2027年高考第一轮专题第10讲 三角函数的概念与诱导公式

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数的概念与诱导公式”专题，依据课标要求梳理了任意角、弧度制、三角函数定义、同角关系及诱导公式五大核心考点，通过考向分类明确了三角函数定义、扇形公式等高频题型，对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“考向突破+技巧归纳+素养提升”，如典例5(2)通过齐次式转化为tanα培养运算能力，典例6用“奇变偶不变”推导诱导公式发展推理能力。特设归纳总结与易错提示，助力学生高效得分，教师可据此精准教学。

第10讲 三角函数的概念与诱导公式 数 学 目标导航•建网络 教材核心知识 课标要求 任意角的概念和弧度制 借助单位圆理解三角函数的定义,能画出三角函数图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.理解同角三角函数的基本关系式 弧度与角度的互化 任意角的正弦、余弦、正切的定义 同角三角函数的基本关系式 诱导公式 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 知能构建•强技能 1.象限角 使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的正半轴重合,那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上,则这个角不属于任何一个象限. 2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}. 3.弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,正角的弧度数是 正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 8.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α — — 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 实战演练•明方向 考向1　 三角函数定义 ABD 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 (2)(2025浙江金华期末)在平面直角坐标系中,角θ的终边经过点P(1,1), 则sin θ·cos θ=　　　　　.  目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向2　 扇形弧长、面积公式 典例2已知扇形的圆心角是α,半径为R,弧长为l. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长l; (2)若扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α为多少弧度时,这个扇形的面积最大? 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 归纳总结当用扇形的弧长面积公式解题时,角的单位必须是弧度. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向3　 三角函数符号的确定 典例3若α为第四象限角,则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 D 解析 由α为第四象限角,可得+2kπ<α<2π+2kπ(k∈Z). 所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ(k∈Z), 此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上,所以sin 2α<0.故选D. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 典例4已知cos θ·tan θ<0,那么角θ是( 　　) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 C 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向4　 同角三角函数的基本关系式 典例5(1)若cos α=,则=(　　) A.±4 B.±2 C.- D. B 解析 ∵cos α=,∴sin α=±=±. 当sin α=时,tan α=, 此时=-2; 当sin α=-时,tan α=-,此时=2.故选B. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 4 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 考向5　 诱导公式 D 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 D 目标导航•建网络 知能构建•强技能 实战演练•明方向 4.角度制和弧度制的互化 180°=π rad,1°= rad,1 rad=()°. 5.扇形的弧长及面积公式 弧长公式:l=αr,面积公式:S=lr=αr2,其中r为扇形的半径. 6.任意角的三角函数 任意角α的终边上一点P(x,y),sin α=,cos α=,tan α=(x≠0). 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. (2)商数关系:tan α=. 变形:sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,sin α=tan αcos α,(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α. 特别关注:平方关系,一般为隐含条件,可直接应用,注意“1”的代换. 典例1(1)(多选)在直角坐标系xOy中,角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(x,-2),且tan α=2,则(　 　) A.x=-1 B.sin α=- C.cos α= D.tan<0 解析由题意可得tan α==2,则x=-1,A选项正确;sin α==-,B选项正确;cos α==-,C选项错误;由P(-1,-2),角α的终边在第三象限,即α∈(2kπ+π,2kπ+)(k∈Z),则∈(kπ+,kπ+)(k∈Z),即角的终边在二、四象限,所以tan<0,D选项正确.故选ABD. 解α=60°=,l=10×(cm). 解由已知得,l+2R=20,则l=20-2R,所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,所以当R=5 cm时,扇形的面积最大为25 cm2,此时弧长l=10 cm,圆心角α=2 rad. 解析 由cos θ·tan θ<0可得结合各个象限内余弦、正切的符号特点即可判断角θ是第三或第四象限角,故选C. (2)若tan α=2,则=____________.  解析∵tan α=2,∴=4. 归纳总结利用同角三角函数的基本关系式由一个三角函数值求另一个三角函数值时,选择开方后的符号需要确定角所在象限.例5(2)的函数是关于sin α,cos α的齐次式,可转化为tan α. 典例6已知=5,则tan α=(　　) A. B. C.- D. 解析 =5,可得-sin α-cos α=5(cos α-sin α),即4sin α=6cos α,故tan α=.故选D. 归纳总结诱导公式可以把形如k·±α的三角函数转化为α的三角函数,注意转化规律“奇变偶不变,符号看象限”的正确运用. 典例7已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边经过A(sin,cos),则cos(-θ)=(　　) A.- B. C. D.- 解析 已知角θ终边经过A(sin,cos),所以sin θ==cos=-cos=-,所以cos(-θ)=cos(-θ)=sin θ=-.故选D. $