解析几何-2026年高二暑假专项练习

**基本信息** 以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线为模块，通过新高考真题构建从概念到综合应用的知识逻辑，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|12题（含2026新高考多选）|斜率计算、圆的位置关系、距离与面积问题|从直线斜率到圆的方程，构建位置关系判定与几何量计算逻辑链| |椭圆|12题（含2024-2026新高考题）|离心率、焦点三角形、直线与椭圆综合|以定义为起点，通过离心率、焦点弦等性质延伸至面积与最值问题| |双曲线|13题（含2025新高考多选）|渐近线、离心率、焦点三角形|类比椭圆性质，突出渐近线与离心率关系及直线与双曲线位置关系| |抛物线|11题（含2024-2026新高考题）|焦点准线、焦点弦、切线问题|基于定义，聚焦焦点弦性质、面积计算及动态最值探究|

高二暑假数学专项练习-解析几何 一．直线与圆 1.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，，，，是桁，，，，是脊，，，，是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为，，，，若，，是公差为的等差数列，直线OA的斜率为，则 A. B. C. D. 2.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（2026新高考2卷多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 4.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 5.过点与圆相切的两条直线的夹角为， 则（     ） A．1 B． C． D．      6.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7.已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 8.已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 9.（多选）点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 10.写出与圆和都相切的一条直线的方程_________ 11.设点，，直线 AB关于直线的对称直线为l， 已知l与圆有公共点，则a的取值范围为__________ 12.已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 2． 椭圆 13（2024新高考2卷5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 14.椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 15.，是椭圆：的两个焦点，点在上，则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 16.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 18.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 19已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________ 20.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________ 21(2026新高考1卷)．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 22（2025·新高考Ⅰ卷）记椭圆下顶点为A，右顶点为B，若，C的离心率为．（1）求C的方程； （2）已知点P不在y轴上，点R在射线AP上，|AR||AP|＝3． （i）设，用m，n表示点R的坐标； （ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 23（2025·新高考Ⅱ卷）椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于A，B两点，O为坐标原点，若面积为，求． 24（2024新高考1卷16）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 3． 双曲线 25（2026·新高考1卷）双曲线的离心率为__________． 26（2026·新高考Ⅱ卷）已知双曲线：（，）过点和，则双曲线C的渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 27（2025·新高考Ⅱ卷多选题）双曲线的左右焦点分别为．左右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于M，N两点，若，则（ ） A． B． C．离心率为 D．当时，四边形的面积为 28.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 29.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 30.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 31（2024新高考1卷12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________ 32已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________ 33已知双曲线的左、右焦点分别为．点A在上，点B在轴上，，则的离心率为________ 34（2024新高考2卷19节选）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)略 35已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 36已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率; (2)若，求的面积. 37在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 四．抛物线 38（2026·新高考1卷）．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 39（2025·新高考2卷）设抛物线的焦点为F，点在上，过作的准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 40已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 41设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 42已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 43（2024新高考2卷10多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 44设O为坐标原点，直线过抛物线 的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 45已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______ 46已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 47已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． (1)若|AF|+|BF|=4，求l的方程； (2)若，求|AB|． 48设抛物线，点，，过点A的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假数学专项练习-解析几何 一．直线与圆 1.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，，，，是桁，，，，是脊，，，，是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为，，，，若，，是公差为的等差数列，直线OA的斜率为，则 A. B. C. D. 解：设 ，则 ， ， 由题意得 ， ， 且 ， 解得，选D 2.若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为; 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是.选B 3.（2026新高考2卷多选）已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆相切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 解：由：，化简可得，所以，的圆心，半径，故A错误；对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确；对于C，由，得的半径由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C正确；对于D，由，化简得：，所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误.选BC 4.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 解：由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为，则圆的半径为，圆的标准方程为. 由题意可得，可得，解得或， 所以圆心的坐标为或， 圆心到直线的距离均为； 圆心到直线的距离均为 圆心到直线的距离均为； 所以，圆心到直线的距离为. 选B 5.过点与圆相切的两条直线的夹角为， 则（     ） A．1 B． C． D． 解1：因为，即，可得圆心，半径， 过点P作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ，即为钝角， 所以；选B 解2：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 选B      6.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：由直线分别与轴，轴交于，两点，， 圆的圆心为（2，0），则圆心到直线距离 因为点在圆上，故点到直线的距离的范围为 则，选A 7.已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 解：圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且， 所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．选D 8.已知圆和圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 解：圆关于轴的对称圆的圆心坐标，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为3， ∴若与关于x轴对称，则， 即， 由图易知，当三点共线时取得最小值， ∴的最小值为 圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和， ∴. 选A 9.（多选）点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 解：圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为， A选项正确，B选项错误； 如下图所示：当最大或最小时，与圆相切， 连接、，可知， ，， 由勾股定理可得，CD选项正确. 10.写出与圆和都相切的一条直线的 方程_________ 【答案】填一条即可 解1：显然直线的斜率不为 0 ，不妨设直线方程为 ，于是 ， 故 ①， 于是 或 ， 再结合①解得 或 或 ， 所以直线方程有三条，分别为 ， ， 填一条即可 解2：设圆 的圆心 ，半径为 ， 圆 的圆心 ，半径 ，则 ， 因此两圆外切， 由图象可知，共有三条直线符合条件，显然 符合题意； 又由方程 和 相减可得方程 ，即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线 OC 的方程为 ， 直线 OC 与直线 的交点为 ， 设过该点的直线为 ， 则 ，解得 ， 从而该切线的方程为 填一条即可 11.设点，，直线 AB关于直线的对称直线为l， 已知l与圆有公共点，则a的取值范围为__________ 【答案】 解：因为 ，所以 AB 关于直线 的对称直线为 ， 所以 ，整理可得 解得 12.已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】中任意一个皆可以 解：设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得或 2． 椭圆 13（2024新高考2卷5）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 解：设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 选A 14.椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 解：根据题意，可知，因为，所以，即， 所以椭圆的离心率为，选C 15.，是椭圆：的两个焦点，点在上，则 的最大值为（ ） A．13 B．12 C．9 D．6 解：由题，，则， 所以（当且仅当时，等号成立）． 选C 16.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ） A． B． C． D．2 解：设点，因为，，所以 ， 而，所以当时，的最大值为． 选A 17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 解：将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到距离到距离，易知， 则，， ， 解得或（舍去），选C 18.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ） A． B． C． D． 解：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得， 解得 所求椭圆方程为，选B 19已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________ 【答案】8 解：因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以， ，即四边形面积等于. 20.已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是__________ 【答案】13 解：由椭圆离心率为 ，可得 ，则， 则椭圆C: ， ， ， ， 易得 ： ， ： ， 可解得 与 DE 的交点 ， 故直线 DE 垂直平分，即 ， ， 又 ， 所以的周长 21(2026新高考1卷)．已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于的动直线与交于，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率，则，解得，，因此椭圆方程为. （2） 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得，由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称，所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即，令，由与，得， 代入，得，解得，所以，所以直线的方程为. （ii） 直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 22（2025·新高考Ⅰ卷）记椭圆下顶点为A，右顶点为B，若，C的离心率为．（1）求C的方程； （2）已知点P不在y轴上，点R在射线AP上，|AR||AP|＝3． （i）设，用m，n表示点R的坐标； （ii）设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 解：（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆的标准方程为； （2） (ⅰ)设，则， 所以，， ，故点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 设，则， ， 当且仅当时取等号, 故. 23（2025·新高考Ⅱ卷）椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求的方程； （2）过点的直线与交于A，B两点，O为坐标原点，若面积为，求． 解：（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2）由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 故． 24（2024新高考1卷16）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 解：(1)由题意得，解得，所以. (2)，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点B到直线的距离为，则， 设与直线平行的直线方程为， 则，解得或， 当时，联立，解得或，即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 3． 双曲线 25（2026·新高考1卷）双曲线的离心率为__________． 【详解】将双曲线化为标准方程，得，则， 因此，则离心率为. 26（2026·新高考Ⅱ卷）已知双曲线：（，）过点和，则双曲线C的渐近线方程是（     ） A． B． C． D． 【详解】把点和，代入双曲线方程可得， 所以双曲线方程为，故该双曲线渐近线方程为. 27（2025·新高考Ⅱ卷多选题）双曲线的左右焦点分别为．左右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于M，N两点，若，则（ ） A． B． C．离心率为 D．当时，四边形的面积为 【答案】ACD 解：不妨设渐近线为，在第一象限，在第三象限， 对于A，由双曲线的对称性可得为平行四边形， 故，故A正确； 对于B因为在以为直径的圆上，故且， 设，则，故，故， 由A得，故即，故B错误； 对于C，因为，则，则，故C正确； 对于D，当时，由C可知，故， 故，故四边形为，故D正确，故选：ACD. 28.双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A 29.设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 解：，，根据双曲线的定义可得， ，即，，， ，即，解得，选A 30.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 解：由已知，不妨设，则，因为， 所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形， 故，即，又， 所以， 解得，所以，选B 31（2024新高考1卷12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________ 【答案】 解：由题可知三点横坐标相等，设A在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得， 解得，代入得， 故，即，所以. 32已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________ 【答案】4 解：由渐近线方程化简得，即，同时平方得， 又双曲线中，故，解得 ，故焦距 33已知双曲线的左、右焦点分别为．点A在上，点B在轴上，，则的离心率为________ 【答案】 解1：依题意，设，则， 在中，，则， 故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，， 整理得，故. 解2：依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点A上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 34（2024新高考2卷19节选）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)若，求；(2)证明：数列是公比为的等比数列；(3)略 解：(1)由已知有，故的方程为. 当时，过且斜率为的直线为， 与联立得到. 解得或， 所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上. 故，从而，. (2)由于过且斜率为的直线为，与联立，得到方程. 展开即得， 由于已经是直线和的公共点， 故方程必有一根. 从而根据韦达定理，另一根， 相应的. 所以该直线与的不同于的交点为， 而注意到的横坐标亦可通过韦达定理表示为，故一定在的左支上. 所以. 这就得到，. 所以 . 再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列. 35已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. (1)解：设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，，双曲线方程. (2)证明：由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 36已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率; (2)若，求的面积. 解：(1)将点代入双曲线方程得，化简得得： ，故双曲线方程为 由题显然直线l的斜率存在，设，设，， 则联立直线与双曲线得：，， 故，， ， 化简得：， 故， 即，而直线l不过A点，故 (2)设直线AP的倾斜角为，由，得， 由，得，即， 联立，及得，， 同理，，，故， 而，， 由，得， 故 37在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 解：(1)因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为； (2)设点，若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 不妨直线的方程为，即， 联立，消去并整理可得， 设点、，则且. 由韦达定理可得，， 所以，， 设直线的斜率为，同理可得， 因为，即，整理可得， 即，显然，故. 因此，直线与直线的斜率之和为0. 四．抛物线 38（2026·新高考1卷）．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D【详解】∵ 抛物线经过点，∴ 将代入的方程得，即，解得.∴ 的焦点坐标为，即.∵ 抛物线经过点，∴ 将代入的方程得，即，解得.∴ 的焦点坐标为，即.根据两点间距离公式，与之间的距离为：. 39（2025·新高考2卷）设抛物线的焦点为F，点在上，过作的准线的垂线，垂足为，若，则（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 解：对，令，则，所以，即抛物线， 故抛物线的准线方程为，故，则，代入抛物线得. 所以. 故选C 40已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 解：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 选C 41设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， 与抛物线方程联立，消元整理得：，解得， 又，所以，从而可以求得，选D 42已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 解：设，直线的方程为，联立方程 ，得，∴， 同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ， 当且仅当（或）时，取等号. 选A 43（2024新高考2卷10多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 解：A选项，抛物线的准线为，的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足；于是不成立，C选项错误； D选项，根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 44设O为坐标原点，直线过抛物线 的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 解：A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设，由消去并化简得 ，解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 45已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______ 【答案】 解：抛物线： ()的焦点, ∵P为上一点，与轴垂直，所以P的横坐标为， 代入抛物线方程求得P的纵坐标为, 不妨设, 因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，又， 因为，所以, ，所以的准线方程为 46已知抛物线的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值. 解：(1)抛物线的焦点，准线方程为， 所以，所以该抛物线的方程为； (2)设，则，所以， 由在抛物线上可得，即， 所以直线的斜率， 当时，；当时，， 当时，因为， 此时，当且仅当，即时，等号成立； 当时，； 综上，直线的斜率的最大值为. 47已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． (1)若|AF|+|BF|=4，求l的方程； (2)若，求|AB|． 解：(1)设直线方程为：，， 由抛物线焦半径公式可知： 联立得： 则 ，解得： 直线的方程为：，即： (2)设，则可设直线方程为： 联立得：，则， ， ， 则 48设抛物线，点，，过点A的直线与交于，两点． (1)当与轴垂直时，求直线的方程； (2)证明：． (1)解：当与轴垂直时，的方程为，可得的坐标为或． 所以直线的方程为或； (2)证明：设的方程为，、， 由，得，可知，． 直线、的斜率之和为 ， 所以，可知、的倾斜角互补，所以. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $