四川自贡市蜀光中学2025-2026学年高二下学期零诊模拟考试数学试题

**基本信息** 高2024级0诊模拟数学试卷，以乡村合作社种植、春晚机器人等现实与时代情境为载体，覆盖二项式定理、线性回归、导数等核心知识，通过分层设问考查数学眼光、思维与语言，适配高三一轮复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|二项式定理、线性回归、正态分布等|第2题以合作社种植面积预测利润，体现数学建模| |多选题|3/18|期望方差、函数性质等|第9题辨析二项分布与超几何分布，强化概念理解| |填空题|3/15|排列组合、切线方程等|第14题切线方程与最值结合，考查导数应用| |解答题|5/77|统计检验、立体几何、导数综合等|第18题食堂套餐选择问题，融合概率递推与数列证明；第19题导数零点证明，深化逻辑推理|

■■■■ ■■■■ 蜀光中学高2024级零诊模拟考试 数学答题卡 姓名： 班级： 考生条形码粘贴处 准考证号： 一、单选题（共40分） 1[A][B][C[D] 5 [A][B][C][D] 2[A[B][CD] 6 [A][B][C][D] 3[A[B][CD] 7[A]B][CD] 4[A[B][C[D] 8[A]B][CD] 二、多选题（共18分） 9[A]B][CD] 10 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13 14. 此区域禁止答题 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.13分) 频率/组距 0.053 888 0 405060708090100成绩 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.45分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 蜀光中学高2024级0诊模拟考试 答案 1、 单选 1.（25-26高二下·河北唐山·期中）求的展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 【答案】C 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 2.（2026·江西宜春·模拟预测）某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（    ） A．60万元 B．65万元 C．70万元 D．75万元 【答案】C 【详解】由已知得，， 因为点在回归直线上，所以，得， 即, 所以当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为万元． 3.（25-26高二下·北京·期中）已知函数在处有极小值，则实数的值为（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．-2 【答案】B 【分析】求导，由极小值定义得到方程，求出或6，检验后得到结论 【详解】， 在处有极小值，故， 所以，解得或6， 当时，，令得或， 令得， 所以在处取得极小值，满足要求， 当时，，令得或， 令得， 此时在处取得极大值，不合要求， 综上，. 4.（25-26高二下·辽宁铁岭·期中）已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】注意到，，均在直线上．故， 而不在该直线上，即四点不共线，故．于是． 5.（25-26高二下·重庆·阶段检测）某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 【答案】D 【详解】由题意可知，身高Y近似服从正态分布，所以， 身高至少要有160厘米才算达标，即求， 因为，所以， 根据正态分布的对称性 . 6.（25-26高二下·上海闵行·期中）甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 7.（25-26高三·全国·一轮复习）在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第n（）行的第r个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由第n行的第r个机器人的动作难度为，可知：第n行的第3个机器人的动作难度为， 则动作难度之和为： . 8.（2026·四川成都·三模）不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二 、多选题 9.（25-26高二下·湖北荆州·阶段检测）下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 【答案】BCD 【详解】对于选项A，因为，故A错误； 对于选项B，因为，故B正确； 对于选项C，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故C正确； 对于选项D，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故D正确． 10.（24-25高二下·四川德阳·期末）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】A、B、C选项赋予x值进行求解，D选项运用二项式求解. 【详解】对于A选项，令，则原式等于，即，故A选项错误； 对于B选项，令，则原式等于，又因为， 故，故B选项正确； 对于C选项，令，则原式等于， 即，由B选项得，故C选项错误； 对于D选项，， 则，， 故，则D选项正确. 11.（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 【答案】ABC 【详解】由题意得：，令，解得或， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 又， 作出函数的函数图像： 由图可知：当时，方程有3个不相等的实数根，故A正确； 由得，即， 又， 所以，所以， 所以，故B正确； 由，所以，令， 所以，令， 由或，由， 所以在单调递增，在单调递减， 所以的极大值为，的极小值为， 作出的函数图像： 由图可知：当时，直线与函数的图像有3个不同交点，故C正确； 由， 又，所以为偶函数，当时，为奇函数，故D错误. 三、填空题 12.（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【详解】， 所以， ， 所以为. 13.（2026·吉林长春·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有______种. 【详解】甲不站在两端，则甲有种站法，甲和乙不相邻，则乙有种站法， 则不同的排列方式有种. 14.（2026·四川眉山·模拟预测）若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 【答案】 【详解】设切点为，对曲线求导得：. 因为切线斜率为，因此：且， 所以，即，得. 再将代入得：，即， 两边取对数整理得： . 所以， 令，求导： ， 令，得，即， 因为在上单调递减， 所以当时，；当时，. 因此函数在上单调递增，在单调递减， 所以是函数的极大值点也是最大值点， 因此. 故的最大值为. 4、 解答题 15.（2026·山西晋城·模拟预测）某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】(1)，人 (2)表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【难度】0.85 【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. （2）由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 16.（2026·重庆·一模）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则可能 所以直线与平面所成角的余弦值为. 17.（25-26高一下·重庆·期中）设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. (1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，则，由，得， 得，而是圆上的动点，所以，即 （2）设，即①，② 两式相减得到， 即 所以， 所以直线方程为，即， 与椭圆方程联立得， 由韦达定理：， 所以， 原点到直线的距离：， 所以. 18.（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 【答案】(1) (2)①设事件为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，， 由全概率公式，得 整理得， 故， ， 是以为首项，为公比的等比数列,通项公式为； ②当n为大于1的奇数时，； 当n为大于1的偶数时，； 综上所述，当时，． 19.1．已知函数． (1)当时恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； (3)若有三个不同的零点，证明：． 【详解】（1）因为当时恒成立： 当时，恒成立； 当，不等式恒成立等价于不等式恒成立； 则；令，则； 令，则； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故；故a的取值范围为． （2）因为，令； 即对任意的，存在，使得， 即在上的值域包含在上的值域； 因为，，故； 当时，，单调递减， 则的值域为；的值域为， 因为的最大值等于，因此不可能属于的值域， 故在上的值域不可能包含在上的值域，舍去； 当时，，单调递增，则的值域为； 的值域为，则， 故 且 ，解得，故； 当时，令，解得； 当，，单调递增； 当，，单调递减； 故，， 此时的值域无法包含的值域，舍去； 综上，． （3）证明：由(1)可知，有三个不同的零点等价于与有三个不同的交点； ，求导得：； 当时，，单调递增，； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增；；则； 设，则三个零点满足，， 则：对于：，，， 故； 则：对于：，，则，故， 因为，故； 令，则，令，求的最大值： ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，故； 对于：需证； 因为，可得：，， 作差可得，则； 要证，即证，即 ； 令，则，即证， 即证时，； 令，则， 故在时单调递减，故，故； 综上：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级0诊模拟考试 数学试卷 出题人：周娜 审题人：蒋书丽 本试题卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。 【注意事项】1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卷上。考试结束后，只将答题卷交回。 2、试卷中的选择题部分，请在选出答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。 3、 试卷中的非选择题部分，请用0.5mm黑色签字笔在答题卷上各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效。不能答在试题卷上。 一、单选题（共8个题，每小题5分） 1．求的展开式中第6项系数为（   ） A．1120 B． C． D．448 2．某乡村合作社优化农产品种植结构，持续扩大蔬菜种植面积，统计该合作社近5年的蔬菜种植面积（单位：亩）依次为8，10，13，16，20，且这5年的总利润为142.5万元，由这5年的数据求得年利润（单位：万元）与满足线性回归方程，则当蔬菜种植面积增加到30亩时年利润的预测值为（    ） A．60万元 B．65万元 C．70万元 D．75万元 3．已知函数在处有极小值，则实数的值为（    ） A．6 B．2 C．2或6 D．-2 4．已知四个点，，，得到的线性相关系数为，去掉后得到的线性相关系数为，则（   ） A． B． C． D．无法确定 5．某校高一年级学生的身高（单位：厘米）近似服从正态分布．若规定高一年级学生的身高至少要有160厘米才算达标，现从该校高一年级学生中随机抽取一名学生，则该学生身高达标的概率约为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则． A．0.6827 B．0.9545 C．0.85135 D．0.84135 6．甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 7．在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第n（）行的第r个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（    ）    A． B． C． D． 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共3个题，每题6分） 9．下列说法正确的有（     ） A．若随机变量的数学期望，则 B．若随机变量的方差，则 C．将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记正面向上的次数为，则服从二项分布 D．从男女共名学生干部中随机选取名学生干部，记选出女学生干部的人数为，则服从超几何分布 10． 若，则（     ） A． B． C． D． 11．已知函数 下列说法正确的是（   ） A．若，则方程有3个不相等的实数根 B．若是方程的3个不相等的实数根，则 C．存在实数，使得直线与函数的图像有3个不同交点 D．对任意实数，函数都是奇函数 三、填空题（共3个题，每题5分） 12．已知，则________． 13．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加高三毕业文艺汇演，若甲不站在两端，且甲和乙不相邻，则不同的排列方式共有______种. 14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为______. 四、解答题（共5个题，共77分） 15．（满分13分）某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 16．（满分15分）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的余弦值． 17．（满分15分）设是圆上的动点，点为点在轴上的投影，点满足. (1)当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程； (2)直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求的面积. 18．（满分17分）为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复． (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天中午选择米饭套餐的概率为． ①证明：为等比数列，并求数列的通项公式； ②证明：当时，恒成立． 19．（满分17分）已知函数． (1)当时恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意的，存在使得成立，求实数的值； (3)若有三个不同的零点，证明：． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $