】 如图①，已知AB∥CD，点M在AB上，点N在CD上，求证：∠AME+∠E+∠CNE＝360°． 【类比迁移】 如图②，∠F、∠BMF、∠DNF的数量关系为 　 　 （不需要证明）． 【结论应用】 如图③，已知AB∥DE，∠BAC＝120°，∠D＝80°，则∠ACD＝　 　． 【拓展延伸】 如图④，已知AB∥CD，AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，探究∠AEC，∠AFC之间的关系，并说明理由． 64．已知，直线AB∥CD，E为AB，CD之间的一点，连接EA，EC． （1）如图1，若∠A＝20°，∠C＝40°，则∠AEC＝　60°　 ． （2）如图2，若∠A＝x°，∠C＝y°，则∠AEC＝　（360﹣x﹣y）°　 ． （3）如图3，若∠A＝α，∠D＝β，则α，β与∠AED之间有何等量关系？请简要说明． 65．学习了平行线的判定与性质后，小明在练习中看到这样一道题：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，∠1+∠2＝90°．判断AB，CD是否平行，并说明理由”，小明绕有兴趣的试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 （1）小明把上题条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC，CP平分∠ACD，AB∥CD，则∠1+∠2＝90°．”小明认为这个结论正确．你赞同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 （2）小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2＝90°”这个结论不成立．请帮小明完成探究：如图2，AB∥CD，AP平分∠BAC，CP⊥AC，∠1是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角． ①若∠2＝22°，求∠1的度数； ②试说明：2∠1﹣∠2＝90°． 【拓展提高】 （3）如图3，若AB∥CD，AP⊥AC，CP平分∠ACD，请直接写出∠1与∠2的等量关系　 　． 66．综合与实践 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线a∥b，将直角三角尺ABC的直角顶点放在直线b上，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°． （1）【数学理解】在图1中，若∠1＝42°，则∠2的度数为 　 　； （2）【深入探究】如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并改变∠2的位置，发现∠2﹣∠1＝120°，请说明理由； （3）【拓展应用】缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM，你能发现∠1与∠2有怎样的数量关系？请说明理由． 67．已知直线AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点M、N．P是AB、CD之间的一点，且位于直线MN左侧，连接PM、PN． 【基础探究】 （1）①如图1，若∠AMP＝18°，∠CNP＝45°，则∠P的度数为　 度； ②在图1中探究∠AMP、∠CNP和∠P的数量关系，直接写出结论　 ； 【迁移应用】 直接运用（1）中的结论，解决下列问题： （2）如图2，若MP平分∠AMN，NQ平分∠CNP，NQ交MP的延长线于点Q，∠Q＝50°，则∠PNM的度数为　80　 度； （3）如图3，若，，ME交NP的延长线于点E，NF交MP的延长线于点F，请问是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 68．已知：如图1，AB∥CD，E，G是AB上的点，F，H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）求证：EF∥GH； （2）如图2，点P是FE延长线上的一点，连接PG，若∠AGP的平分线与∠FHG的平分线交于点M，试探究∠P与∠M的数量关系； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠GHD的角平分线交AB于点N，若2∠FHM＝3∠AGP，∠P＝88°，请直接写出的值． 69．学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°． （1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数； （2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由； （3）如图④，保持两个三角尺的顶点C，F重合，固定三角尺DEF，改变三角尺ABC的摆放位置．当点A在直线EC的下方且这两个三角尺一组边互相平行时，请直接写出∠ACE所有可能的度数． 70．将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知PQ∥MN，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝∠BAC＝45°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°． （1）若三角板如图1摆放时，则∠α＝　 °，∠β＝　 °． （2）现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分线交于点H，求∠EHB的度数； （3）将（2）中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，请求出符合条件t的值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $