第15讲 平面向量基本定理 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理”专题，依据课标要求梳理了平面向量基本定理、坐标表示与运算、平行垂直的坐标条件及定比分点公式等核心考点，通过考向分类明确了基本定理应用、坐标运算、平行垂直判定、综合问题四大常考题型，构建了系统的知识网络和备考体系。 课件亮点在于“真题演练+方法归纳+素养提升”，如以2025浙江学考向量平行真题为例，剖析坐标法判定平行的“x1y2-x2y1=0”应用，培养学生的数学思维和运算能力。归纳基底分解、坐标运算等突破方法，特设易错点分析，助力学生高效掌握答题技巧，教师可据此精准开展专题复习，提升备考效率。

第15讲 平面向量基本定理 数 学 目标导航•建网络 教材核心知识 课标要求 平面向量基本定理及其意义 能够掌握平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 知能构建•强技能 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 2.平面向量的坐标表示 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 如图,在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj. 这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y). 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 实战演练•明方向 考向1　 平面向量基本定理 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向2　 平面向量的坐标运算 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向3　 平面向量的平行与垂直的坐标条件 典例3(2025浙江7月学考)已知向量a=(x,1),b=(2,-1),且a∥b,则x的值是 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 D 解析 因为a=(x,1),b=(2,-1),且a∥b,则2=-x,所以x=-2.故选D. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向4　 坐标法解平面向量综合问题 典例4(多选)已知向量a=(2,1),b=(-3,1),e是与b同向的单位向量,则下列结论正确的有(　　) A.a+b与a共线 B.a与a-b的夹角的余弦值为 C.向量a在向量b上的投影向量为-e D.若c=(,-),则a⊥c BD 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结建立平面直角坐标系,用坐标法解向量问题,实际上是把向量转化为解析几何的代数运算,适合解决的向量问题很广泛,有“万能向量法”的说法,但向量法需要建系、设点的坐标、求向量坐标,把所求结论转化为向量运算解题,过程比较复杂;有时抓住向量问题的几何特征,用几何法则显得很简捷,总之坐标法和几何法要根据实际情况做出选择. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 3.平面向量的坐标运算 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则|a|= ,a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),ka=(kx1,ky1),a·b=x1x2+y1y2. 4.向量平行、垂直的坐标条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0;设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 5.定比分点坐标公式 设=λ,A(x1,y1),B(x2,y2),则特别地,AB的中点G().设△ABC的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则G(). 典例1已知||=1,||=2,∠AOB=150°,=x+y.若点C在∠AOB的内部且OC=2,∠AOC=90°,求x,y. 解 (方法1)把向量沿向量所在直线作向量分解,分别交所在直线于D,E,则OD=2,OE=4.可知x==2,y==2. (方法2)以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),则由条件可知=(1,0),=(-,1),=(0,2). 由=x+y得,(0,2)=x(1,0)+y(-,1), 则解得 归纳总结确定一个基底{a,b}下向量c的坐标(x,y),方法1是把向量沿基底作向量分解,得到射影线段OD,OE,则|x|=,|y|=,从而求得x,y;方法2是建立平面直角坐标系,写出各向量的坐标,根据=x+y建立等式,解方程组即可求得x,y. (-,6) 典例2在△ABC中,已知=(2,8),=(-3,4),若,则的坐标为____________. 解析 由已知条件得=(-5,-4),∵, ∴=(-,-2), ∴=(-,6). 解析 对于A,a+b=(-1,2),又a=(2,1),-1×1-2×2≠0,a+b与a不共线,故A错误;对于B,a-b=(5,0),又a=(2,1),则cos<a-b,a>=,故B正确;对于C,向量a在向量b上的投影向量为·e=-e=-e,故C错误;对于D,a·c=2×+1×(-)=0,则a⊥c,故D正确.故选BD. $