分级练(13)　对数函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

分级练(13)　对数函数 分级一　提能强化 1．函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在[a2，a]上的最大值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．a C　解析：∵0＜a＜1，∴f(x)＝logax在[a2，a]上是减函数，∴f(x)max＝f(a2)＝logaa2＝2. 2．(2024·山西太原期中)设函数f(x)＝则f(－1)＋f(log23)＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 B　解析：根据题意，函数f(x)＝由log23＞0，得f(log23)＝4log23＝32＝9，f(－1)＝log2(1＋1)＝log22＝1，则f(－1)＋f(log23)＝1＋9＝10. 3．(2025·山东泰安期末)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) C　解析：由函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，可知0<a<1，函数y＝loga(|x|－1)的定义域为{x|x>1或x<－1}，故排除A，B；又y＝loga(|x|－1)＝可知y＝loga(|x|－1)在(1，＋∞)上单调递减，故排除D. 4．(2025·江苏南京模拟)设a＝ln 5，b＝ln ，c＝，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．b>c>a B　解析：因为ln e<ln 5<ln e2，所以ln 5∈(1，2)，所以c＝∈(1，)且a>c，又b＝ln ＝ln 5∈(，1)，所以a>c>b. 5．(2025·贵州六盘水一中模拟)若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　) A．1<a<2 B．0<a<2且a≠1 C．0<a<1 D．a≥2 A　解析：令u(x)＝x2－ax＋1，函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min>0，∴Δ＝a2－4<0，∴1<a<2，所以a的取值范围是1<a<2. 6．(多选)(2023·广东中山一中模拟)关于函数y＝ln (－1)的说法正确的是(　　) A．定义域为(－1，1) B．图象关于y轴对称 C．图象关于原点对称 D．在(0，1)上单调递增 ACD　解析：因为f(x)＝ln (－1)＝ln ()，所以>0⇒<0⇒－1<x<1，所以定义域为(－1，1)，故A正确；因为f(－x)＝ln ()＝－f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，故B错误，C正确；又y＝1－x>0在(0，1)上单调递减，所以y＝－1>0在(0，1)上单调递增，又y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以y＝ln (－1)在(0，1)上单调递增，故D正确． 7．已知函数f(x)＝lg (＋2x)＋2，则f(ln 2)＋f(ln )＝________． 答案：4　解析：由函数f(x)的解析式可得f(x)＋f(－x)＝lg (＋2x)＋2＋lg (－2x)＋2＝lg (1＋4x2－4x2)＋4＝4，∴f(ln 2)＋f(ln )＝f(ln 2)＋f(－ln 2)＝4. 8．(2024·湖北武汉高三期末)已知函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________． 答案：4　解析：由题知x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以函数的定义域为{x|x>4或x<－2}．因为函数u＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，函数y＝lg u在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝lg (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4. 9．已知f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)解不等式f(x)>1. 解：(1)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)， 所以解得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称． 因为f(－x)＝log3(2－x)－log3(2＋x)＝－[log3(2＋x)－log3(2－x)]＝－f(x)， 所以函数f(x)为(－2，2)上的奇函数． (2)因为f(x)＝log3(2＋x)－log3(2－x)＝log3>1，　 所以解得1<x<2， 所以不等式f(x)＞1的解集为(1，2). 分级二　知能探究 10．(多选)已知a＞0，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　) A．(a－1)(a－b)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0 C.(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 AD　解析：①当a＞1时，logab＞1＝logaa，∴b＞a，∴b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0，(b－1)(b－a)＞0.②当0＜a＜1时，logab＞1＝logaa，∴b＜a，∴0＜b＜a＜1，∴(a－1)·(a－b)＜0，(b－1)(b－a)＞0. 11．已知函数f(x)＝()x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　) A．恒为正 B．等于0 C．恒为负 D．不大于0 A　解析：因为函数f(x)＝()x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0<x1<x0时，有f(x1)>f(x0)，又x0是函数f(x)的零点，因此有f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即f(x1)的值恒为正． 12．已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)，则(　　) A．f(x)在(0，4)内单调递减 B．f(x)是偶函数 C．f(x)的图象关于点(2，0)中心对称 D．f(x)的最大值为2 D　解析：由f(x)＝log2x＋log2(4－x)知即0<x<4，所以f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(－x2＋4x)，令t＝－x2＋4x，则y＝log2t.因为x∈(0，4)时，t＝－x2＋4x不单调，所以f(x)不单调，故A错误；因为f(x)的定义域为(0，4)不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；因为f(4－x)＝log2(－x2＋4x)≠－f(x)，所以f(x)的图象不关于点(2，0)对称，故C错误；因为t＝－x2＋4x，x∈(0，4)，所以当x＝2时，tmax＝4，因为y＝log2t是增函数，所以ymax＝log24＝2，故D正确． 13．(2025·广东汕头模拟)函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)，且f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n－m＝(　　) A． B． C． D． A　解析：∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n(m<n)满足f(m)＝f(n)， ∴0＜m＜1＜n，且|log3m|＝|log3n|，∴log3m＝－log3n，∴log3m＋log3n＝0，解得mn＝1，又f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，易知f(m2)＝－log3m2＝2，此时∴n－m＝. 14．已知f(x)是不恒为0的函数，定义域为D，对任意x∈D，n∈N*，都有nf(x)＝f(xn)成立，则f(x)＝________．(写出一个即可) 答案：log2x(答案不唯一)　解析：符合对数函数幂的对数运算法则，可选择一个对数函数，如f(x)＝log2x，则nf(x)＝nlog2x＝log2xn＝f(xn). 分级三　素能创新 15．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律．在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为a＝0.32.1，b＝log30.8，c＝30.8，对方的三个数以及排序如表： 则我方必胜的排序是________． 答案：b，c，a　解析：由指数函数性质知0.33<0.32.1<1，a＝0.32.1∈(0.33，1)，c＝30.8∈(1，＋∞)，由对数函数性质知b<0，因此b<a<c，所以当排序为b，c，a时，我方必胜． 16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”．若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围． 解：函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，且定义域为R， 当a＞1时，z＝ax＋t2在R上单调递增，y＝logaz在(0，＋∞)上单调递增，可得f(x)为R上的增函数； 当0＜a＜1时，f(x)仍为R上的增函数． ∴f(x)在定义域R上为增函数，由f(x)＝loga(ax＋t2)＝x，得ax＋t2＝ax，即ax－ax＋t2＝0，　 令u＝ax，u＞0，即由u2－u＋t2＝0有两个不同的正数根，可得1－4t2＞0，且t2＞0， 解得t∈(－，0)∪(0，). 学科网（北京）股份有限公司 $$