2.4.1 圆的标准方程 课时练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.1　圆的标准方程 一．选择题 1.圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心与半径分别为(　　) A.(-1,2),2 B.(1,-2),2 C.(-1,2),4 D.(1,-2),4 2.方程(x-1)=0所表示的曲线是(　　) A.一个圆 B.两个点 C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆 3.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则圆的标准方程为(　　) A.(x+2)2+(y-3)2=13 B.(x-2)2+(y+3)2=13 C.(x-2)2+(y+3)2=52 D.(x+2)2+(y-3)2=52 4.圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆上,且圆的半径为,则圆的方程为(　　) A.x2+y2=5 B.(x+1)2+(y-1)2=5 C.x2+y2=5或(x+1)2+(y-1)2=5 D.x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5 5.若点(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　) A.(-1,1) B. C. D. 6.方程x=表示的图形是(　　) A.两个半圆 B.两个圆 C.圆 D.半圆 7.若直线y=ax+b经过第一、第二、第四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1的圆心位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P,则与圆C:(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　) A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25 C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9 9.设P是圆M:(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 10.(多选题)设圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列说法正确的是(　　) A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 二．填空题 11.设O为原点,点M在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上运动,则|OM|的最大值为　　　　. 12.已知圆C与圆C1:(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的标准方程为　　　　　　　　　　　　.  13.已知圆C的圆心在x轴上,且过A(1,4),B(2,-3)两点,则圆C的标准方程是　　　　　　　　　　　　.  14.已知圆M的圆心坐标为(3,4),且A(-1,1),B(1,0),C(-2,3)三点一个在圆M内,一个在圆M上,一个在圆M外,则圆M的方程为　　　　.  三．解答题 15.已知△ABC的三个顶点分别是点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8).求它的外接圆的方程. 16.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2(a≠0),试分别求满足下列条件的实数a的值或取值范围: (1)点A在圆C的内部; (2)点A在圆C上; (3)点A在圆C的外部. 17.已知圆C过点A(4,0),B(0,4),且圆心C在直线l:x+y-6=0上. (1)求圆C的方程; (2)若从点M(4,1)发出的光线经过直线y=-x反射,反射光线所在直线l1恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线l1的一般方程; (3)若点Q在直线l上运动,求|QA|2+|QB|2的最小值. 18.已知x,y满足x2+(y+4)2=4,求的最大值与最小值. 19.已知圆C的圆心为C(x0,x0),且过定点P(4,2). (1)求圆C的标准方程. (2)当x0为何值时,圆C的面积最小?求出此时圆C的标准方程. 2.4.1　圆的标准方程 一．选择题 1.答案:A 2.答案:D 解析:方程(x-1)=0可化为x-1=0或x2+y2=3,故方程(x-1)=0表示一条直线和一个圆. 3.答案:B 解析:如图,结合圆的性质可知,原点在圆上. 则圆的半径r=. 故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=13. 4.答案:D 解析:由题意可知圆心在直线x+y=0上,设圆心坐标为(a,-a),则(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5,故选D. 5.答案:D 解析:依题意有(5a)2+144a2<1,所以169a2<1, 所以a2<,|a|<,即a∈. 故选D. 6.答案:D 解析:根据题意得x≥0,方程两边同时平方并整理得x2+y2=1,由此确定图形为半圆,故选D. 7.答案:D 解析:因为直线经过第一、第二、第四象限,所以a<0,b>0,又圆的圆心为(-a,-b),所以-a>0,-b<0.所以圆心位于第四象限. 8.答案:B 解析:由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0, 得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0, 由解得即P(-1,1). ∵圆C:(x-2)2+(y+3)2=16的圆心C的坐标是(2,-3), ∴|PC|==5, ∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 故选B. 9.答案:B 解析:圆心M(3,-1)到定直线x=-3的距离d=3-(-3)=6.又因为圆的半径为2,所以|PQ|的最小值为d-2=6-2=4. 10.答案:ABD 解析:由题意知圆心为(k,k),一定在直线y=x上,故A正确;将点(3,0)的坐标代入得2k2-6k+5=0,其中Δ=-4<0,方程无解,即所有圆Ck均不经过点(3,0),故B正确;将点(2,2)的坐标代入得k2-4k+2=0,其中Δ=16-8=8>0,所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,故C错误;所有圆的半径均为2,面积均为4π,故D正确.故选ABD. 二．填空题 11.答案:6 解析:圆C的圆心为C(3,4),半径r=1,|OC|=5. 因为点O在圆C的外部,点M在圆C上运动, 所以|OM|max=|OC|+r=5+1=6. 12.答案:x2+(y+1)2=1 解析:由圆C1:(x-1)2+y2=1,得圆心C1的坐标为(1,0),半径r1=1. 设C1(1,0)关于直线y=-x的对称点的坐标为(a,b), 则解得 所以圆C的标准方程为x2+(y+1)2=1. 13.答案:(x+2)2+y2=25 解析:设圆心C为(a,0), 由题意可知圆心C到A,B两点的距离相等, 即, 解得a=-2. 半径r==5, 故圆C的标准方程为(x+2)2+y2=25. 14.答案:(x-3)2+(y-4)2=25 解析:∵|MA|==5, |MB|==2, |MC|=, ∴|MB|<|MA|<|MC|, ∴点B在圆M内,点A在圆M上,点C在圆M外, ∴圆M的半径r=|MA|=5, ∴圆M的方程为(x-3)2+(y-4)2=25. 三．解答题 15.解:设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.① 因为点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,所以它们的坐标都满足方程①. 于是解此方程组, 得 所以,△ABC的外接圆的方程是(x-2)2+(y+3)2=25. 16.解:(1)∵点A在圆C的内部, ∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,即2a+5<0, 解得a<-.故a的取值范围是. (2)将点A(1,2)的坐标代入圆C的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,即2a+5=0,解得a=-,故a的值为-. (3)∵点A在圆C的外部, ∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0, 解得a>-,又a≠0, 故a的取值范围是∪(0,+∞). 17.解:(1)由点A(4,0),B(0,4),得直线AB的斜率为kAB==-1,线段AB的中点为D(2,2),所以kCD=1,直线CD的方程为y-2=x-2,即y=x. 联立解得即点C(3,3). 半径r=|AC|=, 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=10. (2)由直线l1恰好平分圆C的圆周,得直线l1经过圆心C(3,3), 设点M关于直线y=-x的对称点为N(x,y), 则直线MN与直线y=-x垂直,且线段MN的中点在直线y=-x上, 可得解得 所以点N(-1,-4),所以直线CN即为直线l1,且=kCN=. 直线l1的方程为y-3=(x-3),即7x-4y-9=0. (3)已知点Q在直线x+y-6=0上,设点Q(m,6-m), 则|QA|2+|QB|2=(4-m)2+(-6+m)2+(-m)2+(4-6+m)2=4m2-24m+56=4(m-3)2+20, 所以当m=3时,|QA|2+|QB|2取最小值为20. 18.解:设点P(x,y),A(-1,-1),则点P在圆C:x2+(y+4)2=4上,其中圆心C(0,-4),半径r=2. P,A两点间的距离|PA|=. 因为(-1)2+(-1+4)2>4,所以点A(-1,-1)在圆外. 又|AC|=, 所以|PA|=的最大值为|AC|+r=+2,最小值为|AC|-r=-2. 19.解:(1)设圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=r2(r≠0). ∵圆C过定点P(4,2),∴(4-x0)2+(2-x0)2=r2. ∴r2=2-12x0+20. ∴圆C的标准方程为(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20. (2)∵(x-x0)2+(y-x0)2=2-12x0+20=2(x0-3)2+2, ∴当x0=3时,圆C的半径最小,即面积最小. 此时圆C的标准方程为(x-3)2+(y-3)2=2. 学科网（北京）股份有限公司 $