核心突破04 圆锥曲线中的定点、定值问题（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 核心突破04 圆锥曲线中的定点定值问题（精讲+精练） ①定点问题 ②定值问题 一、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 二、定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- ①定点问题 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点. 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足． (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由. 5．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 6．（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由. ②定值问题 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·北京东城·期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 4．（23-24高二上·吉林·期末）已知双曲线，其中离心率为，且过点，求 (1)双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且，证明：为定值. 5．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 6．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 核心突破04 圆锥曲线中的定点定值问题（精讲+精练） ①定点问题 ②定值问题 一、定点问题 定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 【一般策略】 ①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等. ②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程. ③探究直线过定点.一般化成点斜式或者直线系方程 二、定值问题 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【常用结论】 结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一定点（等轴双曲线除外）. 结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦点. 结论3  过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点. 结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x0，y0）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则kAB为定值. 结论5  设点A，B是椭圆（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，则k1·k2=- ①定点问题 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过椭圆的左焦点作不与x轴重合的直线MN与椭圆相交于M，N两点，的周长为8，过点M作直线的垂线ME，E为垂足． (1)求椭圆C的标准方程； (2)证明：直线EN经过定点P，并求定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 【分析】（1）根据椭圆的定义及离心率公式求出，即可得解； （2）设直线MN方程：，，，，联立方程，利用韦达定理求出，，再求出直线EN方程，进而可得出结论. 【详解】（1）的周长为8，，故， ，，故，所以，， 故椭圆的标准方程为； （2）， 设直线MN方程：，，，， 联立方程，得， 所以，， 所以， 又，所以直线EN方程为：， 令，则， 所以直线EN过定点． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：，焦点为，，椭圆上有一点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于，两点，过作轴的垂线交椭圆于另一个点，求证直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求出，再根据焦点和之间的关系即可求出椭圆方程. （2）设出直线的方程及点的坐标，将直线的方程用所设点的坐标表示，根据对称性可知所过定点在轴上，联立直线的方程和椭圆的方程，结合根于系数之间的关系即可求出定点坐标. 【详解】（1）， ∴，又，∴， 故椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立， ∴，∴ 则，直线的斜率， 直线的方程为， 令，有 即 ， ∴直线过定点 3．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析，定点 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 4．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为，过点作直线（不与轴重合）与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线为垂足． (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在实数，使得直线过定点，若存在，求的值及定点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在实数，使得直线过定点 【分析】 （1）焦点到渐近线的距离为，在根据渐近线方程求出； （2）计算出的直线方程，再令即可求出定点坐标. 【详解】（1） 焦点到渐近线的距离不妨求直线的距离，渐近线方程，得 所以双曲线方程为； （2） 假设存在实数，使得直线过定点, 设直线，则． 联立，消得 则． 直线，令得: 又 当即时，为定值 所以存在实数，使得直线过定点. 5．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知动点到定点的距离与动点P到定直线的距离之比为1，若动点P的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)不过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，且，若AB的垂直平分线交x轴于点N，求点N的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义可求答案； （2）联立方程，结合韦达定理，求出的中点坐标，得到AB的垂直平分线，进而得到答案. 【详解】（1）由题可知：动点P的轨迹为焦点在x轴，开口朝右的抛物线，且，曲线C的方程为：； （2）设直线AB的方程为，，， 直线与抛物线联立：， ，，，即， ，，     又，即， 又， ，即，         又记点M为AB的中点，则，直线MN的方程为， 令，则，故点N为定点，坐标为. 6．（23-24高二上·江西南昌·期中）在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到焦点的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于两点（位于对称轴异侧），且，问：直线是否过定点？若过定点，请求出该定点；若不过，请说明理由. 【答案】(1)； (2)直线过定点. 【分析】（1）根据抛物线定义，结合已知条件，求得，则抛物线方程得解； （2）设出直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理，结合，求得值，即可求得直线恒过的定点. 【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5， 因为抛物线的准线方程为，点的横坐标为4， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）设，且， 联立消去可得 则，且，即， 所以， 由，得，即， 解得（舍）或，故直线的方程为， 所以直线必过定点. ②定值问题 【题型精练】 一、解答题 1．（23-24高二下·北京东城·期末）已知椭圆，过点，，分别是的左顶点和下顶点，是右焦点，. (1)求的方程； (2)过点的直线与椭圆交于点，，直线，分别与直线交于不同的两点，.设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出即可得的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由直线求出的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得. 【详解】（1）由椭圆过点，得， 由，得椭圆半焦距，则长半轴长， 所以的方程为. （2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为，， 由消去x得，显然， ，直线的方程为， 令，得点的纵坐标，同理点的纵坐标， 因此 为定值， 所以为定值. 2．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程. (2)设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，1 【分析】（1）根据椭圆离心率和点坐标，可得结果 （2）设出直线得方程并与椭圆方程联合，利用韦达定理得出表达式，整理可得斜率为定值. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点， 所以解得 所以椭圆的方程为. （2）如下图所示： 设直线的斜率为，则直线的斜率为，设， 直线的方程为，即， 联立方程组消去，得. 因为为直线与椭圆的交点， 所以，即， 把换为得，所以. 因为， 所以直线的斜率为， 即直线的斜率为定值1. 3．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值3，理由见解析 【分析】（1）根据双曲线的关系求解； （2）利用斜率公式以及点在双曲线上求解. 【详解】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 4．（23-24高二上·吉林·期末）已知双曲线，其中离心率为，且过点，求 (1)双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，，且，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由双曲线离心率及所过点列方程求双曲线参数，即可得方程； （2）令直线且，则直线，联立双曲线求坐标，即可证结论. 【详解】（1）由题设，可得，故双曲线的标准方程为； （2）由题设及双曲线渐近线，令直线且，则直线， 则，可得，即，故， 所以， 同理可得，故，所以， 所以为定值. 5．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，已知点，直线.是平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且满足. (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作直线，与曲线交于两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据，代入化简求解轨迹方程即可； （2）设直线的方程为，设，联立方程组，得到韦达定理形式，最后表达出，求解即可. 【详解】（1）设，则，且， 因为，所以，即， 所以点的轨迹方程为：，是以为焦点开口向上的抛物线. （2）过点作直线，与曲线交于两点，显然直线的斜率存在， 且，设直线的方程为，设， 则， 联立方程组，得， ，直线与曲线一定有两个交点， 其中， . 故为定值. 6．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． (1)求抛物线的方程及点M的坐标； (2)证明：为定值； 【答案】(1)，或 (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式结合条件即得； （2）求出抛物线的焦点坐标，设直线的方程为，与抛物线方程联立，用一元二次方程根与系数的关系，结合抛物线定义可证明为定值. 【详解】（1）因为点在抛物线：（）上，点为抛物线的焦点，且， 所以：. 所以抛物线的方程为：， 由， 故点坐标为：或. （2）由（1）知：，显然直线的斜率存在，所以设直线方程为：， 由， 设，， 则， 由抛物线的定义得：，， 所以：， 即为定值1. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$